人教版-全等三角形讲义

全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用表示，读作“全等于”全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④2.如图,△≌△,则的对应边是,∠的对应角是．3.已知:如图,△≌△,∠∠C,则∠．4.如图:△≌△和是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是,对应角是．5.已知:如图,△≌△∥,∠∠,则另外两组对应边是,另外两组对应角是．2题2题3题4题5题三角形全等的条件一（）三角形有六个条件：三条边和三个角如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等？满足一个条件：①只有一条边对应相等； ②只有一个角对应相等；结论：满足两个条件：①两角对应相等；②两边对应相等；一边一角对应相等结论：如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？两边一角对应相等结论：两角一边对应相等结论：三边对应相等结论：三个角对应相等结论：定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（.）。例1.已知：如图，，．求证：△≌△．例2.已知：如图，，．求证：△≌△．例3.已知：如图，求证：∥。例4..已知：如图，点A、C、B、D在同一条直线上,求证：△≌△．例6.已知，，，问∥吗？例6.已知：如图,在边上.求证：∠∠．课堂练习：1.如图，，，∠30°，∠46°，则∠的度数是()A.120°B.125°C.127°D.104°2.如图，线段与交于点O，且，，则下面的结论中不正确的是()A.△≌△B.∠∠D.∠∠D3.如图，，，E、F是上两点，且．欲证∠∠D，可先运用等式的性质证明，再用“”证明≌得到结论．4.如图⊥，垂足为D，.求证：△≌△.6.已知：如图，，，，交于O．求证：△≌△．7.如图，已知：，，E为上一点，求证：∠∠。8.已知：如图，A、E、F、B在一条直线上，,，。求证：∥课后练习：1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：∠是一个任意角，在、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线便是∠的平分线。你知道这样做的理由吗？2.已知：如图：，，，求证：△≌△。3.如图，，，求证：∠1=∠2．4.已知，，，问∥吗？10.如图，，，求证:△≌△．能力提高：1.如图，，，，∠72°，∠32°，则∠2.已知：如图,E是上的一点,,,．求证：∠∠．3.如图：，，。(1)求证：△≌△;(2)∥.4.如图.求证：∠∠180°.三角形全等的条件二()定义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（.）两边一角对应相等结论：例1.如图，∥,求证:△≌△．例2.如图，＝，＝，∠＝∠，求证：△≌△．例3.已知:如图是上的中线,且．求证∥．例4.如图，已知，等腰△中，∠90o，等腰△中，∠90o，连结、．求证：（1）；（2）⊥．例5.如图，在△中，＝＝,∠＝∠,、交于点O.求证：(1)△≌△；(2)＝.课堂练习：1.在△和△A'B'C'中,要使△≌△A'B'C',需满足条件（）'B''C',∠∠B''B','C',∠∠A''C''C',∠∠C''C','C',∠∠B'2.如图,在∠的两边上截取,在和上截取,连结和交于点P,则△≌△理由是（）4题2题3题4题2题3题3.如图，在和中，已知，，根据（）判定，还需的条件是（）A.B.C.D.以上三个均可以4.如图、交于F,则图中相等的角共有对,（除去∠∠）()A.5B.4C.3D.26.如果两个三角形全等,则不正确的是（）A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等7.如图,已知:△≌△,∠1=∠2,∠∠C,不正确的等式是（）B.∠∠8题7题8题7题8.下图中全等的三角形是（）A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ9.如图，已知∠1＝∠2，要使△≌△，还需条件（），，C.∠∠D，∠∠E，10.已知：∥，，求证：△≌△．11.如图，△中，＝，平分∠，试说明△≌△.12.如图，＝,∠＝∠.求证：∠＝∠．13.如图,已知∥,求证:△≌△.14.如图,在中,，分别以为边作两个等腰直角△和△，使．（1）求的度数；（2）求证：．15.如图：，，⊥，⊥.求证：（1）∠∠C，（2）16.如图∠∠，∠∠，。求证：。课后练习：1.下面各条件中，能使△≌△的条件的是（）,∠∠,∠∠,∠∠,∠∠2.如图，相交于点O，，．下列结论正确的是（）A.B.C.D.3.如图，已知，，．下列结论不正确的有（）．A.B.4.如图所示,△与△都是等边三角形<,若△不动,将△绕B点旋转,则旋转过程中与的大小关系为()><D.无法确定5.已知：如图,^,^,垂足分别为E,F,,且,则不正确的结论是（）△≌△B.∠∠90°C.∠∠D∥.6.如果△和△全等，△和△全等，则△和△全等，如果△和△不全等，△和△全等，则△和△全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）7.如图，已知⊥于B，⊥于D，，，则∠.8.已知如图，F在正方形的边边上，E在的延长线上，＝，交于G，则∠的度数是.9.如图，△是不等边三角形，，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△全等，这样的三角形最多可以画出个．10.如图，已知△的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△全等的图形是。11.已知:如图,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。12.已知:如图平分∠.求证:∠∠．13.如图,已知∥．求证∥．14.已知:如图,点在同一直线上∥,且.求证∥．15.已知:如图是上的中线,且．求证∥．16.如图，在中，D是上一点，交于点E，，，与有什么位置关系？说明你判断的理由。17.如右图，已知⊥，⊥，垂足分别是E、F，，∥，（1）试证明：；（2）连接、，猜想与的关系？并证明你的猜想的正确性．18.已知如图，B是的中点，，．交于F点。求证：（1）∥（2）．19.已知:如图,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。能力提高：1.观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）A. B. C. D.…………第1个第2个第3个2.如图⊥⊥，,∠75°，∠45°，则的长为()A.aB.kC.D.h3.已知:如图,∠∠.求证。4.如图已知：Δ和Δ是等边三角形，D在延长线上。求证：。5.已知：如图，、是△的高，分别在射线与上取点P与Q，使，。求证：（1）；（2）⊥6.如图，△为等边三角形，点分别在上，且，与交于Q点。求∠的度数。7.已知C为上一点,△和△是正三角形.(1)求证；(2)求∠的度数.8.如图，已知△的边长为1的正三角形，△是顶角∠1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交于M，交于N，连形成△，求证：△的周长等于2。9.已知在中，，平分交于D点，求证：。10.如图，△是等腰直角三角形，其中，四边形是正方形，连接、.(1)观察图形，猜想与之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形绕点C按顺时针方向旋转，使正方形的一边落在△的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.11.五边形中，，，∠∠180°，求证：平分∠.三角形全等的条件三、四（）定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或简记为(.)。如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“角角边”或简记为（）两角一边对应相等结论：问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4块，配一块与原来一样的三角形玻璃DBDBCA（2）带哪一块呢？（3）带D块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢？例1.如图，∠∠，．求证．例2.如图，∠900，，D为上一点⊥，⊥，交延长线于F点.求证：.例3.如图在△中，∠90°，，是的中线，过点C作⊥于F，过B作⊥交的延长线于点D。（1）求证：，（2）若5㎝，求的长。例4.如图：在△中，∠90°，，D是上一点，⊥于E，⊥交的延长线于F。求证：。例5.如图，已知在中，是角平分线，⊥交于F，垂足为M，∥交的延长线于E，求证：。例6.如图，△中，∠900，，是∠的平分线，的延长线垂直于过C点的直线于E，直线交的延长线于F．求证：2．课堂练习1.已知：如图,,∠∠90°,⊥,则不正确的结论是()A.∠A与∠D互为余角B.∠∠2C.△≌△D.∠1=∠22.在△中，5，中线4，则边的取值范围是()A.1<<9B.3<<13C.5<<13D.9<<133.如图，点在同一条直线上，∥，∥，且，若10，2，则4.已知：如图,四边形中,∥,∥．求证：△≌△.5.如图，，，试说明△≌△.6.如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：＝.7.如图：在△中，，和都是高，它们相交于点H，且2.求证：.8.已知:如图,四边形中∥是的中点交延长线于E,.求证：∠∠．9.如图，Δ中，D是上一点，∥，，分别交、于点F、G．⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．⑵若连结，则与有什么关系？并说明理由．10.如图，在△中，∠2∠是△的角平分线，∠1=∠B,求证.课后练习：1.如图,∠∠,∠50°,求∠的度数为()A.50°B.30°C.45°D.25°2.如图，∥，∥，、相交于点O。（1）由∥，可得=，由∥，可得=，又由，于是△≌△；（2）由，可得，由，可得△≌△；（3）图中全等三角形共有对。3.如图在Δ中⊥于⊥于交于F,若,那么∠的大小是4.已知：如图,∠1=∠2⊥⊥,垂足分别为B、D.求证：．5.如图，∠1＝∠2,∠B＝∠D，求证:△≌△．6.如图,∠C＝∠D,＝．求证:∠＝∠．7.如图，四边形的对角线与相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：（1）；（2）．8.如图，已知点B、C、E在一条直线上，，，∥，试说明∠∠。9.如图，，，、交于点，图中共有几对长度相等的线段，你是通过什么办法找到的？10.已知:如图∥,∠1=∠2是的中点、交于O．求证：O也是的中点．11.如图，∥∥，求证:△≌△．8.已知：如图∥,∥,F、C在直线上．求证：．9.已知：在△中，为边上的中线，⊥，⊥。求证：""。10.已知：如图⊥于C,⊥于D,M是的中点,连结并延长交于点F．求证：．11.已知：如图、D、B、F在同一条直线上∥,∠∠.求证：∥.12.已知：如图,∥,、交于O点．求证：．能力提高：1.已知:如图，,∠∠∠90°,四边形的面积为16,则的长为（）A.5B.4C.3D.22.三角形中，，在上取一点D，在的延长线上取一点E，使，连结交于G，求证：.3.已知：如图，在△中，是∠的角平分线，E、F分别是、上的点，且∠∠180°。求证：＝。4.在等边三角形中，，，交于P点，⊥于Q．求证：2．5.如图，点M为正△的边所在直线上的任意一点(点B除外)，作，射线与∠外角的平分线交于点N，与有怎样的数量关系三角形全等的条件五定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H．L定理．（或斜边直角边）．例1.如图，有一个直角△，∠90°，10，5，一条线段，两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，当时,才能使Δ与Δ全等.例2.已知：如图，，，且于E，于F.求证：∠∠C。例3.已知：如图四点在同一直线上,∠∠90°,．求证：∠∠C例4.如图，于B，于D，且．求证：∠∠.例5.证明:在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。例6.已知：如图，为△的高，E为上一点，交于F，且有，，求证：⊥。例7.已知：△中，∠是直角，D是上一点，，过D作的垂线交于E，求证：⊥.课堂练习：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A.两直角边对应相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.斜边相等2.两个三角形有以下三对元素相等,则不能判定全等的是()A.一边和两个角B.两边和它们的夹角C.三边D.两边和一对角3.下列说法中，错误的是（）A.三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用B.已知两个锐角不能确定一个直角三角形C.已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形D.已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形3.已知：如图,,,分别垂直于E、F,,则图中有对相等的角(除直角外)．（）A.3B.4C.5D.64.已知：如图，是∠和∠的角平分线，则△≌△用判定．()或5.如图，△中，∠90°，∠60°，延长到D，使则：（）A．1：1B．3：1C．4：1D．2：36.如图,在下列给出的四组条件下，不一定能推导出△≌△的条件是(),,∠1=∠2B.∠3=∠4,∠1=∠2,,∠1=∠2,,∠1=∠2,∠∠D7.如图，已知⊥，⊥，垂足分别是A，C，。由此可判定全等的两个三角形是△和△8.已知：如图,,都垂直于,垂足为E、F,,．求证：.9.已知：如图，，且于D，于E，．求证：∠∠C.10.已知：如图,是△和△的公共边,,,、分别垂直于E,F．求证：．11.已知：如图,,D、B到的距离．求证：∥．12.已知：如图,,于D,于C.求证：．13.如图，已知：∠和∠都是直角，，E是上任一点，求证：．14.已知：如图，∠∠90°，，交于O，.求证：．15.如图，在等腰直角三角形中，∠90O,直线l经过点C，⊥l,⊥l,垂足分别为D、E.求证：。课后练习：1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一条直角边和一个锐角分别相等B.两条直角边对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边和一个锐角对应相等2.在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形3.如图，在△中，∠90°，、，分别是斜边上的高与中线，是∠的平分线。则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2B．∠1=∠2C．∠1>∠2D．不能确定4.在直角三角形中,若∠900，D是边上的一点,且2,则∠的度数是（）A.30°B.60°C.120°D.150°5.如图，已知⊥于B，C是上一点，且，要使△≌△，应补充的条件是∠∠D或或或。6.如图，在△中，⊥于D，与相交于H，且，，那么∠度。7.如图，∥，∠900，E是上一点，∠1=∠2，，求证：∠90°8.如图所示，已知是∠的平分线，⊥于E，⊥于F，且＝．求证：．9.已知＝，⊥，⊥．求证：D在∠的平分线上．10.如图，在△和△中，给出以下四个论断：①；②③④⊥，⊥．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程已知：求证：11.已知在△中，∠C＝90°，＝，为∠的平分线，⊥，垂足为C．求证：△的周长等于．12.如图,△中,∠90°⊥于平分∠交于F．求证∥。13.如图，A、E、F、C在一条直线上，，过E、F分别作⊥，⊥，若。请回答下列问题：（1）平分；（2）若将的边沿方向移动变为图2时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。能力提高：1.已知：∠90°，是∠的平分线，将三角板的直角顶P在射线上滑动，两直角边分别与、交于C、D．和有怎样的数量关系，证明你的结论．2.如图,已知在△中,∠900,∠300,△、△都是等边△交于F，求证：。3.已知、是△的高，点P在的延长线上，，点Q在上，。判断线段和的关系，并证明.4.如图，点C在线段上，⊥，⊥，⊥，且，，，∠51°，求∠的度数.角的平分线的性质角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线的画法：例1.已知O是△三条角平分线的交点，⊥于D，若＝5，△的周长等于20，则△的面积等于S△＝例2.如图，Δ的三边、、的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将Δ分为三个三角形，则S：S：S等于.例3.如图：在△中,∠90°,∠∠⊥,垂足为交于E。求证：.例4.如图：在△中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。求证：点D在∠A的平分线上。例5.如图所示，已知△中，平分∠，E、F分别在、上．，．求证：∥.例6.在△中，>，是∠的平分线．P是上任意一点．求证：>．例7.如图，∠∠1800，平分∠，平分∠，点E在上．(1)探讨线段、和之间的等量关系;(2)探讨线段与之间的位置关系．例8.如图，已知在△中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F，，求证：．课堂练习：1.如图所示，在△中，P为上一点，⊥于R，⊥于S，＝，＝，则下列三个结论中正确的是()①＝；②∥；③△≌△A．①和②B．②和③C．①和③D．全对2.如图，，⊥于E，⊥于F，、交于点D，则①△≌△；②△≌△；③点D在∠的平分线上，以上结论正确的是（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③3.在△和△A'B'C'中,①'B';②'C';③'C;④∠∠A';⑤∠∠B';⑥∠∠C';则下列哪组条件不保证△≌△A'B'C'．()A.①②③B.①②⑤C.①⑤⑥D.①②④4.如图，已知点P到、、的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠的平分线上；③在∠的平分线上；④恰是∠B，∠，∠三个角的平分线的交点。上述结论中，正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.∠的平分线上一点M，M到的距离为1.5，则M到的距离为6.如图，∥，O是∠、∠的平分线的交点，⊥于E，且＝2，则与间的距离等于7.已知Δ的周长是15，∠和∠的平分线交于点O，过点O作⊥与点D，且2，求Δ的面积。8.已知＝，⊥，⊥。求证：D在∠的平分线上．9.如图，在△中，交于点D，点E是中点，∥交的延长线于点F，交于点G，若，求证：为∠的角平分线．10.已知△，∠∠C，D，E分别是及延长线上的一点，且，连接交底于G，求证．11.如图，A，B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A、B间距离，但是绳不够长．你能帮她设计测量方案吗如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理．课后练习：1.如图，在△中，∠90°，、，分别是斜边上的高与中线，是∠的平分线。则∠1与∠2的关系是（）A.∠1<∠2B.∠1=∠2C.∠1>∠2D.不能确定2.尺规作图作∠的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交、于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线由作法得的根据是（）A．B．C．D．3.如图，在△中，，∠90°．平分∠，⊥交的延长线于F，E为垂足．则结论：①；②；③；④；⑤2，其中正确结论的个数是()A．1B.2C．3D．44.如图在Δ中，∠90°，是∠的平分线，交于点D，若，，则Δ的面积是5.已知：如图，∠∠，，要说明△≌△，（1）若以“”为依据，还缺条件.（2）若以“”为依据，还缺条件.（3）若以“”为依据，还缺条件.6.如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结.以下五个结论：①；②∥；③；④；⑤∠60°.恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）。7.如图，平分∠，⊥⊥，A、B为垂足，交于点N．求证：∠∠。8.已知∠3∠C，∠1=∠2，⊥，求证：2.9.已知，如图，在四边形中，＞，，平分∠.求证：∠∠180°.10.如图：在△中，∠60°，∠B，∠C的平分线，相交于点O。求证：。11.已知为△的中线，∠，∠的平分线分别交于E、交于F．求证：>．能力提高：1.如图，△中，∠C=90°，=，是∠的平分线，⊥于E，若=10，则△的周长等于()A．10B．8C．6D．92.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1处 B.2处 C.3处 D.4处3.如图,已知平分∠上于∥,∠360,那么∠4.已知在△中，∠C＝90°，＝，为∠的平分线，⊥，垂足为C．求证：△的周长等于．5.如图，在△中，分别为边中点，连接、并分别延长至F、G，使,连接.求证：.6.如图：在△中，∠90°，，D是上一点，⊥交的延长线于E，且，⊥于F。求证：。7.如图，在四边形中，平分∠，过C作⊥于E，并且,求∠∠的度数。8.如图：是△中∠的平分线，过的中点E作⊥交的延长线于F，连结。求证：∠∠。9.已知△中，，为的延长线，且，为△的边上的中线．求证210.如图，已知在△中，是边上的中线，E是上一点，且，延长交于F，与相等吗？为什么？全等三角形复习一、选择题：1.如图，，，则图中全等三角形共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对2.下列各图中，不一定全等的是（）A．有一个角是45°腰长相等的两个等腰三角形B.周长相等的两