2021-2022学年山东省烟台市蓬莱区蓬莱第二中学高二年级上册学期10月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省烟台市蓬莱区蓬莱高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知，，，则（

）A． B． C． D．C【分析】直接由向量的坐标运算即可得出答案.【详解】，故选：C.2．经过与两点的直线的方程为A． B． C． D．B由已知得，两点的纵坐标相等，所以，该直线的斜率为0，可得直线方程为【详解】由两点的坐标可知，直线与轴平行，所以直线的方程为.本题考查已知两点求直线方程，属于基础题3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（

）A． B．C． D．D【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解.【详解】易知，，，，，，所以.故选：D4．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．C【分析】根据向量共线判断三点共线即可．【详解】解：，又与过同一点B，∴A、B、D三点共线．故选：C．5．不论为何实数，直线恒过定点（

）A． B．C． D．C【分析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.【详解】根据题意,将直线方程变形为因为位任意实数,则,解得所以直线过的定点坐标为故选:C本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.6．如图,正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是A．30° B．45° C．60° D．90°A【分析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求解．【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P（0，，），则（2a，0，0），（﹣a，，），（a，a，0），设平面PAC的一个法向量为，则，，∴，可取（0，1，1），∴cos，，∴，＞＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°﹣60°＝30°．故选A．本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7．若方程表示一条直线，则实数满足A． B． C． D．C【详解】方程表示一条直线，，，不能同时成立，两式同时成立时解得所以，故选C.8．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为A． B． C． D．B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，从而，，设平面的法向量为则，即令，则，为平面的法向量故点到平面的距离故选.二、多选题9．已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（

）A． B．C．是平面的一个法向量 D．ABC【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.【详解】由题意，向量，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B正确；对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.故选：ABC10．直线l1：ax﹣y+b＝0，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的图像可能是（）A． B．C． D．BC【分析】由题意利用直线的斜率和直线在y轴上的截距，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：直线l1：ax﹣y+b＝0的斜率为a，在y轴上的截距为b，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，在y轴上的截距为a，A中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a小于零，矛盾，故排除A；B中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a大于零，直线l1在y轴上的截距b大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零，满足题意；C中，直线l1在y轴上的截距为b，大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零，直线l1的斜率a小于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，故C满足题意；D中，直线l1的斜率为a大于零，直线l2在y轴上的截距为a小于零，矛盾，故排除D，故选：BC.11．（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（

）A．，，不能构成空间的一个基底B．，，不能构成空间的一个基底C．，，不能构成空间的一个基底D．，，能构成空间的一个基底ABC【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线所以空间五点，，，，共面，所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.故选：ABC此题考查空间向量基本定理，属于基础题12．三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．5CD【分析】经分析可得三线不共点，所以只需直线与另两条直线不平行，即可求得的范围．【详解】由题意可得直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，所以.故选：CD三、填空题13．已知直线l1：(k－3)x＋(3－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k=_____.2【分析】利用利用两条直线相互垂直的条件即可得出．【详解】因为直线与垂直，所以，解得或3（舍），则k的值为2．故2．题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设向量，且，则的值为__________．168【分析】根据向量，设，列出方程组，求得，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，设，又因为，所以，即，解得，所以，所以.故答案为.本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______．【分析】结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可.【详解】解：如图所示：设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，则，，，所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：,所以倾斜角的取值范围.故答案为.本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题.16．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱AB，AD，两两夹角都为，且，，，M，N分别为，的中点，则MN与AC所成角的余弦值为__________．【分析】先证明，则是MN与AC所成的角，结合余弦定理即可证明.【详解】连接，，则四边形是平行四边形，∴．又且，∴，∴是MN与AC所成的角．由余弦定理可得：，，．∴．故．四、解答题17．已知点、，直线.（1）求线段的中点坐标及直线的斜率；（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程.（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）.【分析】（1）利用中点坐标公式可求出线段的中点坐标，由直线的斜率公式可计算出直线的斜率；（2）根据题意，设直线的方程为，将的坐标代入其方程计算可得的值，即可得答案．【详解】（1）根据题意，设的中点坐标为，又由点、，则，，所以，线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）设直线的方程为，又由直线经过点，则有，则.即直线的方程为.本题考查线段中点坐标的计算，涉及直线的斜率计算，同时也考查了利用直线平行求直线方程，涉及平行直线系方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题．18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点．(1)证明：；(2)若F为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．(1)详见解析；(2).【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明．（2）根据为棱上一点，，求出的坐标，进而求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，即求．【详解】（1）∵底面，，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵，，点为棱的中点.∴，，，，，∵，，，∴.（2）∵，，由点在棱上，设，故，由得，解得，即，设平面的法向量为，由，得令，则，取平面的法向量，，故平面与平面夹角的余弦值为.19．设直线，，求满足下列条件的，的值.（1），且过点；（2），且，在轴上的截距互为相反数.（1）或；（2）或.【分析】（1）由过点，可得：；利用，，即可解出；（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当时，可知：两条直线不平行；当时两条直线分别化为：，，利用题意可得，，解出即可得出，的值.【详解】解：（1）过点，可得：；，，解得：或.（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当时，两条直线分别化为：，，可知两条直线不平行．当时，两条直线分别化为：，，由于，且，在轴上的截距互为相反数，，，解得：或.本题考查由两条直线相互平行与相互垂直的关系求参数值，考查分类讨论思想和计算能力，属于基础题．20．如图，在四棱锥中，平面为中点且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：取中点，连接.因为中，为中点，所以且.又因为且，所以且.所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.(2)以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.设，所以平面的法向量为设.又，，设面的一个法向量为，则有：，可求得平面的一个法向量为.设二面角大小为，则，所以，所以二面角的余弦值为.本题考查了线面平行的证明，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的余弦值问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.21．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.(1)求的长，并证明平面；(2)若，试确定的值，使得到平面的距离为.(1)见解析；(2)．【分析】（1）由题意，根据余弦定理，求出的长，由勾股定理，易证，结合条件，可知，根据线面垂直定理，从而问题可得解；（2）根据题意，可采用坐标法进行求解，由（1）可以点为原点建立空间直角坐标系，由共线定理，对点坐标作出假设，求出向量与平面的法向量，再由向量数量积公式进行运算即可.【详解】（1）证明：因为，，，在△中，由余弦定理，得，所以，即C1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC1B1，BC1侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又，平面，所以C1B⊥平面ABC．（2）由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(，0，0)，C1(0，0，)，B1(，0，)，，，设平面的一个法向量为，则令，得，又解得或，∴当或时，C到平面的距离为．22．如图1，正方形ABCE，，延长CE到达D，使，M，N两点分别是线段AD，BE上的动点，且．将三角形ADE沿AE折起，使点D到达的位置（如图2），且．(1)证明：平面；(2)当M，N分别为和BE的中点时，判断MN的长度是否最短并求出；(3)当MN的长度最短时，求平面与平面EMN所成角（锐角）的余弦值．(1)证明见解析(2)最短，(3)【分析】(1)分别在平面和平面BCE内作交于点G，交CE于点H，连接，根据题意可证得四边形MNHG是平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)由(1)表示出、，利用勾股定理求出的表达式，结合二次函数的性质求出，即可下结论；(3)建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求平面和平面EMN的一个法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可求解.【详解】（1）分别在平面和平面BCE内作交于点G，交CE于点H，连接．∵，∴．设，