统计学第四章参数估计课件

案例：食品的包装质量检查某食品公司生产的某规格袋装食品，产量基本保持稳定，规定每袋食品合格重量不低于100g。为对产品包装质量进行检测，该公司质检部门采用抽样技术：每天抽取一定数量的食品，检测袋装重量是否符合要求。现某一天生产的一批8000袋食品中采用不重复抽样，随机抽取了25袋检查。通过样本观测分析发现，平均每袋重量105.36g，检测人员以95%的把握程度确信，该整批食品重量在101.45~109.27g之间，且估计误差不超过4g。1第4章参数估计学习目标学习要求：理解——参数估计的两种方法

——2类抽样误差的实质及计量掌握——参数估计的优良评判标准

——单一总体参数的区间估计方法

——样本容量的确定学习重点：估计量的评判标准单一总体参数的区间估计学习难点：单一总体参数的区间估计2第4章参数估计第一节参数估计的一般问题二、参数估计的两种方法一、估计量与估计值第四章参数估计

(Parameterestimation）3第4章参数估计（一）总体参数的点估计（pointestimation）1、含义：利用样本计算的估计值直接作为对应总体参数的取值。例如:用样本均值或中位数作为总体均值的估计值，用样本比率作为总体比率的估计值，用修正样本方差作为总体方差的估计值。2、实质：抽样分布曲线上的一个确定数值（点）该估计值能否直接作为真实的参数使用？二、参数估计的两种方法5第4章参数估计3、估计量的优良性准则（点估计）（1）无偏性（unbiasedness）：估计量抽样分布的数学期望（均值）等于被估计的总体参数。即：可以证明，样本均值、样本比率、修正样本方差分别是总体均值、总体比率、总体方差的无偏点估计。无偏有偏AB●6第4章参数估计样本均值的分布样本中位数的分布例：与正态分布的中位数相比，样本均值是有效估计量（2）有效性（efficiency）基于相同样本容量计算的两个无偏估计量，方差较小的那个为有效估计量。即：若两个无偏估计量，存在，则前者为有效估计量。●7第4章参数估计（3）相合性（一致性）（consistency）样本容量越大，估计值越接近被估计的参数。AB小样本容量大样本容量P(X)x8第4章参数估计（二）总体参数的区间估计（intervalestimation）1、含义：在对参数点估计的基础上，以一定的置信水平估计出包含估计量与参数二者误差信息的区间。2、置信水平（confidencelevel）：表明估计量和总体参数的误差不超过一定范围的概率，记为1-α。显著性水平α形式：[估计值-允许出现的误差，估计值+允许出现的误差]10第4章参数估计0常用Z与置信水平的对应关系（双边显著性水平α）Z=1，P

=0.6827;Z=1.64，P=0.9；Z=1.96，P=0.95;Z=2，P=0.9545;Z=2.58，P=0.99;

Z=3，P=0.99731-α既定，重复抽样12第4章参数估计4、区间估计的基本思路：思路：利用实际抽样资料，计算出待估总体参数值在给定置信水平下的上限和下限，即参数可能存在的区间范围。对于总体参数θ，计算出样本的两个估计值θ1和θ2，使被估计指标θ落在区间[θ1，θ2]内的概率为1-α，即P（θ1≤θ≤θ2)=1一α。则称区间[θ1，θ2]为总体指标θ的置信区间，其估计置信水平为1一α，称α为显著性水平，θ1是置信下限，θ2是置信上限。14第4章参数估计一、抽样误差（Samplingerror）（一）有关误差的概念1、抽样误差：是指由于随机抽样的偶然因素使抽样估计值与总体参数之间存在的偏差。2、分类：抽样平均误差：反映抽样误差一般水平的指标。

实质：估计量抽样分布的标准差抽样允许误差：极限误差，抽样允许的最大误差

实质：估计区间的半径第二节单一总体参数的区间估计15第4章参数估计（二）抽样平均误差(Meansamplingerror)不重复抽样下，样本均值的抽样平均误差和总体离散程度、样本容量、总体容量有关：重复抽样下，样本均值的抽样平均误差与总体离散程度以及样本容量大小两个因素有关：1、样本均值的抽样平均误差16第4章参数估计2、样本比率p的抽样平均误差在不重复抽样的条件下，样本比率的抽样平均误差和总体离散程度、样本容量、总体容量有关：在重复抽样的条件下，样本比率的抽样平均误差与总体的离散程度以及样本容量大小两个因素有关：17第4章参数估计3、抽样平均误差所反映的内容可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。重复抽样条件下，样本均值（比率）分布的平均误差仅为总体标准差的，不重复抽样时误差更小。4、影响抽样平均误差大小的因素：1）总体离散程度2）样本容量n3）抽样方法4）抽样调查的组织形式18第4章参数估计（三）抽样允许误差(Ultimatesamplingerror)1、含义：进行区间估计时，对应于一定置信水平下允许出现的最大误差范围。称为总体均值的估计区间或置信区间。称为总体比率的估计区间或置信区间。2、抽样允许误差的表示：20第4章参数估计（四）抽样允许误差与抽样平均误差的关系以样本均值服从正态分布的重复抽样为例，正态标准化后，满足：Z021第4章参数估计（1）已知允许误差，估计给定误差下的置信区间抽取样本，代入样本估计量函数（如均值或比率），计算结果作为对应总体参数的点估计值。若总体标准差已知，进入下一步。否则，计算样本标准差以推算抽样平均误差。将抽样极限误差除以抽样平均误差求Z值，查《标准正态分布概率表》求出相应的置信水平。根据给定的抽样极限误差，构造估计参数的置信区间。给出结论。以？%的置信水平，估计某参数取值在？——？之间。23第4章参数估计例2：对某型号电子元件进行耐用性能检查，抽查的资料分组列表如下，要求耐用时数的允许误差为10.5小时，试估计该批电子元件的平均耐用时数。总体均值的区间估计（已知抽样允许误差）—12251175112510751025975925875组中值x100合计11200以上31150-120091100-1150431050-1100351000-10506950-10002900-9501900以下元件数f耐用时间（小时）1055501225352510125462253587558501850875xf269475.0028730.2542840.7543472.2516350.7532558.7538881.5034060.5032580.25（x-x）2f24第4章参数估计抽取样本，代入样本估计量函数（均值或比率），计算结果作为相应总体参数的点估计值。若总体标准差已知，进入下一步。否则，

计算样本标准差以推算抽样平均误差。根据给定的置信水平,反查标准正态分布概率表得到Z值。用抽样平均误差乘Z值计算抽样极限误差，估计参数的置信区间。得出结论。以？%的置信水平，估计某参数取值在？——？之间。（2）已知置信水平，估计给定置信下的区间26第4章参数估计例3：某纱厂某时期内生产10万个单位的纱，按随机不重复抽样方式抽取2000个单位检验，结果合格率为95%。试以95%的把握程度，估计该批纱合格品率及合格品数量的区间范围。解：已知合格率区间下限：合格率区间上限：因此以95%的置信水平估计该批纱合格率在94.06%和95.94%之间，合格品数量在94060—95940个之间。合格品数量上限：合格品数量下限：样本比率的抽样平均误差：由得Zα/2=1.9627第4章参数估计练习：1、某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（假设总体标准差为6分钟）。分析：大样本，总体容量未知，当做重复抽样来处理，总体方差已知，所以直接构造正态分布来估计即可。2、一家保险公司收集到36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄数据，试确立投保人年龄90％的置信区间。分析：总体分布和容量未知，方差也未知，在大样本条件下，用样本方差估计总体方差，采用重复抽样条件下的正态分布估计即可。28第4章参数估计2、小样本条件下，一般只讨论均值估计（1）总体若服从正态分布，方差已知，则构造估计量的正态分布进行参数估计，过程类似于大样本条件。例4：一家食品生产企业以生产袋装食品为主，按规定每袋的重量不低于100g。为对产品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。现从某天生产的一批食品中随机抽取25袋，测得每袋重量。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95％。30第4章参数估计解：总体服从正态分布且标准差已知，考虑到总体容量未知，按重复抽样来处理，所以直接构造正态分布来估计即可。计算样本均值的抽样平均误差：因此可以作如下估计，即以95%的置信水平，估计该批食品的平均包装重量在101.44-109.28克之间。根据给定的抽样允许误差，构造总体均值的估计区间：由置信水平为95%，得知下限为上限为计算区间估计的允许误差：31第4章参数估计2、小样本条件下（2）总体若服从正态分布，方差未知，则构造估计量的t分布进行参数估计，自由度为（n-1)t032第4章参数估计正态分布的小样本条件下，均值区间估计步骤：抽取样本，代入均值估计量函数，作为总体均值的点估计值。计算样本标准差。根据给定的置信水平和自由度，反查t分布概率表，确定t值。估计参数的置信区间。给出结论。以？%的置信水平，估计总体均值在？—？之间例5：例4中假设总体标准差未知，估计总体平均每包重量的95%的置信区间33第4章参数估计解：总体服从正态分布但标准差未知，n=25，在小样本条件下构造t分布来估计总体均值。计算样本均值的抽样平均误差：因此可以作如下估计，即以95%的置信水平，估计该批食品的平均包装重量在101.38-109.34克之间。根据给定的抽样允许误差，构造总体均值的估计区间：由置信水平为95%，自由度df=n-1=24，得下限为上限为计算区间估计的允许误差：34第4章参数估计练习：3、从一个正态总体中抽取一个容量为16的随机样本，计算其均值为50，标准差为8。请建立总体均值的95%的置信区间。分析：总体方差未知的正态分布的小样本参数估计，利用t分布4、某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取９件，测得其平均长度为2.14mm。已知总体标准差

=0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。35第4章参数估计根据置信水平和自由度，推算

分位数。（二）总体方差的区间估计抽取样本，计算修正样本方差，作为总体方差的点估计值。给出估计区间0

给出结论。36第4章参数估计解：依据已知计算修正样本方差：因此可以作如下估计，即以概率为95%的保证程度，估计该批电子元件耐用时数的标准差在45.81—60.61小时之间。根据显著性水平例2【续】：试以95%的置信水平估计该批电子元件耐用时数的标准差。和自由度查卡方分布表得：代入置信区间公式计算出总体方差的估计区间：总体标准差的相应估计区间：