数学哲学的教育价值与思考论文（共3篇）

数学哲学的教育价值与思考论文〔共3篇〕如今的数学比以前更快的速度要更快。这样的结果是很多以前对数学哲学感兴趣的数学以及一些新成长起来的数学家都很少涉够数学哲学。曾经有数学家就以为数学哲学家讨论的是“前天的数学〞而不是“今天的数学〞。以下为学术参考网的我采集的关于数学哲学论文范例，欢迎大家阅读欣赏。第1篇：数学哲学对于数学教育的价值数学哲学对于数学、数学教育和数学教学的意义何在？其实这一直是一个没有定论的问题。详细说来，人们大略不会否认数学哲学对于数学和数学教育的作用，无论这种作用是大还是小，是积极的还是消极的，是长期的还是短期的，是直接的还是间接的。然而人们难以有共鸣的是，数学哲学在何种水平上，以何种方式对数学和数学教育起着作用。本文将从数学哲学的一个核心与主要的领域——数学观出发，对相关话题予以初步阐述，以期引起中小学数学老师对此话题的关注。一、数学观演变的历史掠影自从数学产生以来，人们就构成了关于数学的很多认识。人们关于数学的理解和看法在相当水平上取决于当时数学知识发展的水平。例如，无论是在中国古代还是古希腊，万物固有的量性特征都促使人们考虑了物质与数量之间的关系。在〔道德经〕中，老子提出了“道生一，一生二，二生三，三生万物〞的思想，而古希腊的毕达哥拉斯学派的信念则是“万物皆数〞。再比方，物质存在的空间形态促使人们对几何形体进行了研究，几何学因此成为所有数学文化的共同对象，虽然所采用的研究方法各不一样。在数学发展早期，由于数学知识的特点，这种对于数量与空间形式的认识可能是初步的、幼稚的，以至是毛病的。例如，无论是在中国古代、古巴比伦、古埃及还是古代印度，数字与神秘主义一直有着千丝万缕的联络。在古希腊，由于受所有的数都是整数之比这一观念的影响，无理数的发现竟然被以为是一场灾难。与古埃及、巴比伦和其他的经历体验主义数学范式不同的是，古希腊数学在很多基本和重大的观念上都是创始性的。在本体论方面，古希腊人把数学研究对象加以抽象化和理想化，使之成为与现实对象不同的具有永远恒久性、绝对性、不变性的理念对象。在认识论方面，对于数学真谛的断定，古希腊人坚持运用演绎证明而不是经历体验感悟，并赋予数学真谛以与其本体论性质相当的价值观念。古希腊人把数学加以观念化，使之成为一种形而上学的学问，而不仅仅停留在实用的、技术的、巫术的、技艺的等形而上学的层面。在方法论方面，古希腊人赋予数学以严密的逻辑构造，使数学知识以一种体系化的形式呈现，并坚持通过论证的方法获得数学命题的可靠性。演绎数学作为古希腊所创始的数学范式，其基本观念在毕达哥拉斯学派和柏拉图的数学世界中到达了顶点。毕达哥拉斯学派首先开始把数学作为抽象的对象加以研究，柏拉图则进一步把这种思想提升到了哲学和形而上学的层面，最终构成了有名的毕达哥拉斯一柏拉图的数学观念，作为这一数学观念知识典范的就是欧几里得的〔几何本来〕。古希腊人创造的演绎数学范式，完全改变了经历体验数学范式之下人们对数学的看法，对西方数学的发展有极为深刻的影响，进而对西方数学教育的进程产生了难以估量的影响。概括起来看，在数学发展的历史上，数学观重要经历了三个主要阶段。第一个阶段是酝酿、预备和发动阶段。文艺复兴以来，古希腊数学范式开始逐步演变，并直接促使了现代数学的诞生。伴随着文艺复兴之后几个的数学创造与进展，一批伟大的数学巨匠相继出现。如伽利略、笛卡尔、帕斯卡、牛顿、莱布尼茨等，这些数学家在古希腊演绎数学的基础上创始了现代数学的广阔领域。这一时期，整个数学思想开始从古典数学、静态数学(以古希腊数学为标记)向现代数学、动态数学(重要标记是极限思想)改变。现代数学是以微积分的诞生为标记的。现代数学的发展在牛顿、莱布尼茨时代只是一个初步的雏形。它的逐步成熟是在第二个阶段，也就是法国数学学派兴盛的时期。以富里叶、拉普拉斯等为代表的数学家把现代数学推向了一个新的阶段。其基本特点是在数学本体论中驱逐了神的地位，建立了相对独立的数学作为天然法典解读者的地位。现代数学发展的最高标记(也就是第三个阶段)是数学逐步地变成自为、自足与自律的学科，这是18世纪末、19世纪以来数学发展的一个最显著特征。19世纪中叶以来，随着非欧几何和非交换代数的诞生，以及一系列具有革命性意义的数学知识的发展，关于数学对象存在性和真谛性的、神学的、柏拉图主义的和形而上学的观念开始逐步被颠覆。随着数学变成一门独立的学科，其本身的理论体系建设就成为一个特别主要的问题，所以，完善微积分的基础，更广泛地讲，完善整个数学的基础就成为燃眉之急。然而，关于数学的基础和数学性质，大多数数学家仍然停留在现代数学哲学的范式之中，这一点在三大流派那里具体表现出得最为明显。三大流派的共同点是以现代性数学思想为基调的基本诉求，即相信能够通过建立巩固不变的基础，使数学获得一个免于被质疑的知识地位，并在这一体系中消除各种矛盾和悖论，到达体系的一致性。然而，这种基础主义的诉求却被证明是无法实现的。而哥德尔不完全性定理的诞生作为基础主义运动的一个意外结果，为绝对主义数学观的终结画上了句号。固然现代数学观念有着宏大的价值，但为了数学的长足进步，现代数学观念中有两个基本观念是需要扬弃的：一个是神学的、形而上学的柏拉图主义数学观，一个是对逻辑化、形式化、形式化的数学观念和认识范式的绝对、盲目地信仰。二、数学观的现代发展在19世纪末20世纪初，为了解决由于集合论悖论等悖论造成的数学基础的危机，很多数学家和数学团体致力于建立避免产生悖论和矛盾的数学基础重建工作。其中最引人注视的是形式主义、逻辑主义和直觉主义，它们构成了围绕数学危机展开的数学基础的三个重要流派。形式主义者主张用形式公理化系统去整合整个古典数学。一个数学系统的形式化就是把这个数学系统用形式语言进行描绘叙述，而这一形式语言需要知足符号系统、构成规则和变形规则等几个条件。数学系统的公理化是指，通过选取少数不加定义的原始概念(基本概念)和无条件成认的互相制约规定(公理)作为出发点，经过严密的逻辑推理，使某一数学系统成为演绎系统。希尔伯特等数学家为了奠定数学的结实基础，提出了元数学理论，目的是要为数学的证明、推理、方法、规则等提供一个合理的基础。以弗雷格、罗素和怀特海为代表的逻辑主义企图沿循数理逻辑的路线去奠定数学的基础。在逻辑主义者看来，与数学相比较，逻辑具有更为基本的和起始性的知识实质。因而，把数学归结为逻辑就成为逻辑主义的基本指点思想。为了实现数学的逻辑化，首先必需假设全部数学能够复原为某种数学基础，例如实数理论，而实数理论又能够复原为有理数，最终归结为天然数理论。假设上述复原都是通顺的，那么只需要把天然数理论逻辑化，一切就都大功告成了。假如数学逻辑化的工作得以完成，数学就成为逻辑的一部分。皮亚诺的算术理论、数理逻辑的发展和弗雷格在逻辑公理化方面所作的工作，为逻辑主义的事业奠定了基础。与逻辑主义的信念正好相反，直觉主义的代表布劳威尔以为：“逻辑是从数学派生出来的，它显然依靠于一种实质上的数学直观，这种直观建立在康德的‘内感形式’的时间概念的基础上。〞在直觉主义的基本思想指点下，直觉主义者提出了一套不同于当时已有的数学与逻辑观点的“直觉主义数学〞和“直觉主义逻辑〞。其基本思想是，把数学与逻辑的可靠性建立在直觉上得到构造的对象和推理经过之上，而放弃那些不符合“可信性〞标准的数学概念和方法。这种“可信性〞用直觉主义的一个有名口号来表达就是“存在就等于被构造〞。20世纪30年代初，哥德尔发表了有名的哥德尔不完全性定理，进而从根本上公布了基础主义三大流派的整体数学目的的失败。之后，关于数学观的认识进入了一个新的时期。这一时期的数学观的一个整体特点就是对绝对主义数学观的批判。这些批判虽然角度和观点不尽一样，但总体能够用“可误主义〞的数学观来表达。其观点详细具体表现出在普特南、波普尔、拉卡托斯等哲学家的数学思想中。关于数学基础，美国有名哲学家普特南在其有名的〔没有基础的数学〕一文中提出的观点是：“在过去的半个世纪里，哲学家和逻辑学家曾经如此忙于试图为数学提供一个‘基础’，而只要很少的很害怕的声音敢于建议数学并不需要一个‘基础’。我在这里希望促进某些这样微弱的声音所表达的观点。我不以为数学是不清楚的，不以为数学的基础出现了危机，以至不相信数学具有或需要一个‘基础’〞英国有名科学哲学家波普尔以为在数学中没有完全确定的东西，即便是作为数学理论演绎构造逻辑起点的公理也是如此。公理不能再被当做是直觉上自明和能够免于被疑心的，它们能够被看做是一种约定或是一种经历体验和科学的假设。三、现代数学观及其对于数学教育的启迪有名数学哲学家拉卡托斯在阐述了关于数学不再具有完全可靠基础的观点之后，提出了数学的拟经历体验主义立场，包含下面五个基本观点：数学知识是可误的，数学是假设——演绎的，历史是核心，断定非形式数学的主要性以及知识创造的理论。由于数学基础主义在20世纪初的宏大影响及其对于数学观认识的某些共性，以及后来对于基础主义反思所表现出来的共同特点，英国学者欧内斯特把数学观分为绝对主义数学观和可误主义数学观。绝对主义数学观和可误主义数学观的类似之处在于，两者的数学观基本上是一种内部视角。两者的不同之处在于，绝对主义数学观所关注的是数学构造内在确实定性和不变性。其对于数学真谛的看法是固定不变的和一劳永逸的。而可误主义数学观则以为数学是动态的、猜想的、拟经历体验的、可错的、历史的，数学真谛是能够修正的。继可误主义数学观之后，20世纪末，关于数学观的认识进入了社会建构主义的认识时期。对于社会建构主义的数学哲学，欧内斯特这样表达了其思想来源和知识基础：“社会建构主义将数学看做社会的建构，它汲取约定主义的思想，成认人类知识、规则和约定对数学真谛确实定及断定起着关键作用。它汲取拟经历体验主义的可误主义认识论，其中包含数学知识和概念是发展和变化的思想。它还采用拉卡托斯的哲学论点，即根据一种数学发现的逻辑，数学知识在猜测和反驳中得到发展。相对于规定性哲学来说，社会建构主义的数学哲学是一种描绘叙述性数学哲学，旨在适宜的标准下解释普遍所理解的数学的实质。〞对于主观知识与客观知识的区分、对个体主观知识的强调，以及对主观知识与客观知识之间辩证关系的讨论构成了欧内斯特社会建构主义理论的一个突出特色。关于数学客观性和数学知识的客观性，欧内斯特把客观知识理解为主体间性和为数学共同体所分享的，即比波普尔所理解的客观知识要广泛一些。欧内斯特也坚持客观知识必需是明确的、公共的与布鲁尔一样，欧内斯特也赋予了客观知识一种社会的意义。欧内斯特以为，传统的(包含波普尔在内)客观知识观从来没有解释过客观性自己，而客观性的社会视角却能提供一种关于客观性和客观知识的基础与实质。传统上被称之为数学知识的，在社会建构主义那里被叫做数学的客观知识，原因就是社会建构主义以为还有一个数学的主观知识概念。在很多数学家那里，与社会建构主义相类似的论点也不少见。例如数学家韦勒就以为：“数学完全具有可误性和不确定性。数学唯存在于人的思想中，数学从培养人的思想那里得到其性质。由于数学为人培养并唯存在于人的大脑，因而学习数学的人之大脑培养或再培养数学是必定的。〞与可误主义数学观相比，社会建构主义的数学观采用了更为广阔的外部视角，即强调用社会的、建构的观点审视数学，凸现了信念对数学的作用。我们能够把社会建构主义的数学观看做是可误主义数学观的一种发展同时，由于社会建构主义的数学观采用了更为广阔的视角，讨论了更为广泛的问题，因而其对于数学的基本见解比可误主义数学观就更进了一步。那么，数学观的演变及其现代发展对于数学教育有如何的影响和启迪呢？这里结合一些主要的数学教育问题进行讨论。1、数学不该该被看做是绝对真谛，数学知识也不能被看做是确定无疑的知识，数学不能被看做是绝对知识的典范。由于数学被以为是科学中最具坚实基础和可靠性的学科，所以，在传统的数学观念中，数学被看做是绝对知识的典范。而事实上，科学具有探寻求索性和动态性特征，在科学意义上，并不存在什么绝对知识和绝对真谛。详细到数学知识而言，数学也不能被看做是完全确定无疑的知识。这一点对于数学老师来说是尤为主要的。但是，老师在数学教学活动中应该怎样落实上述数学观，却不是一个能够简单和轻易处理的问题。由于传统数学观、数学教育观与现代数学观、数学教育观的差别，带来了对数学知识的不同见解。在数学的科学层面上，数学知识发展到什么水平，数学观就应该有相应的调整。反之也一样，数学观的改变能够促进数学知识的进步。而在数学教育活动中，学生所经历的是数学知识的漫长的历史演变经过。因而，单一的数学观似乎无法囊括这些数学知识所经历的变迁和发展。况且，作为教育的数学是经过过滤和选择的数学，其科学性与教育性被结合在一起，所以，其中关于数学观的问题就要复杂得多。2、数学是猜测与反驳的说法与数学教育中数学的一贯形象不一致所导致的认识困惑，以及可误主义数学观在如何的水平上合适于中小学数学知识，值得考虑。我们应该看到的是，数学理论和结论是能够修改的，与数学是可误的观点是有区其余。一般而言，把数学笼统地称为“可误的和不确定的〞，并不符合数学知识的一般特点。假如把数学是“可误的和不确定的〞结论改成数学具有“在一定范围内的可修正性和相对确定性〞可能更符合数学知识的整体特点。如此看来，老师和学生既不要把数学教学材料上的话当做圣旨，也不要由于数学具有“在一定范围内的可修正性和相对确定性〞，而把数学看做仅仅仅是由其游戏规则确定的随意可变的魔术，更不要把数学看做是“不可靠〞的和不值得信赖的知识。由于中小学数学知识基本不牵涉现代数学中棘手的悖论问题、元数学以及数理逻辑问题，因而，泛泛地声称数学是“可误的和不确定的〞，会引起很多误解，并导致某种认识上的混乱。然而，一味地把数学奉为绝对知识和可靠知识的典范，也不是好的办法，由于学生会在之后的高等教育中逐步接触到数学知识的“非确定性〞一面，就会产生较大的认识冲突。因而，较好的做法是，在教学中不要把关于数学形象的话说绝了，要给学生以后的数学观发展留下充足的余地。3、不能简单地说数学是主观知识或者是客观知识。我们要看到数学知识的双重性，即它是由具有主观意识的人根据数学对象的不同数学特征所建构和创造的，这些最初具有个体化和主观色彩的知识形式被数学的范式、数学共同体和数学的传统所过滤、检验并从新塑造，逐步成为具有某种客观性和社会性的知识。这样一个经过是动态的、辩证的、互相循环和互相转换的。这样一种关于数学知识产生的描绘叙述对认识数学教育的实质有很好的启迪。详细说来，一方面，我们能够赋予数学教学活动更多的自立性，调动师生的主体性和创造性；另一方面，我们又需要尊敬数学的客观性，逐步构成实事求是的科学精神。4、数学科学基础建立的困难与中小学数学知识基础的建立不是同一层面上的问题。由于数学基础主义者建立牢不可破的数学基础的努力的落空，消极和极端的数学观点以为数学就没有基础，也不需要基础。然而，对于中小学数学知识的课程建设和教授而言，需要的知识基础是必须的。十分是，数学知识的逻辑构造应该按一定的顺序和关系予以建构。因而，后续知识应该以一定的知识基础为前提，无论这些基础知识是介绍性的还是具体讲解的，都要在课程中以一定的方式具体表现出出来。换句话说，新授数学知识不能是海市蜃楼，而应该与先前的知识有某种有机的关联。无论是在科学或者教育层面，数学都不能是毫无关系的知识片段的大会聚。综上，由于数学观的历史演变，十分是数学知识的双重性和曲折发展所带来的数学观的改变，给数学观蒙上了一层历史——社会——文化的色彩。数学观就不能被看做是单一的、固定不变的和绝对正确(或毛病)的，而是要与数学知识的背景相联络，要与数学知识的特点相联络，还要与数学教育的对象相结合。只要这样，能力给老师和学生一个适宜的数学观。黄秦安第2篇：拉卡托斯数学哲学观述评一、拟经历体验主义数学哲学观拉卡托斯的数学哲学思想通常被称为“拟经历体验的数学观〞，它包含互相联络的两个方面的内容：数学的拟经历体验论和证明分析法的数学方法论。拉卡托斯这一理论的建立，一方面具体表现出了对当时科学哲学尤其是波普尔证伪主义科学哲学理论的批判性继承，另一方面也为其后来建立自己的科学哲学理论……“精致证伪主义……科学研究纲领方法论〞构筑了理论框架。1.拟经历体验的数学观长期以来，数学一直被以为永远恒久真谛的积累。在这一领域，数学知识先验论一直占领者主导地位。然而，随着数学的发展和新问题的不断出现，这种认识逐步发生了动摇，在这场革命中，曾经先后出现三次危机。固然逻辑主义、直觉主义、和形式主义的数学家们就数学基础问题进行了大量研究，妄图为数学建立一个一劳永逸的可靠的基础，但是这三的纲领都相继失败了。在这样的背景下，拉卡托斯提出了关于数学性质的新见解……数学是拟经历体验的。拉卡托斯以为欧几里德纲领和归纳主义纲领都不能避免无穷回归，而他独创的拟经历体验主义则能够避免这一问题。拟经历体验主义纲领的突出特点在于其注入的真假值是假值，且由下到上的真值传递是说明性质的而非证明性质的。这样，一个理论要么是猜想性的，要么是假的。进而，拟经历体验主义纲领就克制了欧几里德纲领和归纳主义纲领的弊端。它不是寻求停止无穷回归，寻求确定的基础，而是提倡一种批判精华要髓素呢，建立理论的证伪。可见，拉卡托斯的这一思想本质上是继承了波普尔的具有批判性的可错论的思想，对于制止证明和定义的无穷回归不抱任何梦幻想象，而且承受疑心论者对任何的确可靠的真值注入的批判。拉卡托斯以为，不管是在这些理论的顶部还是底部都不可能存在知识的基础，而无论在什么地方，都只能存在实验性的真值注入和意义注入。他进而指出，“经历体验理论要么是假的，要么就是猜想性的。〞我们从来就不知道，而只是揣测。但是，我们能把揣测变成可批判的揣测，而且批判和改良这种揣测。“而且改良的方法也是“我揣测〞。在拉卡托斯看来，“揣测的无穷回归是不会有什么毛病的。〞他得出下面结论：〔1〕数学定义和证明中的无穷回归是不可能依靠逻辑理论来解决的。它是属于经历体验论者的理论，因而，只要没有表示清楚他是假的，他就是具有揣测性的。〔2〕由于“元数学〞并没有解决数学无穷回归的问题，因而，“元数学〞理论也不外是一种猜想罢了。〔3〕数学基础研究的这些“不成功的例子〞足以证明数学真谛性的基础是不可靠的，其根本原因在于人们不了解数学的可真伪性，不了解数学是一种拟经历体验的理论，而拟经历体验的理论在于他的可猜想性和可证伪性。2.证明分析方法的数学方法论拉卡托斯在数学方法论上的研究结果……启发性证明分析法〔即助探法〕表示清楚科学发现不仅仅是一个心理学的范畴，同时也需要理性分析，也就是说存在着传统意义上的“发现的逻辑〞。这不仅标记着拉卡托斯拟经历体验数学观的进一步发展和深化，而且从后面的分析中我们还能够看到，也恰是这种理性的启发性思想导致了拉卡托斯的“科学研究纲领方法论〞的科学哲学理论的产生。虽然波普尔将其理论称为“科学发现的逻辑〞，但他并不成认科学存在发现的逻辑。在他看来，科学哲学只不外是讨论“检验的逻辑〞而已。与此相反，拉卡托斯确信在数学中存在有一个真正的、在为逻辑实证主义及波普尔所否认的传统意义上的方法论，也就是说存在有这样一种实现数学进步的方法。应该说，拉卡托斯与波普尔的差别根本源头在于他们对各自证伪逻辑的不同认知。波普尔的证伪逻辑是单个理论能够证伪单个理论。只要存在一个反例就能够证伪原先的猜测。拉卡托斯则以为反例证伪的应该是相对于假说以外的辅助假说、理论前提以及观察命题而言的。拉卡托斯以为不要由于出现一个反例而否认原先的猜测，而是要在这里基础上不断调整改良原来的猜测。这就是拉卡托斯“证明分析法〞的基础。拉卡托斯证明分析法的核心是借助“反例〞对已给出的“证明〞进行分析，并使隐蔽的前提明朗化，进而对原先的猜测进行改良，以期最终获得“可靠〞的真谛。证明分析法的本质就是猜测的证明与反驳。这一方法除了对数学发现自己的意义之外，它的重要目的就是要试图证明：“非形式，准经历体验数学的生长，靠的不是单调增长千真万确的定理的数目，靠的是运用玄想和批判、用证明和反驳的逻辑不停地改良猜测。即数学理论在微观上的增加形式是：原始的猜测〔定理和引理〕-----证明与反驳----改良了的猜测〔定理和引理〕------〞进而，“数学理论并非永远恒久真谛的积累，它也像经历体验科学理论一样是一种猜想〞这一拟经历体验的数学观也就称为这一方法论研究的天然结论。因而，拉卡托斯关于数学方法论的研究与关于数学性质的研究也是统一的。二、对拉卡托斯数学哲学思想评价吸取了波普尔证伪主义和可误主义中的思想养料，拉卡托斯的数学哲学通过强调数学的可错性和拟经历体验性，力图摧毁关于数学的绝对理念和基本立场，尤其是对逻辑主义、直觉主义和形式主义数学观的批判是极为深刻的。从这一点看，拉卡托斯的数学哲学是具有革命性和进步性意义的。拉卡托斯对数学发现的逻辑的理解和刻画也是具有独创性的，这也是拉卡托斯不同于他教师波普尔的一点。拉卡托斯以为可错论回答了疑心论的无穷回归的责难，将波普尔的可错论引进了数学领域，改变了关于数学的传统观念。拉卡托斯对传统基础主义认识论的批判基本上是正确的，他的数学可错论以为数学不是经历体验的，而能够归为准经历体验学科，数学是可错的，这一思想是有合理之处的。不外，我们必需看到，拉卡托斯在否认数学先验性的同时，不提数学来源于现实世界这一根本领实；而是以为数学的方法是准经历体验的，即大胆的思辨猜想，严厉地批判反驳等等。固然他所提出的数学进步观与古典的数学进步观相比，确实揭示了一种新型的数学发展形式，但他本质上没有牵涉到数学的最终来源这一根本问题。拉卡托斯的数学可错论，完全建立在疑心论的无穷回归的论证基础上，在我们看来，其实大可不必。假如真正成认了数学的经历体验性质，成认数学来源与现实世界，由于人们对现实世界的认识总不是不完全的、近似的，这自己就能够解释数学的可错性了，没有需要借助于疑心论的批判武器。从后现代的角度来看，与波普尔一样，拉卡托斯的数学哲学思想仍然停留在传统理性主义的领域之内。拉卡托斯因循波普尔的证伪主义所建立的“拟经历体验主义〞数学观，过于强调数学的猜想性、可错性和可反驳性等部分特征，而忽略了数学固有的证明性质和数学知识相对于其体系固有的必定性、可靠性和连续性等特点，有失与数学知识发展以及何以可能的真实和逻辑历程。除此之外，拉卡托斯过分强调数学和科学的共性一面而忽略了两者之间明显的差别性，这种混同能够从其对于拟经历体验数学观的定位中清楚地看出来。邓杨杨第3篇：高等数学教学中的数学哲学考虑一、早期的数学家为什么都是哲学家？在古希腊，哲学家都格外看重数学。最早的唯物主义哲学家泰勒斯，提出了原子唯物论的德谟克利特，最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都曾到埃及学习几何。毕达哥拉斯学派以为世界的本源是数：“万物皆数〞，固然这个看法如今看来可笑，但毕达哥拉斯学派是第一次抽象的处理数学概念的人，使得数学理论从大地测量、计算等活动中抽象出来，他们在研究中发现了毕达哥拉斯〔九章算术称勾股定理〕定理。比毕达哥拉斯学派更广为人知的是柏拉图学院，该院学生以亚里士多德最为知名。这些学生大多是那个时代最知名的数学家、哲学家和天文学家。后来这很多学派和个人的工作，被欧几里得总结在〔几何本来〕中，在〔几何本来〕中，欧几里得从几条公理出发，演绎了500多条希腊大师的定理、结论。唯理论的两位大家——笛卡尔和莱布尼茨恰是两位数学大家。勒奈·笛卡尔〔1596～1650〕，伟大的哲学家、物理学家、数学家。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“为人类争取并保证理性权利的第一人——笛卡尔。〞1628年，他从巴黎移居荷兰，先后发表了很多在数学和哲学上有重大影响的论著：〔论世界〕〔1634〕、〔行而上学的寻思〕〔1641〕、〔哲学原理〕〔1644〕等。1637年，笛卡尔的〔几何学〕，创立了直角坐标系，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡尔的变数是数学中的转折点。变数使得运动走入数学，变数使得辨证法走数学，变数使得微分和积分也就立即成为需要。笛卡尔的成就，为后来一大批数学家的新发现开拓了道路。作为微积分的创始人之一的德国有名数学家、科学家、哲学家——莱布尼茨发明了微积分符号，一直沿用到今。有名的哲学家罗素、布劳威尔等也都研究数学，而有名的数学家希尔伯特也研究哲学，这样的例子无法一一列举。这些有名的学者都同时精通数学和哲学，一方面原因是由于早期的学科分类没有像今天这样分得如此具体；另一方面也说明，数学和哲学有着不可分割的内在联络。“没有数学我们无法看穿哲学的深度，没有哲学，人们也无法看穿数学的深度，而没有这两者，人们就什么也看不透。〞德莫林思〔ns〕这句格言深刻地表示清楚了数学与哲学的深切厚重关系。自从有哲学以来，数学就成为哲学问题的一个主要来源，为哲学的考虑与发展提供了丰富的理论环境。二、数学对哲学的影响数学始终影响着哲学。在数学的发展史上，有过三次“危机〞。哲学家芝诺在公元前五世纪提出了几个有名的悖论，加之无理数出现造成的危机，是第一次数学危机；初期微积分逻辑上有缺陷，围绕微积分基础展开了的论战是第二次数学危机；哲学家罗素在集合论中发现的“罗素悖论〞，动摇了把集合论作为整个数学的基础的思想，这就是所谓的第三次数学危机。第一次危机的结果建立了严格的实数理论。数学家回答了“什么是连续性〞。第二次危机的结果建立了微积分的严密基础极限理论。数学家回答了“运动是怎么回事〞。第三次数学危机的结果产生了“数学基础〞这个至今尚在蓬勃发展的数学领域。三、哲学对数学的影响数学也受哲学的影响，但是不如数学对哲学的影响明显。即便数学家自己是哲学家，他的数学活动并不一定打上哲学观点的烙印，他的哲学观点往往被后人否认，而数学结果却与世长存。如康托尔，他以为无穷集是客观存在的，表现出唯心主义倾向，不外这可能愈加激发了他的研究热情。他对实无穷的研究，最终得到线段上的点要多于天然数，解决了两千多年哲学家们都没有解决的问题。一些卓著的哲学家如亚里士多德、康德、莱布尼茨都坚持没有着实的无穷，实际上以为人不可能认识实无穷，像天然数一样。而康托尔的集合论，使数学思维进人了无穷的王国。所以，我们能够这样说：很多数学家是自发的唯心主义与不自发的唯物主义的结合。四、现代数学哲学的考虑我们如今有一种考虑是数学哲学需要向数学文化哲学的过渡。罗素的集合悖论培养了人们对数学的信任危机，但是仍然有大批的数学家，诸如怀特海、希尔伯特等人一直在寻求一种新的基础，来拯救这种信任危机。也恰是由于这种危机促使了数学哲学推向了一个新的阶段。在不断的研究经过中，相继出现了逻辑主义、直觉主义、形式主义。但是，随着更多的数学家参加这场讨论大战，比方哥德尔证明的不完全定理，使得我们对形式主义和直觉主义产生了疑心并逐步放弃了形式主义和直觉主义。产生的后果是数学界只研究纯洁的数学，哲学问题逐步淡出了数学家的视线，而且他们发现这种缺失的哲学并没有对数学研究产生欠好的影响。后来的数学家发现数学比以前更快的速度飞速发展。这样的结果