近世代数期末考试卷与答案

..近世代数试题一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集〔是子群。A、B、C、D、2、下面的代数系统〔G,*中,〔不是群A、G为整数集合,*为加法B、G为偶数集合,*为加法C、G为有理数集合,*为加法D、G为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的？〔A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换,其中=〔12〔23〔13,=〔24〔14,=〔1324,则=〔A、B、C、D、5、任意一个具有2个或以上元的半群,它〔。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。5、A={}B={2.5.6}那么A∩B=-----。6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。7、叫做域的一个代数元,如果存在的-----使得。8、是代数系统的元素,对任何均成立,则称为---------。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P是----------。三、解答题〔本大题共3小题,每小题10分,共30分1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群,H是G的子群,H={I,<12>},写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合,""是数的乘法,则""是E中的运算,〔E,是一个代数系统,问〔E,是不是群,为什么？3、a=493,b=391,求<a,b>,[a,b]和p,q。四、证明题〔本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分1、若<G,*>是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。近世代数模拟试题三一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是〔。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群,G有〔个元素,则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于〔。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格〔A、〔N,B、〔Z,C、〔{2,3,4,6,12},|〔整除关系D、<P<A>,>5、设S3＝{<1>,<12>,<13>,<23>,<123>,<132>},那么,在S3中可以与<123>交换的所有元素有〔A、<1>,<123>,<132>B、12>,<13>,<23>

C、<1>,<123>D、S3中的所有元素二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则----------。3、区间[1,2]上的运算的单位元是-------。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z8的零因子有-----------------------。6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。9、设群中元素的阶为,如果,那么与存在整除关系为--------。三、解答题〔本大题共3小题,每小题10分,共30分1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？2、S1,S2是A的子环,则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换,。1．求和；2．确定置换和的奇偶性。四、证明题〔本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>。1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题〔本大题共3小题,每小题10分,共30分1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：2、解：设A是任意方阵,令,,则B是对称矩阵,而C是反对称矩阵,且。若令有,这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵,则,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即：,,所以,表示法唯一。3、答：〔,不是群,因为中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题〔本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分1、对于G中任意元x,y,由于,所以〔对每个x,从可得。2、证明在F里有意义,作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题〔本大题共3小题,每小题10分,共30分1、解：H的3个右陪集为：{I,<12>},{<123>,<13>},{<132>,<23>}H的3个左陪集为：{I,<12>},{<123>,<23>},{<132>,<13>}2、答：〔E,不是群,因为〔E,中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到<a,b>=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-<b-3×102>=4×102-b=4×<a-b>-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题〔本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分1、证明设e是群<G,*>的幺元。令x＝a－1*b,则a*x＝a*<a－1*b>＝<a*a－1>*b＝e*b＝b。所以,x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解,则x＝e*x＝<a－1*a>*x＝a－1*<a*x>＝a－1*b＝x。所以,x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合记为Zm,每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为,称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b<m>。当m=2时,Z2仅含2个元：[0]与[1]。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答题〔本大题共3小题,每小题10分,共30分1、解在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算：例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件,要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因为S1,S2是A的子环,故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2,因而a-b,ab∈S1∩S2,所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例