常系数线性微分方程

§7.4常系数线性微分方程（二）三、欧拉（Euler）方程常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第1页!二阶常系数非齐次线性方程:(1)的通解常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、型(1)非齐次(2)齐次常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第2页!设非齐方程（1）的特解为：常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第3页!特别地常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第4页!解特征方程例2代入方程,得特征根常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第5页!注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第6页!解例4通解常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第7页!解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例6常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第8页!解例10则由牛顿第二定律得常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第9页!思考题1写出微分方程的待定特解的形式.常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第10页!练习题1常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第11页!练习题1答案常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第12页!解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.三、欧拉方程的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第13页!上述结果可以写为用表示对自变量求导的运算常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第14页!原方程化为即或(1)方程(1)所对应的齐次方程为其特征方程常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第15页!例2（04年研究生入学考试题）的通解为

欧拉方程【解】令则代入原方程，整理得通解为常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第16页!练习题2常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第17页!综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第18页!解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例1常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第19页!利用欧拉公式常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第20页!解例3原方程的特解原方程通解为常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第21页!解例5原方程通解:常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第22页!小结:(待定系数法)常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第23页!解此方程得代入上式得常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第24页!思考题1解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第25页!常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第26页!常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第27页!作变量变换将自变量换为常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第28页!将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解，把换为，即得到原方程的解.一般地，例求欧拉方程的通解．解作变量变换常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第29页!特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为代入原方程，得所给欧拉方程的通解为常系数线性微分方程共32页，您现在浏览的是第30页!小结欧拉方程解法思路变系数的线性微分方程