完整版,参数估计和假设检验习题解答

参数估计和假设检验习题.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差)已知为150,今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5%的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值〃为1600?解：H°:从=1600,H1:从。1600,标准差。已知，拒绝域为|Z|>z,取a=0.05,n=26,2z=z=z =1.96,由检验统计量|Z|=x-―%=16371600=1.25<1.96，接受H:r=1600,a 0.025 0.975 11o/4n\ 150/y/26 02即，以95%的把握认为这批产品的指标的期望值4为1600..某纺织厂在正常的运转条件下，平均每台布机每小时经纱断头数为O.973根，各台布机断头数的标准差为O.162根，该厂进行工艺改进，减少经纱上浆率，在200台布机上进行试验，结果平均每台每小时经纱断头数为O.994根，标准差为0.16根。问，新工艺上浆率能否推广(«=0.05)?解：H0:片N从2,H1:.〈从公.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64。，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62。，如改变工艺前后电阻的标准差保持在 O.06。，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(«=0.05)?解：H0:从=2.64,H1:从。2.64,已知标准差。=0.16，拒绝域为|Z|>z，取a=0.05,z&=z。您=1.96,2 2n=100,由检验统计量|Zn=100,由检验统计量|Z|=2.62-2.640.06/<100=3.33>1.96，接受H1:r牛2.64,即，以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响..有一批产品，取50个样品，其中含有4个次品。在这样情况下，判断假设H0：pW0.05是否成立(«=0.05)? 0解：H0:p<0.05,H1:p>0.05,采用非正态大样本统计检验法，拒绝域为Z>za,a=0.05,z095=1.65,n=50,由检验统计量n=50,由检验统计量x/n-pPp义(1-p)/n4/50-0.05J0.05义0.95/而=0.9733<1.65，接受”：pW0.05.即,以95%的把握认为pM0.05是成立的..某产品的次品率为O.17,现对此产品进行新工艺试验，从中抽取4O0件检验，发现有次品56件，能否认为此项新工艺提高了产品的质量(«=0.05)?解：H0:p>0.17,H1:p<0.17,采用非正态大样本统计检验法，拒绝域为Z<-za,n=400,a=0.05,-z=-1.65,由检验统计量0.95=-=-1.5973>-1.65,接受H0:p>0.17,乙x一np

iZ=.i=1 ,nnxpx(1-p)56-400x0.17

<400x0.17x0.83电以95%的把握认为此项新工艺没有显著地提高产品的质量..从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，计算得兄=11958,样本标准差s=323,问以5%的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100(假定发热量是服从正态分布的)？解：H°:从=12100,H1:从。12100，总体标准差o未知，拒绝域为卜|>t(n-1),n=24,工=11958,211958-12100323/<24s=323,a=0.05,1002s(23)=2.068711958-12100323/<24=2.1537>2.0687，拒绝H:r=12100，接受H:r牛12100,即，以95%的把握认为试验物的发热量的期望值不是12100..某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐，测得其重量为(单位：克)：195,510,505,498,503,492,ii02,612,407,506.假定重量服从正态分布，试问以95%的显著性检验机器工作是否正常？解：H0:r=500vsH1:rw500，总体标准差o未知，拒绝域为|t|>t(n-1),n=10,经计算得到2502-5006.4979/710元=502,s=6.4979,取a=0.05,1002s(9)=2.2622502-5006.4979/710=0.9733<2.2622,接受H0:r=500即，以95%的把握认为机器工作是正常的..有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时，根据资料用某种旧安眠药时，平均睡眠时间为20.8小时。标准差为1.6小时，为了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为26.7,22.O,24.1,21.O,27.2,25.0,23.4。试问：从这组数据能否说明新安眠药已达到新的疗效(假定睡眠时间服从正态分布，«=0.05)o解：H0:r>23.8vsH1:r<23.8,已知总体标准差o=1.6，拒绝域为Z<-z&,n=7,经计算得到x=24.2，取==0.05,—z=—1.65,由检验统计量0.95X—23.8X—23.8。/<n24.2—23.81.6/v7=0.6614>-1.65,接受H0:r>23.8即，以95%的把握认为新安眠药已达到新的疗效..测定某种溶液中的水份，它的引个测定值给出X=0.452%,s=0.037%,设测定值总体服从正态分布，R为总体均值，a为总体的标准差，试在5%显著水平下，分别检验假(1)H0：r=0.5%;(2)H0：a=0.04%。解:(1)H01：R=0.5%,H11:rw0.5%,总体标准差o未知，拒绝域为|t|>t(n-1),n=10,20.00452—0.0050.00037/J10X=0.452%,s=0.037%,取a=0.05,1002s(9)=2.2622，0.00452—0.0050.00037/J10=4.102>2.2622，拒绝H0:R=0.5%,(2)H02:a=0.04%,H12:a=0.04%,拒绝域为殍<Z2(n—1)或殍>Z2(n—1),n=10,取«=0.05,1-a aX2 (9)=2.7X2 (9)=2.7,722%2(9)=19.023,由检验统计量殍=0.975 0.025(n—1)s2 (10—1)0.0003720.00042=7.7006,即2.7<x2=7,7006<19,023，接受H02:。=0.04%.试验号码12345678甲4.33.23.83.53.54.83.3试验号码12345678甲4.33.23.83.53.54.83.33.9乙3.74.13.83.84.63.92.84.410.有甲、乙两个试验员，对同样的试样进行分析，各人试验分析结果见下表(分析结果服从正态分布)，试问甲、乙两试验员试验分析结果之间有无显著性的差异(a=0.05)?解：⑴H:O2=O2,01 1 2H:o2wo2,拒绝域为F<F (n—1,n—1)或F>F(n—1,n—1),11 1 21a1 22n=n=8,取a=0.05,F0975(7,7)=1

^025(7,7)=0.2004,F(7,7)=4.99，经计算s2=0.2927,s2=0.2927,0.025由检验统计量F=s;/s2=0.2927/0.2927=1,接受H01:o；=o))H02:片=电,H12:片w>2拒绝域为|t|>ta(n12+n—2),n=n=8,a=0.05,t120025a4)=2.1448,并样本得到s并样本得到s2=w(q1)xs；+(n 1)xsj=0.2927,s=0.5410,由检验统计量n+n—2 w12_|3.7875—3.8875|1 1_|3.7875—3.8875|1 1—I snnw1 1 1 nn=|-0.6833|<2.1448,接受H02:、=g即，以95%的把握认为甲、乙两试验员试验分析结果之间无显著性的差异..为确定肥料的效果，取1000株植物做试验。在没有施肥的100株植物中，有53株长势良好;在已施肥的900株中，则有783株长势良好，问施肥的效果是否显著(a=O.01)?01 1 2 11 1 21a1 21—2解：⑴H:o2=o2,H:o2wo2,拒绝域为F<F(n—1,n—1)或F>F(n—1,n—1)01 1 2 11 1 21a1 21—20.995F0.995F005(899,99)n=100,n=900,F(99,899)二=0.7843,。005(99,899)=1.3，计算53八53 783厂783、s2= x(1 )=0.2491,s2= x(1 )=0.1131,1 100 100 2900 900由检验统计量F=S2/s2=0.2491/0.1131=2.2025,拒绝H01由检验统计量F=S2/s2=0.2491/0.1131=2.2025,拒绝H01:O12=O；,(2)H02:片<gH12:匕斗2拒绝域为Cta(n1+n2-2),n1二100,n=900,a=0.01,tQ)>2,41210.01并样本得到s2=w(n—1)xS2+(n—1)xS2——1 3—n+n—2=0.1266,s=0.3558,由检验统计量53/100—783/900 . =-9.0656<2.4121,接受H:日《四,:+!-58焉+福1 202 1 2即，以95%的把握认为阖|肥的效果有显著性的差异.(备注：F0.005(",899)=1.43-43-1'*0.5,3,{J899,")TNgLWgS.在十块地上同时试种甲、乙两种品种作物，设每种作物的产量服从正态分布，并计算得X=30.97,y=21.79,s=26.7,s=12.1。这两种品种的产量有无显著差别(a=O.01)?解⑴H：o2解⑴H：o2=o2,01 1 2H:o2wo2,拒绝域为F<F(n—1,n—1)或F>F(n—1,n—1),11 1 21a1 21—2n=n=10,取a=0.01,「995(9,9)a=0.01,「995(9,9)==0.1529,F (9,9)=6.54,有题设s2=712.89,s2=146.41,0.005由检验统计量F=S2/s2=712.89/146.41=4.8691,接受H01:o12 =oJ(2)H02：A>%H12：A<g拒绝域为(2)H02：A>%H12：A<g拒绝域为t—a(n1+n2-2),a=0.01,t(18)=—2.5524,n=n=10,0.01并样本得到s2=w(n—1)xS2+(n—1)xS2——1 2—n+n—2=(9x712.89+9x146.41)/18=429.6500,s=20.7280,由检验统计量30.97—21.79—+—20.7280x,；—+—=0.9903>-2.5524,接受H02:5>A2,w\nn1010即，以95%的把握认为此两品种作物产量有显著差别,并且是第一种作物的产量显著高于第二种作物的产量..从甲、乙两店备买同样重量的豆，在甲店买了10次，算得y=116.1颗，/(y-y)2=1442；i=1在乙店买了13次，计算X=118颗，寸(x-x)2=2825。如取a=0.01，问是否可以认为甲、乙两店的i=1豆是同一种类型的(即同类型的豆的平均颗数应该一样)？解:(1)H:o2=o2,H:o2wo2,拒绝域为F<F(n—1,n—1)或F>F(n—1,n—1)n=10,01 1 2 11 1 2 a1 2 a1 2 ’1221n=13,取a=0.01, F(12,9)=5.20F(12,9)= =0.1605,,有题设s2=235.25,2 0.005 0.995 F(9,12) x0.005接受H01:o12=o1,s2=160.2222,由检验统计量F=s接受H01:o12=o1,xyH02:片=A2,H12:片三内,拒绝域为\t\>tjnjn2—2),a=0.01,10005(11)=3.1058,nr10,2n=13,并样本得到s2=(n1-1)xs；+(n2—1)x:=(2823+1442)/11=387.7273,s=19.6908,由检验统计量2 w n+n—2 w12

x—y 118—116.1t= = .=0.2294<3.1058,接受H:日二日,'1 1 1 1 021 2s:—+—19.6908x,—+—Tqn2 丫1310即，以95%的把握认为此甲、乙两店的豆是同一种类型的.14.有甲、乙两台机床加工同样产品，从此两台机床加工的产品中随机抽取若干产品，测得产品直径(单位：Illm)为机床甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9;机床乙：19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，20.6，19.2.试比较甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异(a=5%)?TOC\o"1-5"\h\z解:⑴H:o2=o2,H:o2wo2,拒绝域为F<F(n-1,n-1)或F>F(n-1,n-1),n=8,n=7,01 1 2 11 1 2 5 1 2 d1 2 1 21-

2 21取a=0.05,F(8,7)= =0.2041,F(8,7)=4.53，经计算s2=0.2164,s2=0.3967,0.975 F(7,8) 0.025 1 20.025 '由检验统计量F=由检验统计量F=S2/s2=0.2164/0.3967=0.5455,接受H01：o2=o2,

1 2(2)H02:匕=/,H12：片WR2拒绝域为|t|>t(njn2-2),q=8,n2=7,a=0.05,10025a3)=2.1604,2并样本得到s2=并样本得到s2=w(n—1)xs2+(n—1)xs2

n+n—27x0.2164+6x0.3967 =0.299613sw=0.5474,由检验统计量t19.9250-20.0000, ,t接受H02接受H02:1=电,0.5474 +187即，以95%的把握认为甲、乙两台机床加工的精度结果之间无显著性的差鼻.某工厂所生产的某种细纱支数的标准差为1.2,现从某日生产的一批产品中，随机抽16缕进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问纱的均匀度是否变劣？解:H:o=1.2,H:ow1.2,拒绝域为X2</2(n-1)或殍>/2(n-1),n=16,取a=0.05,0 11-22(n-1)s2 (16-1)2.12X2(15)=0.0364,X2>X2(15)=27.4884,由检验统计量X2=(一)-=( ―)一=45.9375,0.975 0.025 o2 1.22即X2=45.9375>27,4884, 拒绝H0:o=1.2即，以95%的把握认为生产的纱的均匀度是变劣了。.从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为(单位:m):2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,

2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.设钉长分布为正态，试在下列情况下求总体期望值r的90%置信区间：(1)已知o=0.Ol(cm)；(2)o为未知。解：>>y1=[2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11]>>mean(y1),得到点估计y1=0.1250,n=16(1)已知o=0.01，样本统计量上上〜N(0,1),取«=0.1,z=z=1.65o7n d0.952

TOC\o"1-5"\h\z包含总体期望值日的90%置信区间为(元-zo八尻,元+zo八n)d d2 2(2)o为未知，样本统计量二^〜t(n—1),取a=0.1,t(n-1)=t(15)=1.7531s/、：n d 0.052包含总体期望值日的90%置信区间为(元-1005(15)xs/4n,元+t005(15)xs/4n).包糖机某日开工包了12包糖，称得的重量(单位：两)分别为10.1,10.3,10.4,10.5,10.2,9.7,9.8,10.1,10.0,9.9,9.8,10.3,假设重量服从正态分布，试由此数据对糖包的平均重量作置信度为95%的区间估计。解：>>x10=[10.110.310.410.510.29.79.810.110.09.99.810.3]>>[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x10,0.05)得到平均重量点估计mu=10.0917,置信区间为muci=[9.9281,10.2553],sigma=0.2575,置信区间为sigmaci=[0.1824,0.4371].某电子产品的某一参数服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15只产品，测得该参数为3.0,2.7,2.9,2.8,3.1,2.6,2.5,2.8,2.4,2.9,2.7,2.6,3.2,3.0,2.8。试对该参数的期望值和方差作置信度分别为95%和99%的区间估计。解：>x12=[3.02.72.92.83.12.62.52.82.42.92.72.63.23.02.8]取定d=0.05,>[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,0.05)得到参数的期望值点估计mu=2.8000,95%置信区间为muci=[2.6762,2.9238];方差点估计sigma=0.2236,95%置信区间为sigmaci=[0.1637,0.3527]取定d=0.05,>[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12