2020高中数学 2 两角和与差的正切（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE7-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业（二十六)两角和与差的正切(建议用时:60分钟）[合格基础练］一、选择题1.eq\f（tan105°－1,tan105°＋1)的值等于（）A。eq\f(\r（3）,3) B.eq\r（3)C．－eq\r(3） D．－eq\f（\r(3）,3)B[eq\f（tan105°－1,tan105°＋1)＝eq\f(tan105°－tan45°，1＋tan45°tan105°)＝tan（105°－45°)＝tan60°＝eq\r(3).]2．已知eq\f（1－tanα,1＋tanα)＝2＋eq\r(3）,则taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，4)＋α））的值为()A．2＋eq\r（3） B．1C．2－eq\r（3） D。eq\r(3）C[∵eq\f(1－tanα，1＋tanα)＝2＋eq\r（3)，∴taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,4）＋α)）＝eq\f(1＋tanα，1－tanα）＝eq\f（1，2＋\r(3))＝2－eq\r(3)。]3．已知α＋β＝eq\f(3π，4)，则（1－tanα）（1－tanβ)＝()A．1 B．2C．3 D．4B［tan(α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝taneq\f(3π,4)＝－1，所以tanα＋tanβ＝－1＋tanαtanβ，从而(1－tanα)(1－tanβ）＝1－（tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝1－（－1＋tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.]4．已知tanα＋tanβ＝2，tan（α＋β）＝4,则tanα·tanβ等于（)A．2 B．1C.eq\f（1，2) D．4C［∵tanα＋tanβ＝2，tan（α＋β）＝4，∴eq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ）＝4⇒tanαtanβ＝eq\f(1，2）.］5．已知β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2)）），满足tan(α＋β）＝eq\f(3\r（2)，4）,sinβ＝eq\f（1，3),则tanα＝()A.eq\f（\r（2)，3) B.eq\f(4\r（2），11）C.eq\f(3\r（2),11） D。eq\f（3\r(2)，4）B[因为β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(π，2))),sinβ＝eq\f（1，3），所以cosβ＝eq\f（2\r(2)，3），所以tanβ＝eq\f(1，2\r（2)）＝eq\f(\r（2),4），又因为tan(α＋β)＝eq\f(3\r(2）,4），所以tanα＝tan［（α＋β）－β］＝eq\f(tanα＋β－tanβ，1＋tanα＋βtanβ)＝eq\f（\f（3\r(2），4）－\f(\r(2），4)，1＋\f（3\r(2)，4)×\f(\r(2),4)）＝eq\f（4\r(2）,11)，故选B.］二、填空题6．若α、β均为锐角，且tanβ＝eq\f（cosα－sinα,cosα＋sinα)，则tan（α＋β)＝________。1［由已知得：tanβ＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4)－α）)，∵0〈α<eq\f(π，2）,∴－eq\f（π，4)<eq\f（π，4)－α〈eq\f（π，4）。又∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π，4)－α，∴α＋β＝eq\f(π,4）。∴tan(α＋β）＝1.]7．已知tan（α＋β)＝7,tanα＝eq\f(3，4)，且β∈（0，π），则β的值为________．eq\f（π，4)［tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝eq\f（tanα＋β－tanα，1＋tanα＋βtanα）＝eq\f（7－\f(3,4），1＋7×\f（3,4))＝1，又β∈(0，π）,所以β＝eq\f（π,4）.]8．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3），tan2B＝tanAtanC，则B＝________.eq\f（π,3）[tanB＝－tan（A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC）＝－eq\f(3\r（3）－tanB,1－tan2B），所以tan3B＝3eq\r(3），所以tanB＝eq\r（3），又因为B为三角形的内角,所以B＝eq\f（π,3）。］三、解答题9．已知taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，12)＋α）)＝eq\r(2)，taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（β－\f（π,3)）)＝2eq\r(2)，（1)求taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋β－\f（π,4）)）的值；（2)求tan（α＋β）的值．[解](1)taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋β－\f(π，4））)＝taneq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,12)＋α））＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（β－\f（π，3)）)))＝eq\f（tan\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,12）＋α))＋tan\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（β－\f（π,3）))，1－tan\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,12）＋α））·tan\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（β－\f(π,3))）)＝eq\f（\r（2）＋2\r(2）,1－\r（2）×2\r(2））＝－eq\r(2).（2）tan（α＋β)＝taneq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋β－\f（π,4））)＋\f(π,4）））＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋β－\f（π，4）)）＋tan\f(π，4)，1－tan\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋β－\f(π，4)））·tan\f(π，4）)＝eq\f（－\r（2）＋1，1－－\r(2)×1）＝2eq\r(2）－3.10．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r（3)x＋4＝0的两个根,且α,β∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π，2），\f(π,2）)），求α＋β的值．［解]由题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（tanα＋tanβ＝－3\r（3），，tanαtanβ＝4，））tanα＜0且tanβ＜0。又因为α，β∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2），\f(π,2）)），所以α，β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,2)，0)）,α＋β∈(－π,0）．又因为tan（α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）＝eq\f（－3\r（3），1－4)＝eq\r（3）.在(－π，0)内，正切值为eq\r（3)的角只有－eq\f(2π,3），所以α＋β＝－eq\f(2π，3）。［等级过关练］1．已知sinα＝eq\f（1,2）,α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－eq\r（3），则tanβ的值为()A．－eq\r（3) B.eq\r(3）C．－eq\f（\r（3）,3） D.eq\f（\r(3），3)C[∵α为第二象限角，∴cosα〈0,cosα＝－eq\f（\r(3)，2)，∴tanα＝－eq\f(\r(3）,3)。tanβ＝tan［(α＋β）－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα，1＋tanα＋β·tanα）＝eq\f(－\r（3)＋\f(\r（3),3)，1＋－\r（3）·\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3）,3））)）＝－eq\f(\r（3),3).］2．在锐角△ABC中，tanA·tanB的值（)A．不小于1 B．小于1C．等于1 D．大于1D［∵在锐角三角形ABC中，A＋B＋C＝π，C＝π－（A＋B）,tanA〉0,tanB>0。由tanC＝－tan（A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)>0得tanA·tanB〉1。]3．计算eq\f（1－tan15°，\r（3)＋tan60°tan15°)＝________。eq\f(1，3)[原式＝eq\f（tan45°－tan15°，\r(3）1＋tan45°·tan15°）＝eq\f(1,\r（3))tan（45°－15°）＝eq\f（1，3)。]4．(1＋tan1°)（1＋tan2°)（1＋tan3°)…（1＋tan44°)(1＋tan45°）________．223[（1＋tan1°）（1＋tan2°）(1＋tan3°）…（1＋tan44°)(1＋tan45°)＝［（1＋tan1°）（1＋tan44°)]…[(1＋tan22°）（1＋tan23°)]（1＋tan45°)＝2×2×2×…×eq\o（2，\s\do4（23个2））＝223.］5．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝eq\f(2π,3）和②taneq\f（α,2）·tanβ＝2－eq\r(3)同时成立？若存在，求出α和β的值;若不存在，请说明理由．[解]由①得eq\f（α，2)＋β＝eq\f(π,3），∴taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))＝eq\f(tan\f（α,2)＋tanβ,1－tan\f（α，2)·tanβ）＝eq\r(3)。将②代入上式得taneq\f(α,2）＋tanβ＝3－eq\r(3）。因此，taneq\f（α