课件-二课堂4-导数计算

导数的计是是非1、初等函数在其定义区间内必连续2、初等函数在其定义区间内必可导

(x),g(x)在x0处均不连续，则x),gx)在x0处均不可

(x)

g(x)在x0处也不连续

x)在x0处不连续，g(x)在x0处连续,则

(x)

g(x)在x0处也不连续

x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导,则

(x)

g(x)在x0处也不可导

(x)在x0处可导当且仅当

(x)在x0处有切线8fx)(ll内为可导的非零奇fx)(ll)内为可导的偶函数

x)(llfx)(ll内为可导的奇函数。10

(x)

'(x)周期函数，且周期

fx)、 、错。反y 3、错。反

(x)

g(x)

1,x

在x0处1,x、错。反例 、对。可用反证6、对。可用反证7y

0处不可导，但有切线

11、错。需要加上导数例

x的导数解y'

x

1x

sec21x1

1x1 1

sec2 ( x2 x2

xsec2 x

xa的某邻域内有定义xa处可导的一个充分条是极存在 1

limh

fx f h

fa2hfahfahfafafah分析

Ah

x,则原式

fax

f C中不ffx

xax

B,

中值均为fxD中令h原式

fax

fa

f 设

(x)

x(x1)(x

2)(x3)(x4)(x则f'(1)等于

-

-

f(x)(x1)[x( f'(x)[x(x2)(x3)(x4)(x100)](x1)[x(x2)(xf'(1)1(12)(13)(14)(15)(16)(199)(1

(1)49101!

选选一）

f(x)

x|gxgx)在

0连续

在

可导的充要条件是：( gx)在

0可导，且g'(0gx)在

0可导，且g'(0)不一定为g'(0),g'(0)g(0)分析ff

(0)(0)

x0x0

f(0x)ff(0x)f

x0x0

|x|g(x)|x|g(x)选

xa

f(x)

f(a)

o(

a则（D

fxx

（B）f(xx

（C）f(x)x

f'(a)

0

f'(a)

0f'(a)

f(x)f(a)xa

x

oxaxa

x(4)若fx)可导，Fx)

f(x)(1

sinx),则f(0

0是函数Fx)在x

0点可导的(A)充要条件(B件C)(Df(x)(1sinxf(x)(1sinx)f

F

x0

x

x0limx0

(x)x

f(0)

sinf(sinx因为

x)可导，所以x0

f(x)x

f(0存在要使Fx)在

0可导，只需x0

fx) 存sinsin因此需要x0

f(x)二（3）函数gx)可导，曲线y

fx)和y

直线y

x对称，且

(3)

2,g'(2) (x)

g(12

f2(3

则'(1)yyg(x)(yyg(x)(b,a)(a,yf(ox f'(x)f'(a)

g'(y)1g'(b)本题：f'(3

g'(2)解：x

g'(12

f2(32

f2(3g'(12

f2(3x))12

f(3x)[

(3x)]'g'(12

f2(3x))

(3

f'(3x)[33g'(12

f2(3x))

(3

f'(3x)'(1)

3g'(2)

f'(3)六、

1xx(x2x(x23(x2

求yx)对数求导lny

1x22

13

xln(x2

1)

y(x)

1x2e2

1x(xx(x3(x2x

2x 8x 3

x x1x2

x1(100)七、（2）计

x2

x2

y10)x2x 1 2yx22

x2

333

x1x 答案：3

(x

2)101八、(2yf(g(x))，其中f(x)和g(x)都二阶可导 d2dx解 dy

f'(g(x))

g(x)d2y

dx

f(g(x))g(x)

(g(x))g(x)

f(g(x))

g(x)f[g(x)][g(x)]2f[g(x)]g(设函数y

fx由方程y

xy(

yd2所确定

dx2解两边取对

1lnyx

1lnx,

即ylny

(1lny)y

x y

lnx11ln1(lny1)(lnx1)1y

(1lny)2

y1)2xy(ln

x(ln

x

xy

yxsiny九、a,b使得

(x)

ae2x1sin

xx

,在

0点处可导又问此时函数

x)在

解：首先，由连续性

x0

f(x)

x0

f(x),即

ae2

所以，a又x0

f(x)f(0)x

x0

f(x)f(0)x即

e2

1

1sinbx1

2e2x x所以，

'(x)

x2cos2x,x而

f'(x)2

f'(0)所以，fx)例gx)连续，且

f(x)

(x

x

f(a).gx) f(x)

a)g(x)(

a)2g(

f(a) g(

故用定义求f(a)f(a)

f(x)f

f(x)xa

x

xa

xlim[2g(x)(

a)g(

2g(a)十二.设

(x)

x

,求f(1)及fxx

(1)

lim

xsinx

x

xxf(1)x

x

x

x十四设函数fx)在点x0处连续

0是函

f(x)x的可去间断,证明函数

x)在点

0处可导证明

因为x

0是函数

fx),

fx存在x

从而

f(x)又fx)在点

0处连续应有

f(x)

f

f(0)故

f(x)

f(0)

f(

存在

x

即fx)在点

0处可导例

fx

1ex2,

x

,

fx的连续性

x解：当

时

fx

2x2e

1ex2x2 x

f0

f(x)

f

1ex2

x

x0 x2

(x2x2

f

2x2ex2

1x2

ex2

(2ex2

1)x2

211

f例研究函数

(x)44

解

f

0)

f(00)

f(0)

x0x0

24442x

1414

f(x)

例设函数

x

x0x(x)满足

(00,求

f(x)f

(x)cos解:

x

lim

(x)(0)

cos

x

(x)

x

是有界函 例当n取何值时,函数

nsin1xxx

x 0

x在

0处连

在

在

0处导解:(1).当且仅n

f(x)

xnsinx

0

ffx)在

0处连续当且仅当

f(x)f(0)

xn1sin

存在fx)在

0处可导

x

(x)

xn2cos1x

x,

(n

x当且仅当n

x0

f(x)0

ffx)在x0处连续xt(1t)五 求曲线tey

y1

在对应

0处的切线方程解t0时

ydxd

1

2t,

dtt

tey

y1

两边对

求导， y

e

dtte

1

ty1于是dy

t

e1,

所以切线方程y1

e1

y

1xe六 求极坐标系下曲线

1上对应

的点处切线y的夹角

x

解

化为直角坐标方程

11sin

1

sin则dy

cos

cos dx 2

y22 x2

y

所以切线

轴的夹角为arctan2八.证明极坐标系下曲线e上任一P处切PT与该点TOTOx

OP夹定证明

与

夹角为

x轴正向夹角为

即tan

化为直角坐标方

xy

cos,sin

sin)cos

1tan1

tan(4则有tan

tan(tan1tan

)tan1tan(

)4

tan4所以

为定角

即切

与极径

夹定角。九.证明曲

xy

a2(a

上任一

(

y)(

0)处的切线两条坐标轴所围2证明y2x2

求导

y

a2x22a22xy

在点

y)处切线方程

Yy (Xx2

x)X

0y轴上的截距

Yy xx2令Y

0

轴上的截距

Xa2 x,则切线与两条坐S1|2

|2

x2(a2

x)(ya 2 2

2xya2x2y2a2x2y2a2

为定值十 证明曲

L:x2

y2

a2

上任一点处的切线在两条标轴上截距之和 证明x2y

a

两边

x求导得

y yx解 y yx

曲线在点x0

y0处的切线方程为yy0

(x

x0

所以截距之和 a(