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文档简介

2023高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离2.已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(

)A. B. C. D.3.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.“若,则”的逆命题为真命题C.,使成立D.“若,则”是真命题4.下列命题为真命题的个数是()(其中,为无理数)①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.35.函数的最小正周期是,则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是()A. B. C. D.6.已知为虚数单位,若复数,则A. B.C. D.7.已知是过抛物线焦点的弦,是原点,则()A.-2 B.-4 C.3 D.-38.复数,若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,则等于()A. B. C. D.9.已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则下列结论正确的是()A. B.复数的共轭复数是C. D.10.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.11.已知三棱锥中,是等边三角形,,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.12.若为虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设(其中为自然对数的底数),,若函数恰有4个不同的零点,则实数的取值范围为________.14.某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛,则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________.15.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.16.在的二项展开式中,所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的定义域为,且满足,当时,有,且.(1)求不等式的解集;(2)对任意,恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知首项为2的数列满足.(1)证明:数列是等差数列.(2)令,求数列的前项和.19.(12分)已知函数,.(1)证明:函数的极小值点为1;(2)若函数在有两个零点,证明:.20.(12分)已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.21.(12分)如图,设椭圆:,长轴的右端点与抛物线:的焦点重合,且椭圆的离心率是.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过作直线交抛物线于,两点,过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点,求面积的最小值,以及取到最小值时直线的方程.22.(10分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,点P在棱DF上.(1)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为,求PF的长度.

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【答案解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r2.A【答案解析】=,当时时,单调递减,时,单调递增,且当,当,

当时,恒成立,时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.3.D【答案解析】选项A,否命题为“若,则”,故A不正确.选项B,逆命题为“若,则”,为假命题,故B不正确.选项C,由题意知对,都有,故C不正确.选项D,命题的逆否命题“若,则”为真命题,故“若,则”是真命题,所以D正确.选D.4.C【答案解析】

对于①中,根据指数幂的运算性质和不等式的性质,可判定值正确的;对于②中,构造新函数,利用导数得到函数为单调递增函数,进而得到,即可判定是错误的;对于③中,构造新函数,利用导数求得函数的最大值为,进而得到,即可判定是正确的.【题目详解】由题意,对于①中,由,可得,根据不等式的性质,可得成立,所以是正确的;对于②中,设函数,则,所以函数为单调递增函数,因为,则又由,所以,即,所以②不正确;对于③中,设函数,则,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值为,所以,即,即,所以是正确的.故选:C.【答案点睛】本题主要考查了不等式的性质,以及导数在函数中的综合应用,其中解答中根据题意,合理构造新函数,利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.5.D【答案解析】

由三角函数的周期可得,由函数图像的变换可得,平移后得到函数解析式为,再求其对称轴方程即可.【题目详解】解:函数的最小正周期是,则函数,经过平移后得到函数解析式为,由,得,当时,.故选D.【答案点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换,属基础题.6.B【答案解析】

因为,所以,故选B.7.D【答案解析】

设,,设:,联立方程得到,计算得到答案.【题目详解】设,,故.易知直线斜率不为,设:,联立方程,得到,故,故.故选:.【答案点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积,设直线为可以简化运算,是解题的关键.8.A【答案解析】

先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,得到,再利用复数的除法求解.【题目详解】因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,且复数,所以所以故选:A【答案点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义,属于基础题.9.D【答案解析】

首先求得,然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析,由此确定正确选项.【题目详解】由题意知复数,则,所以A选项不正确;复数的共轭复数是,所以B选项不正确;,所以C选项不正确;,所以D选项正确.故选:D【答案点睛】本小题考查复数的几何意义,共轭复数,复数的模,复数的乘法和除法运算等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想.10.C【答案解析】

利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【题目详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,所以,.故选:C.【答案点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.11.D【答案解析】

根据底面为等边三角形,取中点,可证明平面,从而,即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为,可求得到平面的距离,画出几何关系,设球心为,即可由球的性质和勾股定理求得球的半径,进而得球的表面积.【题目详解】设为中点,是等边三角形,所以,又因为,且,所以平面,则,由三线合一性质可知所以三棱锥为正三棱锥,设底面等边的重心为,可得,,所以三棱锥的外接球球心在面下方,设为,如下图所示:由球的性质可知,平面,且在同一直线上,设球的半径为,在中,,即,解得,所以三棱锥的外接球表面积为,故选:D.【答案点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算,正三棱锥的外接球半径求法,球的表面积求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.12.B【答案解析】

由共轭复数的定义得到,通过三角函数值的正负,以及复数的几何意义即得解【题目详解】由题意得,因为,,所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B【答案点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【答案解析】

求函数,研究函数的单调性和极值,作出函数的图象,设,若函数恰有4个零点,则等价为函数有两个零点,满足或,利用一元二次函数根的分布进行求解即可.【题目详解】当时,,由得:,解得,由得:,解得,即当时,函数取得极大值,同时也是最大值,(e),当,,当,,作出函数的图象如图,设,由图象知,当或,方程有一个根,当或时,方程有2个根,当时,方程有3个根,则,等价为,当时,,若函数恰有4个零点,则等价为函数有两个零点,满足或,则,即(1)解得:,故答案为:【答案点睛】本题主要考查函数与方程的应用,利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及.求的导数,研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键,属于难题.14.【答案解析】

从7人中选出2人则总数有,符合条件数有,后者除以前者即得结果【题目详解】从7人中随机选出2人的总数有,则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件,∴故答案为:【答案点睛】组合数与概率的基本运用,熟悉组合数公式15.【答案解析】

先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【题目详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:【答案点睛】此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.16.【答案解析】

利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的常数项.【题目详解】因为的二项展开式中,所有项的系数之和为4n=1024,n=5,故的展开式的通项公式为Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C·3=15,故填15.【答案点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【答案解析】

(1)利用定义法求出函数在上单调递增,由和,求出,求出,运用单调性求出不等式的解集;(2)由于恒成立,由(1)得出在上单调递增,恒成立,设,利用三角恒等变换化简,结合恒成立的条件,构造新函数,利用单调性和最值,求出实数的取值范围.【题目详解】(1)设,,所以函数在上单调递增,又因为和,则,所以得解得,即,故的取值范围为;(2)由于恒成立,恒成立,设,则,令,则,所以在区间上单调递增,所以,根据条件,只要,所以.【答案点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集,考查不等式恒成立问题,还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式,考查转化思想和解题能力.18.(1)见解析;(2)【答案解析】

(1)由原式可得,等式两端同时除以,可得到,即可证明结论;(2)由(1)可求得的表达式,进而可求得的表达式,然后求出的前项和即可.【题目详解】(1)证明:因为,所以,所以,从而,因为,所以,故数列是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知,则,因为,所以,则.【答案点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.19.(1)见解析(2)见解析【答案解析】

(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【题目详解】解:(1)证明:因为,当时,,,所以在区间递减;当时,,所以,所以在区间递增;且,所以函数的极小值点为1(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令,则令,则,所以在单调递增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在单调递减,在区间单调递增,且,又因为,所以,方程关于的方程在有两个零点,由的图象可知,,即.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.20.(1);(2).【答案解析】试题分析:(1)设公差为,列出关于的方程组,求解的值,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)可得,即可利用裂项相消求解数列的和.试题解析:(1)设公差为.由已知得,解得或(舍去),所以,故.(2),考点:等差数列的通项公式;数列的求和.21.(Ⅰ);(Ⅱ)面积的最小值为9,.【答案解析】

(Ⅰ)由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的,再由离心率可求得,从而得值,得标准方程;(Ⅱ)设直线方程为,设,把直线方程代入抛物线方程,化为的一元二次方程,由韦达定理得,由弦长公式得,同理求得点的横坐标,于是可得,将面积表示为参数的函数,利用导数可求得最大值.【题目详解】(Ⅰ)∵椭圆:,长轴的右端点与抛物线:的焦点重合,∴,又∵椭圆的离心率是,∴,,∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)过点的直线的方程设为,设,,联立得,∴,,∴.过且与直线垂直的直线设为,联立得,∴,故,∴,面积.令,则,,令,则,即时,面积最小,即当时,面积的最小值为9,此时直线的方程为.【答案点睛】本题考查椭圆方程的求解,抛物线中弦长的求解,涉及三角形面积范围问题,利用导数求函数的最值问题,属综合困难题.22.(1).(2).【答案解析】

(1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AF为z轴,建立空间直角

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