高数下-yaf高数课件

definite而定积分则完整地体现了积分思想—1基本要2第一节定积分的概念与性definite定积分问题举例*定积分的定*定积分的几何意义和物理意义关于函数的可积性*定积分的性小结思考题作业3一、定积分问题来的现举两例.求由连续曲线y

fx0及

y

(x)

0所围成的曲边梯形

A 4f(x)

h(常数时A

(b思想以直代曲 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 （五个小矩形 （十个小矩形 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边5采取下列四个步骤来求面积任意用分点

表ax0x1

的窄曲边梯形的面把区间[a,b]分成n

y

(x)小区间xi1xi]长度

xi取近在每个小区间xi1xi

Oa

xi

xn1 上任取一点

以xi1xi]

f

为高的小矩形面积近似代替Ai有Ai

f(i)xi,

6求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯n面积A的近似值nAi

f(i求极限为了得到A的精确值,分割无限加细即小区间的最大长度max{x1x2,xn趋近于零

0

取极限,极限值就是曲边形的面积

nAlim

f(i

i7以不变以不变代22.求变速直线运动的路设某物体作直线运动,已知速

vv(t 续函数,且v(t)求物体在这段时间内所经过的路程把整段时间分割成若干小段每小段上速度看作不变求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限8分

T1

tn1

ti

ti

表示在时间区间[ti1,ti]内走过的路程取近

v(i

(i

求

nsv(i)tii1

某时刻的速取极

max{t1,t2,,tnn

令路程的精

slimv(i

i19定积分的概念与性二、定积分的

上两例共同点量具有可加性方法一样

I;设函数f(x)在

a

x0

x1

x2

xn1

xn把区间[a,b]分成n个小区间,xx

,(i

i

,

一点i

xin

作乘积

(i)xi

Si

f(i

x2

n},如果不论对[a,b]怎样的分法,也不论在小区间[xi1

xi]上点i怎样的取法,只要当时,和S总趋于确定极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上记积分上b

积分na

(x)dxIlimf(i积分下[a,b]积分区

被积被积分积函变表式

in注n

i

f(i)xi[ab]的分法及xi1

xi上i取法nIlimf(i)xi[ab]的分法及xi1

xi

ibbb上i取法bbb

a

(

a

(t)dt

a

定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函的结构和上、下限,而与积分变量的记号无关三、定积分的几何意义和物理f(x)f(x)bafx)dx 曲边梯形的面bafx)dxA曲边梯形的面yf(x)的负aObxbaf(x)dxA1A21几何意bafx)dx几何意它是介于x轴、f(x)的图形及两x=axb之间的各部分面积的代数和x轴上方的面积取正号;x轴下方的面取负号yf(x)aObx 例求 1x2

y 1x21 110

x2dx4

22当v(t)

时

定积分av(t

表示以变bvv(t)作直线运动的物体从时刻ta到时btb所经过四、关于函数的可积当函数fx)在区间[a,b]上的定积分存在时称fx)在区间[a,b]上可积.

记fR[a,

德国数学家定理

设fx)在[a,b]上连续,则fx)在[a,b]定理

设fx)在[a,b]上有界且只有有限个则

x)在[a,b]上例用定义计算由抛物

yx2直

x和x轴所围成的曲边梯形面积

10[0,1]分成n等分分点为

i,n

小区间xi1xi

的长

1,n

i取

xi

i

nf

2x

nnx2xn

yx2in

i2

i

i i1

nnnn

in3i

i n i2

n(n1)(2n i1

nnnn

in3i

n3 6116

121nnnn

0

n1x2dx1

lim11

121 0i

nn n6 nn对于任一确定的自然数

积分1x2dx10

i

f(i

1166

121nnnn1当n取不同值时,1

x2dx

近似值精度不同n取n取得越大,近似程度越好讨论定积分的近似计算问题b设fxC[a,b],

fx)dx存在

n等分用分点a

x0,x1,x2,,xn[a,b]分成n个长度相等的小区间

每个小区x

ban

取

xi1bf(

f(

f(

)b 0i

i

i nlimn

i

f(xi1

对任一确定的自然数bab

(x)dx

ba

nni

f(xi1取

xi1

x

ba记f记fxi(i0,1,2,,bab

(x)dx

ba i

f(

i1baf(b

bn

a(y

y1

yn10ixi0

baf(b

bn

a(

yn1y1矩形法几何意

yf(x) 五、定积分的性对定积分的补充

abbb

(x)dxa

a

(x)dx

f(说说在下面的性质中,假定定积分都存在bbbbb性质1abb

f(x)g(

f(

g(

f(x)g(nlim

f(i)

g(i

i lim

f(i

g(i

i

ibb

f(

ag(b(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况b性质

bbb

(

k

f(bnb

(k为常数

(

lim

(inlimk

f(i

i

n

f(ibkb

if(

i性质1和性质2称为线性性质b性质b

假设

cbab

(

ca

(

f(补充

a,b,c

的相对位置如何,上式总成立例若c

b af(x)dxaf(x)dx

f(c则

f(

c

f(x)dxbf(b

f(x)dx f((定积分对于积分区间具有可加性b性质b

a1

adx

bb性质b

如果在区间[a,b]b

f(x)afx)dx

(a证

(x)

f(i)

i1,2,,xi

i

f(i)xibmax{x1,x2,,xnbnlim

f(i)xi

f(x)dx

i例比较积分

2exdx和

的大小0解0

(x)

ex

x[2,f(x)

(ex

x)dx0exdx

02 202exdx0

20性质5如果在性质5如果在区间[a,b]上fxb则af(x)dx(a性质5的推论b如果在区间[a,b]b

f(x)

g(b则b

f(

g(

(a证fxgx)b

g(x)

f(x)a[g(x)b

f(x)]dxbag(x)dxaf(x)dx af

g(

性质5如果在区间[a,b]上b

(x)性质5的推论b

则afx)dxb

(a由推论baf(由推论b

a|f(x)|

(ab) |ab

(x)

af(x)dxbbb

f(x)

f(

a

f(x)|说明

fx|在[a,b]上的可积性是显然的性质

设M和

分别是函

fx)在[a,b]上最大值及最小值b则m(baafx)dx

M(ba)bbmfxbbbb

mdx

f(x)dx

bm(ba)b

f(x)dx

M(ba)(此性质可用于估计积分值的大致范围

m(ba)

f(x)dxM(ba)例估计积分

b3b

dx的值x解fx

13sin31

x[0,0

x

43

sin3 1

3

1

dx dx

1dx

3sin3 bb

m(ba)

f(x)dxM(ba)例估计积

2sinxx4

dx的值解fx

sinxf(x)

xcosxsinxcosx(x

x)x2 x

x,f(x)C4,2

x)在42

2)(Mf)(4

2

mf 2)( )(

ba4 sin

2 dx 性质7(定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区[a,b]上则在积分区间[a,b]上至少存在一点使下式成立b

积分中值公a

(x)dxb

(ab1证m(bab1

f(x)dx

M(ba)m

ba

f(x)dxb1由闭区间上连续函数的介值定理:在[a,b]b1至少存在一点b

f()

ba

f(

f(x)dx

(a

性质7(定积分中值定理如果函数

(x)在闭区[a,b]上则在积分区间[a,b]至少存在一点b使下式成立b

f(x)dx

(a

定理用如何去掉积分号来表示积分值注无论从几何上还是从物理上都容易理b1f()就是b1

(x)在区间[a,b]上的平均值f()

ba

f(

(a

平均值公求连续变量的平均值要用例求电动势E

E0sin

在一个周期上平均值(设

解周期

2E 2

E0

t

sin 0

定积分几何意bab

(x)dx

f()(ba)

(a

积分中值公式的几何解在区间[a,b]上至少存在一点yf()

yf(x)

使得以区间[a,b]为底边,以曲y

(x)为曲边的曲边梯• •

面积等于同一底边而高为 的一个矩形的面积

baf(x)dxf()(ba)(a

limnasin

(a为常数 证由积分中值定理nan

x

xdx

sinnn

limna

xdx

sinn

a

n六、小定积分的实质:特殊和式的极限定积分的思想和方法思想以直代曲、以匀代变方法四步曲:分割求和取极限定积分的(注意估值性质、积分中值定理的应用典型问估计积分值不计算定积分比较积分大小思考题1

lim4sinnx

xdx 证当x0, 4

1n|sinnx

x

4

2n 0 4sinnx0

xdx

2

(n)定即得lim4sinnx定

xdx 2思考题2用定