学案三角函数概念

41/41三角函数概念7．2．1任意角的三角函数【第一课时】任意角的三角函数（一）【教学目标】1．借助圆理解任意角的三角函数定义。2．能利用求值，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。【教学重难点】1．借助圆理解任意角的三角函数定义。2．能利用求值，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。【教学过程】一、情境引入如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒。问题（1）若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？（2）如图所示建立直角坐标系，设点P（xP，yP），你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数（余弦、正切）？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？提示（1）30秒时h＝h0＋R·sin30°＝h0＋eq\f(1,2)R；45秒时h＝h0＋Rsin45°，t秒时h＝h0＋Rsint°。（2）能，sinα＝yP，cosα＝xP，tanα＝eq\f(yP,xP)，改变终边上点的位置，比值不会改变。二、新知初探1．任意角的三角函数的定义一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点距离是r，则r＝eq\r(x2＋y2)；此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点。（如图）则：（1）比值eq\f(y,r)叫做α的正弦，记作sin__α，即sinα＝eq\f(y,r)；（2）比值eq\f(x,r)叫做α的余弦，记作cos__α，即cosα＝eq\f(x,r)；（3）比值eq\f(y,x)（x≠0）叫做α的正切，记作tan__α，即tanα＝eq\f(y,x)（x≠0）。2．三角函数对于每一个实数α，都有唯一实数sinα与α对应，故sinα是α的函数，同理cosα也是α的函数；当α≠kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z）时，tanα也是α的函数；则sinα、cosα、tanα分别叫做α的正弦函数、余弦函数、正切函数；以上三种函数统称为α的三角函数。3．三角函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦（如图）。拓展深化[微判断]1．角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化。（×）提示角的三角函数值与点在终边上的位置无关。2．若角α终边过点（1，3），则sinα＝eq\f(3\r(10),10)。（√）3．终边在x轴上的角的正切值不存在。（×）提示终边在y轴上的角的正切值不存在。4．若sinα·cosα>0，则角α为第一象限角。（×）提示sinα·cosα>0，则sinα，cosα同号，则α为第一、三象限角。5．sinα>0，则α为第一、二象限角。（×）提示α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴。[微训练]1．若α＝eq\f(π,6)，则cosα＝________。解析cosα＝eq\f(\r(3),2)。答案eq\f(\r(3),2)2．taneq\f(11,3)π的符号为________。解析eq\f(11,3)π＝4π－eq\f(π,3)，即eq\f(11,3)π是第四象限角，所以taneq\f(11π,3)<0.答案负3．已知角α的终边经过点（3，－4），则sinα＋cosα的值为________。解析易知r＝eq\r(32＋（－4）2)＝5，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，故sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)。答案－eq\f(1,5)4．若点P（3，y）是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝eq\f(3,5)，则tanα＝________。解析∵cosα＝eq\f(3,\r(32＋y2))＝eq\f(3,5)，∴eq\r(32＋y2)＝5．∴y2＝16，∵y<0，∴y＝－4，∴tanα＝－eq\f(4,3)。答案－eq\f(4,3)[微思考]1．三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？提示三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点P（x，y）在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定。对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数。2．若两个角α，β的正弦值相等，那么α＝β吗？提示不一定相等，α，β可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于y轴对称。3．三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数值的符号与x的符号相同。正切函数值的符号由eq\f(y,x)确定。三、合作探究题型一利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值【例1】已知角α的终边过点P（－3a，4a）（a≠0），求2sinα＋cosα的值。解r＝eq\r(（－3a）2＋（4a）2)＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限。sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1．②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)。所以2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1．规律方法（1）已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P（x，y），设P到原点的距离为r（r>0），则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)。当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便。（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。【训练1】已知角α的终边经过点P（5m，12），且cosα＝－eq\f(5,13)，则m＝________。解析r＝eq\r(（5m）2＋122)＝eq\r(25m2＋144)，cosα＝eq\f(5m,r)＝－eq\f(5,13)<0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,\f(m,\r(25m2＋144))＝－\f(1,13)，))解得m＝－1．答案－1题型二求特殊角的三角函数值【例2】利用定义求eq\f(2π,3)的正弦、余弦和正切值。解如图所示，eq\f(2π,3)的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝eq\f(π,3)，则|PB|＝eq\f(\r(3),2)，|OB|＝eq\f(1,2)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))。所以sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，taneq\f(2π,3)＝eq\f(\f(\r(3),2),－\f(1,2))＝－eq\r(3)。规律方法在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标。然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值。【训练2】对于表中的角α，计算sinα、cosα、tanα的值，并填写下表。α0eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πeq\f(7π,6)eq\f(4π,3)eq\f(3π,2)eq\f(5π,3)eq\f(11π,6)2πsinα0eq\f(1,2)____1____eq\f(1,2)____－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)____－eq\f(\r(3),2)____0cosα____________________________________________________tanα____________不存在________0________不存在____________答案eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)0－1－eq\f(1,2)1eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)－1－eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)10eq\f(\r(3),3)eq\r(3)－eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)eq\f(\r(3),3)eq\r(3)－eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)0题型三三角函数值在各象限的符号【例3】（1）若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限（2）判断下列各式的符号：①tan191°－cos191°；②sin2·cos3·tan4．（1）解析由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合。由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限。故选D．答案D（2）解①因为191°是第三象限角；所以tan191°>0，cos191°<0.所以tan191°－cos191°>0.②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角。所以sin2>0，cos3<0，tan4>0.所以sin2·cos3·tan4<0.规律方法三角函数值符号的判断问题：（1）由三角函数的定义可知sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)（r>0）可知三角函数值的符号是由角的终边上一点（除原点）P（x，y）的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键。（2）由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求。（3）已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上。【训练3】判断下列三角函数值的符号：（1）sin3，cos4，tan5；（2）sinα·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)（α为三角形的内角）。解（1）∵eq\f(π,2)<3<π<4<eq\f(3π,2)<5<2π，∴3，4，5分别在第二、三、四象限，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0.（2）∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)，∴sinα>0，coseq\f(α,2)>0，taneq\f(α,2)>0，∴sinα·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)>0.四、课堂总结1．通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养。2．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数。3．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。五、课堂练习1．若角α的终边上一点的坐标为（1，－1），则cosα为（）A．1 B．－1C．eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)解析∵角α的终边上一点的坐标为（1，－1），它与原点的距离r＝eq\r(12＋（－1）2)＝eq\r(2)，∴cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)。答案C2．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上三种情况都可能解析∵α、β为三角形的内角，所以0<α，β<π，∴sinα>0，∴cosβ<0，∴β为钝角。即三角形为钝角三角形。故选B．答案B3．已知角α的终边经过点（3a－7，a＋4），且sinα≥0，cosα<0，则实数a的取值范围是________。解析由三角函数的定义可知sinα≥0⇒a＋4≥0，cosα<0⇒3a－7<0，∴－4≤a<eq\f(7,3)。答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(7,3)))4．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第________象限。解析因为点P（tanα，cosα）在第三象限，则tanα<0且cosα<0，故角α的终边在第二象限。答案二5．已知角α的终边在射线y＝eq\r(3)x（x>0）上，求角α的正弦、余弦和正切值。解设角α的终边与单位圆的交点为P（x，y），则x2＋y2＝1，又y＝eq\r(3)x（x>0），解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2).))于是sinα＝y＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝x＝eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\r(3)。【第二课时】任意角的三角函数（二）【教学目标】1．会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值。2．理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律。3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。【教学重难点】会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值。【教学过程】一、情境引入角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）。作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则sinα＝y，cosα＝x都是正数。问题（1）你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？tanα＝eq\f(y,x)怎样表示？（2）当α为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角α的正弦值和余弦值呢？tanα＝eq\f(y,x)怎样表示呢？提示（1）如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M，则MP＝y＝sinα，OM＝x＝cosα；过点A（1，0）作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA、AT，有tanα＝AT＝eq\f(y,x)。（2）用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点A（1，0）作单位圆的切线，则有向线段MP、OM、AT就分别等于sinα，cosα，tanα。二、新知初探1．有向线段：规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段；对于有向线段AB，把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，即为AB．2．三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线（或反向延长线）于T点。单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。记作：sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT。3．三角函数的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))拓展深化[微判断]1．正弦线MP也可写成PM。（×）提示三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒。2．三角函数线表示的值都只能是非负值。（×）提示三角函数线表示的值也可取负值。3．当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。（√）4．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点。（√）[微训练]1．角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)有相同的（）A．正弦值 B．余弦值C．正切线 D．不能确定解析因为角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)的终边互为反向延长线，因此，过点A（1，0）作单位圆的切线，与直线l有且只有一个交点T即两角有相同的正切线。故选C．答案C2．已知eq\f(13π,5)的正弦线为MP，正切线为AT，则有（）A．MP与AT的方向相同B．MP＝ATC．MP>0，AT<0D．MP<0，AT>0解析三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的。MP＝sineq\f(13π,5)>0，AT＝taneq\f(13π,5)<0.答案C3．下列角的正切线不存在的是（）A．－eq\f(11π,10) B．eq\f(9π,2)C．eq\f(3π,4) D．eq\f(8π,7)解析因为eq\f(9π,2)的终边落在y轴的非负半轴上，故正切线不存在。答案B[微思考]1．若α为任意角，则sinα，cosα的取值范围是多少？提示根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得－1≤sinα≤1，－1≤cosα≤1．2．设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？提示设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，则sinα＝MP，cosα＝OM，OP＝1，在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即sinα＋cosα>1．3．你能根据三角函数线判断正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的单调性吗？能判断正切函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的单调性吗？提示正弦函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上为增函数；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上为减函数；余弦函数在[π，2π]上为增函数；在[0，π]上为减函数；正切函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上为增函数。三、合作探究题型一作三角函数线【例1】作出－eq\f(5π,8)的正弦线、余弦线和正切线。解如图所示，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,8)))＝MP，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,8)))＝OM，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,8)))＝AT。规律方法（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线得到垂足，从而得到正弦线和余弦线。（2）作正切线时，应从点A（1，0）引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT。【训练1】如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是（）A．正弦线为PM，正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案C题型二利用三角函数线比较大小【例2】利用三角函数线比较：sineq\f(2π,3)和sineq\f(4π,5)，coseq\f(2π,3)和coseq\f(4π,5)，taneq\f(2π,3)和taneq\f(4π,5)的大小。解如图，sineq\f(2π,3)＝MP，coseq\f(2π,3)＝OM，taneq\f(2π,3)＝AT，sineq\f(4π,5)＝M′P′，coseq\f(4π,5)＝OM′，taneq\f(4π,5)＝AT′。显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，∴sineq\f(2π,3)>sineq\f(4π,5)；|OM|<|OM′|，符号皆负，∴coseq\f(2π,3)>coseq\f(4π,5)；|AT|>|AT′|，符号皆负，∴taneq\f(2π,3)<taneq\f(4π,5)。规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1）角的位置要“对号入座”。（2）比较三角函数线的长度。（3）确定有向线段的正负。【训练2】依据三角函数线作出如下四个判断：①sineq\f(π,6)＝sineq\f(7π,6)；②coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)；③taneq\f(π,8)>taneq\f(3π,8)；④sineq\f(3π,5)>sineq\f(4π,5)。其中判断正确的有________。解析分别作出各角的三角函数线（图略），可知sineq\f(π,6)＝－sineq\f(7π,6)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)，taneq\f(π,8)<taneq\f(3π,8)，sineq\f(3π,5)>sineq\f(4π,5)，所以②④正确。答案②④题型三利用三角函数线解不等式（组）【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合。（1）sinα≥eq\f(\r(3),2)；（2）cosα≤－eq\f(1,2)。解（1）作直线y＝eq\f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（如图（1）所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围。故满足要求的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))。（2）作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域（如图（2）所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围。故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z))。规律方法利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sinx≥m或sinx≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。【训练3】已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，在[0，2π）内，求α的取值范围。解由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα>cosα，,tanα>0.))如图，由三角函数线可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)<α<\f(5,4)π，,0<α<\f(π,2)或π<α<\f(3,2)π.))∴eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)或π<α<eq\f(5,4)π。四、课堂总结1．通过利用三角函数线解决问题，重点提升直观想象和数学运算素养；2．不论角的终边落在第几象限，sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT。五、课堂练习1．若角α（0<α<2π）的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为（）A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(7π,4) D．eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4)解析由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，得α的终边在第二、四象限的角平分线上。又0<α<2π，∴α＝eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4)。答案D2．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（）A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π，\f(3,4)π)) D．[0，π]解析当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sinx≤cosx。答案A3．若角α的余弦线长度为eq\f(1,2)，且方向与x轴负方向相同，则cosα＝________。解析因为α的余弦线方向与x轴负方向相同，所以cosα<0，所以cosα＝－eq\f(1,2)。答案－eq\f(1,2)4．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，在单位圆中角α的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们的模从大到小的顺序为________。解析由图可知，当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，cosα<sinα<1，tanα>1，即AT>MP>OM，故当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))时，AT>MP>OM。答案AT>MP>OM5．分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切。（1）－eq\f(2π,3)；（2）－eq\f(13π,6)。解如图所示，正弦线、余弦线和正切线分别为MP，OM，AT。（1）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝－eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝eq\r(3)。（2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,6)))＝－eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)。7．2．2同角三角函数关系【教学目标】1．理解同角三角函数的基本关系式。2．会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明。【教学重难点】理解同角三角函数的基本关系式。【教学过程】一、情境引入气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化。蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索。从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点。蝴蝶效应问题既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？提示sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)（α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z）。二、新知初探1．同角三角函数关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1．（2）商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))。2．同角三角函数关系的变形（1）sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α。（2）tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝cos__αtan__α；cosα＝eq\f(sinα,tanα)。拓展深化[微判断]1．sin2α＋cos2β＝1．（×）提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1．2．sin2eq\f(θ,2)＋cos2eq\f(θ,2)＝1．（√）3．对任意的角α，都有tanα＝eq\f(sinα,cosα)成立。（×）提示当α＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z时就不成立。4．若sinα＝eq\f(1,2)，则cosα＝eq\f(\r(3),2)。（×）提示cosα＝±eq\f(\r(3),2)。[微训练]1．下列四个结论中可能成立的是（）A．sinα＝eq\f(1,2)且cosα＝eq\f(1,2)B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．α是第二象限角时，tanα＝－eq\f(sinα,cosα)解析根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sinα＝0且cosα＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立。答案B2．已知cosα＝eq\f(3,5)，α为第四象限角，则sinα＝（）A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．±eq\f(4,5) D．±eq\f(3,5)解析∵cosα＝eq\f(3,5)，α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(4,5)，故选B．答案B3．化简eq\f(2cos2α－1,1－2sin2α)＝________。解析原式＝eq\f(2cos2α－（sin2α＋cos2α）,（sin2α＋cos2α）－2sin2α)＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α－sin2α)＝1．答案14．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且sinαcosα＝eq\f(12,25)，则sinα＋cosα＝__________________________。解析（sinα＋cosα）2＝1＋2sinα·cosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα>0，cosα>0，∴sinα＋cosα＝eq\f(7,5)。答案eq\f(7,5)[微思考]1．同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？提示平方关系对任意角都成立，商数关系只有当α≠kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z）时成立。2．同角三角函数的基本关系式中，“同角”的含义是什么？提示“同角”两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达式无关，如：sin23α＋cos23α＝1；sin2（α－β）＋cos2（α－β）＝1都成立。3．若已知sinα±cosα＝m，你能求出sinα·cosα吗？提示若sinα＋cosα＝m，则sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝m2，所以sinα·cosα＝eq\f(m2－1,2)，若sinα－cosα＝m，则sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝m2，∴sinα·cosα＝eq\f(1－m2,2)。三、合作探究题型一利用同角关系式求值【例1】已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值。解由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα。①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25)。又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5)。【迁移1】（变换结论）在例1的条件下，求eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)的值。解法一（代入法）∵tanα＝eq\f(4,3)，∴eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，∴sinα＝eq\f(4,3)cosα，∴原式＝eq\f(\f(4,3)cosα－3cosα,\f(4,3)cosα＋cosα)＝eq\f(－\f(5,3)cosα,\f(7cosα,3))＝－eq\f(5,7)。法二（弦化切）eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝eq\f(\f(4,3)－3,\f(4,3)＋1)＝－eq\f(5,7)。【迁移2】（变换结论）在例1的条件下，求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值。解法一（代入法）由（迁移1）知sinα＝eq\f(4,3)cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25)。∵2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝2×eq\f(16,9)cos2α－eq\f(4,3)cos2α＋cos2α＝eq\f(29,9)cos2α＝eq\f(29,9)×eq\f(9,25)＝eq\f(29,25)。法二（弦化切）2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝eq\f(2sin2α－sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(2×\f(16,9)－\f(4,3)＋1,\f(16,9)＋1)＝eq\f(29,25)。规律方法（1）已知sinθ（或cosθ）求tanθ常用以下方式求解（2）若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解。【训练1】已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值。解∵cosα＝－eq\f(8,17)<0，∴α是第二或第三象限角，（1）当α是第二象限角时，则sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))\s\up12(2))＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8)。（2）当α是第三象限角时，则sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8)。题型二sinα±cosα型的求值问题【例2】已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,2)（0<θ<π），求sinθcosθ和sinθ－cosθ的值。解因为sinθ＋cosθ＝eq\f(1,2)（0<θ<π），所以（sinθ＋cosθ）2＝eq\f(1,4)，即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝eq\f(1,4)，所以sinθcosθ＝－eq\f(3,8)。由上知θ为第二象限角，所以sinθ－cosθ>0，所以sinθ－cosθ＝eq\r(（sinθ＋cosθ）2－4sinθcosθ)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8))))＝eq\f(\r(7),2)。规律方法已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解。涉及的三角恒等式有：（1）（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ；（2）（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ；（3）（sinθ＋cosθ）2＋（sinθ－cosθ）2＝2；（4）（sinθ－cosθ）2＝（sinθ＋cosθ）2－4sinθcosθ。上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出。【训练2】在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5)。（1）求sinAcosA的值；（2）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；（3）求tanA的值。解（1）∵sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，①两边平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，∴sinAcosA＝－eq\f(12,25)。（2）由sinAcosA＝－eq\f(12,25)<0，且0<A<π，可知cosA<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形。（3）∵（sinA－cosA）2＝1－2sinAcosA＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又∵sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝eq\f(7,5)。②由①②可得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq\f(4,3)。题型三利用同角三角函数关系式化简【例3】化简：（1）eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα)；（2）eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－cos210°))；（3）sin2αtanα＋eq\f(cos2α,tanα)＋2sinαcosα。解（1）eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα)＝eq\f(sinα（1－sinα）－sinα（1＋sinα）,（1＋sinα）（1－sinα）)＝eq\f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq\f(－2sin2α,cos2α)＝－2tan2α。（2）eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－cos210°))＝eq\f(\r(（cos10°＋sin10°）2),cos10°＋sin10°)＝eq\f(|cos10°＋sin10°|,cos10°＋sin10°)＝1．（3）原式＝sin2α·eq\f(sinα,cosα)＋cos2α·eq\f(cosα,sinα)＋2sinαcosα＝eq\f(sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α,sinαcosα)＝eq\f(（sin2α＋cos2α）2,sinαcosα)＝eq\f(1,sinαcosα)。规律方法三角函数式的化简技巧（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的。（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的。【训练3】化简：eq\f(2cos2α－1,1－2sin2α)＋（1＋tan2α）cos2α。解原式＝eq\f(2cos2α－（sin2α＋cos2α）,sin2α＋cos2α－2sin2α)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2α,cos2α)))cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α－sin2α)＋eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α)·cos2α＝1＋1＝2．题型四利用同角三角关系式证明【例4】求证：eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)。证明法一左边＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(（sinα＋cosα）2,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝右边。所以等式成立。法二右边＝eq\f(\f(sinα,cosα)＋1,\f(sinα,cosα)－1)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(（sinα＋cosα）2,（sinα－cosα）（sinα＋cosα）)＝eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝左边。所以等式成立。规律方法证明三角恒等式的思路（1）从一边开始证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则；（2）证明左右两边等于同一个式子；（3）证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1；（4）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。【训练4】求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα)；证明∵右边＝eq\f(tan2α－sin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α（1－cos2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，∴原等式成立。四、课堂总结1．通过对公式的正用、逆用、变形用提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。2．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，eq\f(sin8α,cos8α)＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”。3．在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取。五、课堂练习1．若cosα＝－eq\f(4,5)，且α是第二象限角，则tanα的值等于（）A．eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)解析由题意可得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(3,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)。答案B2．已知sinαcosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值是（）A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)解析∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴sinα>cosα，cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－eq\r(1－2sinαcosα)＝－eq\r(1－2×\f(3,8))＝－eq\f(1,2)。答案B3．若α为第二象限角，化简tanα·eq\r(\f(1,sin2α)－1)＝________。解析tanα·eq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanα·eq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanα·eq\f(|cosα|,sinα)（α为第二象限角）＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1．答案－14．若sinA＝eq\f(4,5)且A是三角形中的一个内角，则eq\f(5sinA＋8,15cosA－7)＝________。解析∵sinA＝eq\f(4,5)，A是三角形中的一个内角，∴cosA＝eq\f(3,5)或cosA＝－eq\f(3,5)，当cosA＝eq\f(3,5)时，eq\f(5sinA＋8,15cosA－7)＝eq\f(5×\f(4,5)＋8,15×\f(3,5)－7)＝eq\f(12,2)＝6；当cosA＝－eq\f(3,5)时，eq\f(5sinA－8,15cosA－7)＝eq\f(5×\f(4,5)＋8,15×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－7)＝eq\f(12,－16)＝－eq\f(3,4)。答案6或－eq\f(3,4)5．已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，计算下列各式的值：（1）eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；（2）sin2α－2sinαcosα＋1．解由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3．（1）原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9)。（2）原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10)。7．2．3三角函数的诱导公式【第一课时】诱导公式一、二、三、四【教学目标】1．了解三角函数的诱导公式的意义与作用。2．理解诱导公式的推导过程。3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。【教学重难点】能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。【教学过程】一、情境引入南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美。而三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形。问题（1）你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？（2）根据上述的对称性，sin（π＋α）、sin（π－α）、sin（－α）与sinα有什么关系呢？提示（1）π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称。（2）根据对称性可知sin（π＋α）＝－sinα；sin（π－α）＝sinα；sin（－α）＝－sinα。二、新知初探1．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数值相等。sin（α＋2kπ）＝sin__α（k∈Z），cos（α＋2kπ）＝cosα（k∈Z），tan（α＋2kπ）＝tanα（k∈Z）。2．诱导公式二终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin（－α）＝－sin__α，cos（－α）＝cos__α，tan（－α）＝－tan__α3．诱导公式三终边关系图示角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin（π－α）＝sin__α，cos（π－α）＝－cos__α，tan（π－α）＝－tan__α4．诱导公式四终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin（π＋α）＝－sin__α，cos（π＋α）＝－cos__α，tan（π＋α）＝tan__α拓展深化[微判断]1．诱导公式中角α是任意角。（×）提示正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义。2．sin（α－π）＝sinα。（×）提示sin（α－π）＝sin[－（π－α）]＝－sin（π－α）＝－sinα。3．coseq\f(4,3)π＝－eq\f(1,2)。（√）4．sin（180°－200°）＝－sin200°。（×）提示sin（180°－200°）＝sin200°。5．若α，β满足α＋β＝π，则sinα＝sinβ。（√）[微训练]1．下列式子中正确的是（）A．sin（π－α）＝－sinα B、Cos（π＋α）＝cosαC．cosα＝sinα D．sin（2π＋α）＝sinα解析对于A，sin（π－α）＝sinα，故A错误；对于B，cos（π＋α）＝－cosα，故B错误；对于C，sinα不一定等于cosα，故C错误。答案D2．化简cos（3π－α）＝（）A．cosα B．－cosαC．sinα D．－sinα解析cos（3π－α）＝cos[2π＋（π－α）]＝cos（π－α）＝－cosα。答案B3．计算：sin210°＝（）A．eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析sin210°＝sin（180°＋30°）＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，故选D．答案D4．将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上。（1）sin（1＋π）＝________。（2）cos210°＝________。（3）taneq\f(17π,6)＝________。解析（1）sin（1＋π）＝－sin1．（2）cos210°＝cos（180°＋30°）＝－cos30°。（3）taneq\f(17π,6)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(5π,6)))＝taneq\f(5π,6)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－taneq\f(π,6)。答案（1）－sin1（2）－cos30°（3）－taneq\f(π,6)[微思考]1．由公式二、三你能推导公式四吗？提示由公式二、三能推导公式四。如：sin（π＋α）＝sin[π－（－α）]＝sin（－α）＝－sinα。2．公式一、二、三、四有什么共同点吗？有什么统一记忆方法吗？提示公式一、二、三、四的函数名称均没有改变。简记为：“函数名不变、符号看象限”。三、合作探究题型一利用诱导公式求三角函数值【例1】（1）sin750°＝________；cos（－2040°）＝________；（2）计算：sin（－eq\f(31π,6)）－cos（－eq\f(10π,3)）＝________。解析（1）sin750°＝sin（2×360°＋30°）＝sin30°＝eq\f(1,2)；cos（－2040°）＝cos2040°＝cos（5×360°＋240°）＝cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－eq\f(1,2)。（2）原式＝－sineq\f(31π,6)－coseq\f(10π,3)＝－sin（4π＋π＋eq\f(π,6)）－cos（2π＋π＋eq\f(π,3)）＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1．答案（1）eq\f(1,2)－eq\f(1,2)（2）1规律方法利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化。（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角。（3）“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角。（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值。【训练1】求下列各三角函数式的值：（1）sin1320°；（2）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；（3）tan（－945°）。解（1）法一sin1320°＝sin（3×360°＋240°）＝sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2)。法二sin1320°＝sin（4×360°－120°）＝sin（－120°）＝－sin（180°－60°）＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2)。（2）法一coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝cos（π＋eq\f(π,6)）＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2)。法二coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2)。（3）tan（－945°）＝－tan945°＝－tan（225°＋2×360°）＝－tan225°＝－tan（180°＋45°）＝－tan45°＝－1．题型二利用诱导公式化简求值问题【例2】化简下列各式：（1）eq\f(tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）,cos（α－π）sin（5π－α）)；（2）eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°)。解（1）原式＝eq\f(－tanα·sin（－α）cos（－α）,cos（π－α）sin（π－α）)＝eq\f(－sinα（－sinα）cosα,cosα（－cosα）sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα。（2）原式＝eq\f(\r(1＋2sin（360°－70°）cos（360°＋70°）),sin（180°＋70°）＋cos（720°＋70°）)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(|cos70°－sin70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1．规律方法三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式。②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数。（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数。【训练2】化简下列各式：（1）eq\f(cos（π＋α）cos（3π－α）tan（π＋α）,sin（π＋α）cos（－α－π）)；（2）sin（π＋α）cos（－α）＋sin（2π－α）cos（π－α）＋sinαcos（π＋α）tan（－π－α）。解（1）原式＝eq\f(（－cosα）·（－cosα）·tanα,（－sinα）（－cosα）)＝eq\f(cosα,sinα)·eq\f(sinα,cosα)＝1．（2）原式＝－sinα·cosα＋sin（－α）（－cosα）＋sinα（－cosα）（－tanα）＝－sinα·cosα＋sinα·cosα＋sinα·cosα·tanα＝sinα·cosα·eq\f(sinα,cosα)＝sin2α。题型三给值（或式）求值问题【例3】已知cos（eq\f(π,6)－α）＝eq\f(\r(3),3)，求cos（eq\f(5π,6)＋α）－sin2（α－eq\f(π,6)）的值。解因为cos（eq\f(5π,6)＋α）＝cos[π－（eq\f(π,6)－α）]＝－cos（eq\f(π,6)－α）＝－eq\f(\r(3),3)，sin2（α－eq\f(π,6)）＝sin2[－（eq\f(π,6)－α）]＝sin2（eq\f(π,6)－α）＝1－cos2（eq\f(π,6)－α）＝1－（eq\f(\r(3),3)）2＝eq\f(2,3)，所以cos（eq\f(5π,6)＋α）－sin2（α－eq\f(π,6)）＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3)。【迁移1】（变换条件）将例3题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？解由题意知cos（eq\f(π,6)＋α）＝eq\f(\r(3),3)，求cos（eq\f(5π,6)－α）＋sin2（α＋eq\f(π,6)）的值。因为cos（eq\f(5π,6)－α）＝cos[π－（eq\f(π,6)＋α）]＝－cos（eq\f(π,6)＋α）＝－eq\f(\r(3),3)，sin2（α＋eq\f(π,6)）＝1－cos2（eq\f(π,6)＋α）＝1－（eq\f(\r(3),3)）2＝eq\f(2,3)，所以，cos（eq\f(5π,6)－α）＋sin2（α＋eq\f(π,6)）＝－eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(2－\r(3),3)。【迁移2】（变换结论）例3题中的条件不变，求cos（eq\f(7π,6)－α）－sin2（α－eq\f(13π,6)）的值。解cos（eq\f(7π,6)－α）－sin2（α－eq\f(13π,6)）＝cos[π＋（eq\f(π,6)－α）]－sin2[（α－eq\f(π,6)）－2π]＝－cos（eq\f(π,6)－α）－sin2（eq\f(π,6)－α）＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(\r(3)＋2,3)。规律方法解决条件求值问题的策略（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系。（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化。【训练3】已知eq\f(1＋tan（θ＋720°）,1－tan（θ－360°）)＝3＋2eq\r(2)，求eq\f(cos2（π－θ）＋sin（π＋θ）·cos（π－θ）＋2sin2（θ－π）,cos2（－θ－2π）)的值。解由eq\f(1＋tan（θ＋720°）,1－tan（θ－360°）)＝3＋2eq\r(2)，得eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝3＋2eq\r(2)，∴tanθ＝eq\f(\r(2),2)。原式＝eq\f(cos2θ＋sinθ·cosθ＋2sin2θ,cos2θ)＝1＋tanθ＋2tan2θ＝1＋eq\f(\r(2),2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝2＋eq\f(\r(2),2)。四、课堂总结1．通过本节课的学习，重点提升逻辑推理、数学运算素养。2．利用诱导公式化简（计算）的步骤：负化正→大化小→化成锐角再查表3．诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”。其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号。α看成锐角，只是公式记忆的方便。五、课堂练习1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，则cos（π－θ）的值为（）A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析由已知得cosθ＝－eq\f(\r(5),5)，∴cos（π－θ）＝－cosθ＝eq\f(\r(5),5)。答案C2．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝（）A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3) D．－eq\r(3)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝cos[π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))]＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(\r(3),3)，故选B．答案B3．已知600°角的终边上有一点P（a，－3），则a的值为________。解析tan600°＝tan（360°＋240°）＝tan（180°＋60°）＝tan60°＝eq\r(3)＝－eq\f(3,a)，即a＝－eq\r(3)。答案－eq\r(3)4．函数f（x）＝x＋sin（π＋x）cos（π－x）是________函数（填“奇”“偶”）。解析∵f（x）＝x＋sin（π＋x）cos（π－x）＝x＋（－sinx）·（－cosx）＝x＋sinx·cosx，∴f（－x）＝－x＋sin（－x）cos（－x）＝－x－sinx·cosx＝－f（x），∴f（x）为奇函数。答案奇5．已知eq\f(sin（2π－α）cos（π＋α）,cos（π－α）sin（3π－α）sin（－π－α）)＝3，求tan（5π－α）的值。解∵eq\f(sin（2π－α）cos（π＋α）,cos（π－α）sin（3π－α）sin（－π－α）)＝eq\f(sin（－α）（－cosα）,－cosα·sin（π－α）·[－sin（π＋α）])＝eq\f(－sinα·（－cosα）,－cosα·sinα·sinα)＝3．∴sinα＝－eq\f(1,3)。∴当α为第三象限角时，cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(\r(2),4)，当α为第四象限角时，cosα＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝－eq\f(\r(2),4)。又tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tanα＝±eq\f(\r(2),4)。【第二课时】诱导公式五、六【教学目标】1．在诱导公式一～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导。2．能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题。【教学重难点】能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题。【教学过程】一、情境引入同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝。问题（1）六组诱导公式左边的角能统一写成什么形式？（2）你能举例说明“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？提示（1）六组诱导公式均可以写成eq\f(kπ,2)±α（k∈Z）的形式。（2）cos（π＋α）＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)·2＋α))＝－cosα，k＝2时函数名称不变、符号把α看作锐角时，π＋α为第三象限角，第三象限角的余弦为负。故得到cos（π＋α）＝－cosα。二、新知初探诱导公式五、六函数名改变，符号看象限拓展深化[微判断]1．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝cosα。（×）提示coseq\b\lc