两种初等分析方法

数学建模方法及其应用韩中庚编著第一页，共六十页。正式教学内容数学建模课堂能力需求数学建模没有高深的理论，但需要广博的知识成绩好的同学，不一定适合建模学习数学建模需要想象力、创造力模型好坏的唯一标准是实际问题的解决程度。第二页，共六十页。数学建模课堂与基础课课堂的差别基础课：

不懂老师讲授80%懂了练习巩固收获：该知识点的题目会做了数学建模课：

门外汉介绍情况发现一堆问题发现自己有很多不懂课下查找资料自学解决问题。收获：解决了实际问题，自学了知识第三页，共六十页。清华的学生上一次课，需要5~6倍上课时间去消化吸收。没有统一的教材，所有学习资料都由学生自己搜索每次留有大量的作业作业不完成就不能完成学分，进一步不能毕业。第四页，共六十页。自己如何查找资料？图书馆（基础知识）期刊数据库（维普，万方，知网）Google搜索“如何下载期刊”Google学术搜索Google关键词+filetype：pdf（ppt，doc）找地方高校的同学建议：找到资料后可以放在网站大家共享！第五页，共六十页。量纲分析方法；案例分析：点热源的热扩散问题；集合分析方法；主要内容案例分析：合理分派与会成员问题

第二章两种初等分析方法第六页，共六十页。古希腊哲学家亚里士多德认为，重的物体比轻的物体下落的要快。1590年将两个重量不同的球体从相同的高度同时扔下，结果两个铅球几乎同时落地。用所学的物理知识解释原因？如何解释亚里士多德的结论？第七页，共六十页。忘掉一切物理知识，回到1590年！怎样设计实验验证这一结论？V，m，h，g的关系是如何的？第八页，共六十页。实验一不同的物体从相同的高度落下，计算末速度。hv1mv第九页，共六十页。实验二相同的物体从不同的高度落下，计算末速度。h1h2h3v1v2v3hv第十页，共六十页。v，m，h，g的函数关系是如何的？v=V(m，h，g)?v=mhg？v=m+hg？v=m/hg？有没有简便的方法判断是否正确？第十一页，共六十页。Vm/smkghmgm/s2各变量的单位v=mhg？v=m+hg？v=m/hg？第十二页，共六十页。结论单位错误的关系一定是错误的关系！单位正确的关系，不一定是正确的关系！此时如何解决问题？第十三页，共六十页。

一、量纲分析方法

第二章两种初等分析方法用量纲分析法建立的数学模型一般都有明确的物理意义或现实意义。第十四页，共六十页。vm/smkghmgm/s2v2

m2/s2hg

m2/s2v2=hg?第十五页，共六十页。MoreDifficultExample!空间点热源的热扩散问题第十六页，共六十页。

引例：空间点热源的热扩散问题

一、量纲分析方法

讨论：

如何来刻画热扩散规律？

这些规律与那些因素有关？第十七页，共六十页。研究这个问题能做什么？第十八页，共六十页。研究这个问题能做什么？指导你们买CPU风扇

哪种材料好，哪种形状好。指导核电站的热交换系统

钠的流动速度控制。第十九页，共六十页。对于这个问题的定性描述“铜的热传递性好，热很快就传导过来了。”“水的比热容大，可以吸附更多的热量”“泡沫塑料的隔热性好，热不能传出来。”如何定量描述这种规律？需要研究哪些量之间的关系？第二十页，共六十页。如果所有泵都停了，距离反应堆5m处的钠管的温度随时间变化的规律是如何的？第二十一页，共六十页。

引例：空间点热源的热扩散问题热量er时刻t温度u比热容c

热扩散速率k

一、量纲分析方法第二十二页，共六十页。

一、量纲分析方法1、量纲232022年12月4日第二十三页，共六十页。

一、量纲分析方法1、量纲242022年12月4日第二十四页，共六十页。长度：[l]=Ｌ时间：[t]=T常数:[π]=[ｅ]=１例如，常用的基本量纲有：M,L,T,1质量：[m]=M[V],[a],[F],[P][w]?

一、量纲分析方法252022年12月4日第二十五页，共六十页。

用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致性，这种性质称之为量纲齐次性。２、量纲齐次原则

当方程中的各项具有相同的量纲时，这个方程被称为是量纲齐次的，也只有具有相同量纲的量才能作比较或相加、减，即物理定律必须是量纲齐次的。

一、量纲分析方法262022年12月4日第二十六页，共六十页。２、量纲齐次原则

一、量纲分析方法272022年12月4日第二十七页，共六十页。

假设要研究q1，q1,…,q1之间的关系第二十八页，共六十页。第二十九页，共六十页。基本量纲：时间：T长度：L温度：θ质量：M第三十页，共六十页。

量纲分析步骤第三十一页，共六十页。４、量纲分析的一般步骤

一、量纲分析方法热量er时刻t温度u比热容c

热扩散速率k基本量纲：时间：T长度：L温度：θ质量：M322022年12月4日第三十二页，共六十页。４、量纲分析的一般步骤

一、量纲分析方法332022年12月4日第三十三页，共六十页。４、量纲分析的一般步骤

一、量纲分析方法342022年12月4日第三十四页，共六十页。４、量纲分析的一般步骤

一、量纲分析方法352022年12月4日第三十五页，共六十页。

一、量纲分析方法362022年12月4日第三十六页，共六十页。４、量纲分析的一般步骤

一、量纲分析方法372022年12月4日第三十七页，共六十页。

一、量纲分析方法382022年12月4日第三十八页，共六十页。４、量纲分析的一般步骤

一、量纲分析方法第三十九页，共六十页。４、量纲分析的一般步骤

一、量纲分析方法402022年12月4日第四十页，共六十页。

一、量纲分析方法412022年12月4日第四十一页，共六十页。

一、量纲分析方法思考题：量纲分析法一般能用于解决什么样的问题？使用量纲分析法需要那些条件？量纲分析法的优缺点有哪些？422022年12月4日第四十二页，共六十页。

第二章两种初等分析方法二、集合分析方法432022年12月4日第四十三页，共六十页。用集合表述有什么好处？

二、集合分析方法442022年12月4日第四十四页，共六十页。1.问题的提出案例分析：合理分派与会成员问题

AnTostal公司的一次会议的参加者为29位公司董事会成员，其中9位是在职董事(即公司的雇员)．会议要开一天,每个小组上午开三段，下午开四段，每段会议开45分钟，从上午9:00到下午5:00每整点开始开会，中午12:00午餐．

二、集合分析方法452022年12月4日第四十五页，共六十页。

1.问题的提出案例分析：合理分派与会成员问题

上午每段会议都有6个小组讨论会，每个小组都由公司的一位资深高级职员来主持．这些资深高级职员都不是董事会的成员．因此，每位资深高级职员都要主持三个不同的小组会．这些资深高级职员不参加下午的讨论会，而且下午的每段会议只有4个不同的小组会．

二、集合分析方法462022年12月4日第四十六页，共六十页。

二、集合分析方法

公司董事长需要一份由公司董事参加的7段分组会议的每个小组的分配名单．这份搭配名单要尽可能多地把董事均匀搭配．理想的搭配应是任意两位董事同时参加一个小组讨论会的次数相同,与此同时，要使在不同时段的小组会中同在一起开过会的董事总数达到最小．

1.问题的提出案例分析：合理分派与会成员问题472022年12月4日第四十七页，共六十页。名单中的成员搭配还应满足下列两个准则：

(1)在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由同一位资深高级职员主持的两次会议．

(2)每个分组讨论会都应将在职董事均匀分配到各小组中．

二、集合分析方法

1.问题的提出案例分析：合理分派与会成员问题482022年12月4日第四十八页，共六十页。

请给出一份1～9号在职董事、10～29号董事、1～6号公司资深高级职员的分组搭配名单．并说明该名单在多大程度上满足了前面提出的各种要求和规则。因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会议，也可能不在名单上的董事将出席会议。因此，一个能使秘书在会前一小时接到参会与否的通知情况下，来调整搭配分组的算法定会得到赏识．如果算法还能用于不同水平的与会者同参加后面会议中的每一类与会者搭配，那么就更理想了．案例分析：合理分派与会成员问题

二、集合分析方法492022年12月4日第四十九页，共六十页。2.模型的假设（１）各场会议间及各个小组之间是相对独立的；（２）所有的高级职员和董事会成员都严格遵守派遣方案；（３）若能够满足每位董事出席会议的次数都相等,则模型被认为是最理想的；（４）6位资深高级职员之间无差异,同样9位在职董事之间、20位外部董事之间也无差异．案例分析：合理分派与会成员问题

二、集合分析方法502022年12月4日第五十页，共六十页。3.符号的说明案例分析：合理分派与会成员问题

二、集合分析方法512022年12月4日第五十一页，共六十页。

二、集合分析方法3.符号的说明案例分析：合理分派与会成员问题522022年12月4日第五十二页，共六十页。

二、集合分析方法3.符号的说明案例分析：合理分派与会成员问题532022年12月4日第五十三页，共六十页。

二、集合分析方法3.符号的说明案例分析：合理分派与会成员问题542022年12月4日第五十四页，共六十页。4.问题分析案例分析：合理分派与会成员问题

二、集合分析方法

根据问题要求可有两个分派原则:(1)均衡分派原则：尽可能使得各讨论组成员人数相等，该原则将确保各讨论组人数大致相等．(2)分派比例原则：各会议讨论组在职董事和外部董事的比例大致相等．552022年12月4日第五十五页，共六十页。方案I：每场上午的分组会议共分为6组，一个组由位董事成员组成，其他个组每组由位董事成员组成．其中3个组每组有2位在职董事,而另外3个组每组只有1位在职董事.具体对于每一个组成员的分派都是随机的．

如果公司总裁更希望使各讨论组的成员人数尽可能相等,建采用这个方案，即可满足他的要求．4.问题分析案例分析：合理分派与会成员问题

二、集合分析方法562022年12月4日第五十六页，共六十页。方案II：由均衡分派原则，每组中在职董事和外部董事的比例应该近似相等，即应大致为．由所给数据和题目要求可知,不存在恰好比例为的分派方案,在这里可以从以下结果中挑选最接近的分派方案．4.问题分析案例分析：合理分派与会成员问题

二、集合分析方法572022年12月4日第五十七页，共六十页。模型Ⅰ:第一种分派方案：第一步：上午第一场会议的分派方案；第二步：上午第二场会议的分派方案；第三步：类似上述方法分派上午第三场会议的分组结果．第四步：下午分组会议的分派方案安排。5.模型的建立与求解案例分析：合理分派与会成员问题

二、集合分析方法582022年12月4日第五十八页，共六十页。5.模型的建立与求解案例分析：合理分派与会成员问题

二、集合分析方法模型Ⅱ：第二种分派方案：第一步：上午会议的分派方案；第二步：下午会议的分派方案:

两种分