教学设计 完整版：函数模型及其应用

函数模型及其应用(第2课时)教学过程一、问题情境在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题.例如:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则关于时间x的总产值y可以用公式y=N(1+p)x表示.二、数学建构问题1某公司拟投资1000万元,有两种获利的方案可供选择:一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(参考数据:≈,≈,≈题目中涉及两种投资方式回报的比较,生活中常常出现.两种投资方式一种涉及单利,一种涉及复利(即利滚利),可分别根据单利与复利的计算方法计算出本息和,再进行比较,判断优劣.具体解答如下:本金1000万元,年利率为10%,按单利计算,5年后收回的本息和是1000×(1+10%×5)=1500(万元);本金1000万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回的本息和是1000×(1+9%)5=(万元).因此,按年利率为9%的每年复利一次计算要比按年利率为10%的单利计算更有利,5年后多得利息万元.三、数学运用【例1】(教材P98例2)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多长时间?(结果精确到(见学生用书课堂本P69)[处理建议]题目中给出了一个关系式,同时给出了若干个变量之间的关系,看似有点复杂,但用后面给出的具体数据对号入座后,并不难得到答案.[规范板书]解由题意知40-24=(88-24),即QUOTE,解得h=10.故T-24=(88-24).当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24),即QUOTE,两边取对数,用计算器求得t≈.因此,约需要,可降温到35℃.[题后反思]本题是利用已知的函数模型来解决物理问题,需由已知条件先确定函数关系式,然后再求解.本题的实质为已知自变量的值,求对应的函数值的数学问题.由于运算比较复杂,要求学生能够借助计算器进行计算.【例2】(教材P99例3)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?(见学生用书课堂本P70)[处理建议]题中提到两个函数,比较直接,带领学生读懂题意后就能写出要研究的函数MP(x);本题涉及两个函数,一个是一次函数,一个是二次函数,处理起来并不困难,关键是读懂题意.[规范板书]解由题意知,x∈[1,100],且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20+74125,当x=62或x=63时,P(x)的最大值为74120(元).因为MP(x)=2480-40x是单调减函数,所以当x=1时,MP(x)的最大值为2440(元).因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.[题后反思]本题中边际利润函数MP(x)在x=1时取得最大值,这说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大,即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2480-40x是单调减函数,这说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相比在减少.通过上述几个例子,我们可以看出,解决实际问题通常按实际问题→建立数学模型→得到数学结果→解决实际问题的步骤进行,其中建立数学模型是关键.四、课堂练习1.复利就是把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息(就是人们常说的“利滚利”).设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+r)x,x∈N*.

2.单利就是在计算每一期的利息时,本金还是第一期的本金.设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+rx),x∈N*.

3.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为14.(参考数据:lg2≈,lg3≈(第4题)4.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面