中考数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page3434页，共=sectionpages3434页2021年甘肃省定西市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。1．（3分）（2021•白银）3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．（3分）（2021•白银）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2021•白银）下列运算正确的是（）A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝44．（3分）（2021•白银）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（）A．5×108 B．5×109 C．5×1010 D．50×1085．（3分）（2021•白银）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）6．（3分）（2021•白银）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（）A．70° B．60° C．75° D．80°7．（3分）（2021•白银）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（）A．48° B．24° C．22° D．21°8．（3分）（2021•白银）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）A． B． C． D．9．（3分）（2021•白银）对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．310．（3分）（2021•白银）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3 B．6 C．8 D．9二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。11．（3分）（2021•白银）因式分解：4m﹣2m2＝．12．（3分）（2021•白银）关于x的不等式x﹣1＞的解集是．13．（3分）（2021•白银）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是。14．（3分）（2021•白银）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：体温（℃）36.336.436.536.636.736.8天数（天）233411这14天中，小芸体温的众数是℃。15．（3分）（2021•白银）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝cm．16．（3分）（2021•白银）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）17．（3分）（2021•白银）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为dm2．18．（3分）（2021•白银）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是．三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。19．（4分）（2021•白银）计算：（2021﹣π）0+（）﹣1﹣2cos45°．20．（4分）（2021•白银）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝4．21．（6分）（2021•白银）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．22．（6分）（2021•白银）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．23．（6分）（2021•白银）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。24．（7分）（2021•白银）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：等级成绩xA50≤x＜60B60≤x＜70C70≤x＜80D80≤x＜90E90≤x≤100（1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中m＝；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）所抽取学生成绩的中位数落在等级；（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？25．（7分）（2021•白银）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．（1）小刚家与学校的距离为m，小刚骑自行车的速度为m/min；（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？26．（8分）（2021•白银）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．27．（8分）（2021•白银）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．28．（10分）（2021•白银）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．

2021年甘肃省定西市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。1．（3分）（2021•白银）3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义进行答题．【解答】解：设3的倒数是a，则3a＝1，解得，a＝．故选：D．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）（2021•白银）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念判断求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形．3．（3分）（2021•白银）下列运算正确的是（）A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；B、原式＝3，所以B选项的计算错误；C、原式＝＝，所以C选项的计算正确；D、原式＝＝＝2，所以D选项的计算错误．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．4．（3分）（2021•白银）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（）A．5×108 B．5×109 C．5×1010 D．50×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将50亿用科学记数法表示为5×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2021•白银）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．【解答】解：将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝5x﹣2．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键．6．（3分）（2021•白银）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（）A．70° B．60° C．75° D．80°【考点】平行线的性质．【分析】根据角的和差得到∠ABF＝70°,再根据两直线平行，同位角相等即可得解．【解答】解：∵∠ABC＝90°,∠CBF＝20°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝70°,∵DE∥BF，∴∠ADE＝∠ABF＝70°,故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．7．（3分）（2021•白银）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（）A．48° B．24° C．22° D．21°【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．【解答】解：连接OC、OD，∵AB＝CD，∠AOB＝42°，∴∠AOB＝∠COD＝42°，∴∠CED＝∠COD＝21°．故选：D．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．（3分）（2021•白银）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）A． B． C． D．【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设共有x人，y辆车，依题意得：．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（3分）（2021•白银）对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【考点】整式的加减—化简求值．【分析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n＝0，再将原式化成9m+4n﹣2，最后整体代入求值即可．【解答】解：∵（m，n）是“相随数对”，∴+＝，∴＝，即9m+4n＝0，∴3m+2[3m+（2n﹣1）]＝3m+2[3m+2n﹣1]＝3m+6m+4n﹣2＝9m+4n﹣2＝0﹣2＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键．10．（3分）（2021•白银）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3 B．6 C．8 D．9【考点】动点问题的函数图象．【分析】先根据AB＝BC结合图2得出AB＝，进而利用勾股定理得，AD²+BD²＝13，再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即AD•BD＝3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥BC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BC＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴(AD+BD)²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD(5﹣AD)＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB＝和点M和点B重合时，△ADM的面积为3是解本题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。11．（3分）（2021•白银）因式分解：4m﹣2m2＝2m（2﹣m）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】提取公因式进行因式分解．【解答】解：4m﹣2m2＝2m(2﹣m)，故答案为：2m(2﹣m)．【点评】本题考查提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式的技巧准确计算是解题关键．12．（3分）（2021•白银）关于x的不等式x﹣1＞的解集是x＞．【考点】解一元一次不等式．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：x＞1+，合并同类项，得：x＞，系数化为1，得：x＞，故答案为：x＞．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．13．（3分）（2021•白银）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是1。【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝(﹣2)2﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．14．（3分）（2021•白银）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：体温（℃）36.336.436.536.636.736.8天数（天）233411这14天中，小芸体温的众数是36.6℃。【考点】众数．【分析】根据众数的定义就可解决问题．【解答】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6．故答案为：36.6．【点评】本题主要考查了众数的定义，正确理解众数的意义是解决本题的关键．15．（3分）（2021•白银）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝6cm．【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质．【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD长，再根据矩形的性质得出AD∥BC,∠B＝90°,然后解直角三角形ABE即可．【解答】解：∵∠AED＝90°F是AD边的中点，EF＝4，∴AD＝2EF＝8,∵∠EAD＝30°,∴AE＝AD•cos∠30°＝8×＝4,又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,∠B＝90°,∴∠BEA＝∠AED＝30°,在Rt△ABE中，BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6(cm),故答案为：6．【点评】本题考查了矩形的性质直角三角形斜边上的中线以及解直角三角形，关键是利用直角三角形斜边上的中线求出AD的长．16．（3分）（2021•白银）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1＜y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】反比例函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．【解答】解：∵k＝a2+1＞0，∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，∴y1＜y2，故答案为＜．【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，17．（3分）（2021•白银）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为2πdm2．【考点】扇形面积的计算．【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．【解答】解：连接AC,∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2＝22，∴AB＝BC＝2dm，∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．故答案为：2π．【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．18．（3分）（2021•白银）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1．【考点】规律型：数字的变化类；多项式．【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号：第奇数项是正号，第偶数项是负号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，据此即可写出．【解答】解:观察代数式,得到第n个式子是:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．故答案为:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．【点评】本题考查了探索规律,根据所排列的代数式,总结出规律是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。19．（4分）（2021•白银）计算：（2021﹣π）0+（）﹣1﹣2cos45°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解:原式＝1+2﹣2×＝3﹣．【点评】本题考查了零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值,牢记a﹣p＝(a≠0)是解题的关键．20．（4分）（2021•白银）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝4．【考点】分式的化简求值．【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝﹣,当x＝4时，原式＝﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．21．（6分）（2021•白银）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．【考点】数学常识；线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②根据要求作出图形即可．（2）证明△DFB≌△DCB可得结论．【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD,线段CD即为所求．②如图，点F，线段CD,BD,BF即为所求作．(2)结论：BF＝BC．理由：∵DE垂直平分线段AC,∴DA＝DC,∴∠DAC＝∠DCA,∵AD＝DF,∴DF＝DC,＝,∴∠DBC＝∠DBF,∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°,∴∠DFB＝∠DCB,在△DFB和△DCB中，,∴△DFB≌△DCB(AAS),∴BF＝BC．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题．22．（6分）（2021•白银）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．【考点】解直角三角形的应用．【分析】设设CD＝xcm，在Rt△ACD中，可得出AD＝，在Rt△ACD中,BD＝，再由AD+BD＝AB,列式计算即可得出答案．【解答】解：设CD＝xcm，在Rt△ACD中，AD＝,在Rt△ACD中,BD＝,∵AD+BD＝AB,∴,解得，x≈33.4．答：宝塔的高度约为33.4m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．23．（6分）（2021•白银）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．【考点】用样本估计总体；列表法与树状图法；利用频率估计概率．【分析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，∴估计摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，根据题意，得：＝0.75，解得x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，∴估计箱子里白色小球的个数为1；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。24．（7分）（2021•白银）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：等级成绩xA50≤x＜60B60≤x＜70C70≤x＜80D80≤x＜90E90≤x≤100（1）本次调查一共随机抽取了200名学生的成绩，频数分布直方图中m＝16；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）所抽取学生成绩的中位数落在C等级；（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数．【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以A等级对应百分比可得m的值；（2）总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解即可；（4）总人数乘以样本中D、E等级人数和所占比例即可．【解答】解：（1）一共调查学生人数为40÷20%＝200，A等级人数m＝200×8%＝16，故答案为：200，16；（2）∵C等级人数为200×25%＝50，补全频数分布直方图如下：（3）由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在C等级，所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级；故答案为：C．（4）估计成绩优秀的学生有2000×＝940（人）．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（7分）（2021•白银）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．（1）小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车的速度为200m/min；（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车的速度为200m/min；（2）先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（3）把x＝35代入（2）的结论解答即可．【解答】解：（1）由题意得，小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车的速度为：（5000﹣3000）÷10＝200（m/min），故答案为：3000；200；（2）小刚从图书馆返回家的时间：5000÷200＝25（min），总时间：25+20＝45（min），设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为y＝kx+b，把（20，5000），（45，0）代入得：，解得,∴y＝﹣200x+9000（20≤x≤45）；（3）小刚出发35分钟时，即当x＝35时，y＝﹣200×35+9000＝2000．答：此时他离家2000m．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用该数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．26．（8分）（2021•白银）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出,∠OCA＝∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝,设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x＝1,即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB＝∠EOC,在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC＝2,即tan∠OCB＝2．【解答】（1）证明：∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∵∠DCB＝∠OAC,∴∠OCA＝∠DCB,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°,∴∠OCA+∠OCB＝90°,∴∠DCB+∠OCB＝90°,即∠OCD＝90°,∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵OE∥AC，∴＝,∵CD＝4，CE＝6，∴＝＝,设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,∵OC⊥DC,∴△OCD是直角三角形，在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2,∴(3x)2+42＝(5x)2,解得，x＝1,∴OC＝3x＝3,即⊙O的半径为3，∵BC∥OE,∴∠OCB＝∠EOC,在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2,∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．27．（8分）（2021•白银）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形；（2）根据矩形的性质得∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，利用SAS可得△DAB≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，由已知DE＝AF可得AH＝AF，即可得△AHF是等腰三角形；（3）延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得DE＝AH＝8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：△AHF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，∵BH＝AE，∴△DAB≌△ABH（SAS），∴AH＝DE，∵DE＝AF，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形；（3）解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC,AB＝AD,∴∠ABH＝∠BAD,∵BH＝AE,∴△DAE≌△ABH（SAS），∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，∵DE＝AF,∴AH＝AF，∴△AHF是等边三角形，∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，∴DE＝AH＝8．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28．（10分）（2021•白银）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）求出点D的坐标，可得结论．（3）①过点H作HM⊥EF于M,证明△EMH≌△FGB(AAS),推出MH＝GB,EM＝FG,由HM＝OG,可得OG＝GB＝OB＝2,由题意直线AB的解析式为y＝x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),根据MH＝BG,构建方程求解，可得结论．②因为△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7,所以要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，因为PC+PB≥BC,所以当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过A（0，﹣2），B（4，0）两点，∴,解得,∴y＝x2﹣x﹣2．（2）∵B(4,0),A(0,﹣2),∴OB＝4,OA＝2,∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO＝＝,即＝,∴GB＝1,∴OG＝OB﹣GB＝4﹣1＝3,当x＝3时，yD＝×9﹣×3﹣2＝﹣2,∴D(3,﹣2),即GD＝2,∴FD＝GD﹣GF＝2﹣＝,∴S△BDF＝•DF•BG＝××1＝．(3)①如图1中，过点H作HM⊥EF于M,∵四边形BEHF是矩形，∴EH∥BF,EH＝BF,∴∠HEF＝∠BFE,∵∠EMH＝∠FGB＝90°,∴△EMH≌△FGB(AAS),∴MH＝GB,EM＝FG,∵HM＝OG,∴OG＝GB＝OB＝2,∵A(0,﹣2),B(4,0),∴直线AB的解析式为y＝x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a,∴a＝2,∴E(2,4),F(2,﹣1),∴FG＝1,∵EM＝FG,∴4﹣yH＝1,∴yH＝1,∴H(0,3)．②如图2中，BH＝＝＝5,∵PH＝PC+2,∴△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7,要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，∵PC+PB≥BC,∴当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，∵BC＝＝＝4,∴△PHB的周长的最小值为4+7．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

立体几何1未命名考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．不确定2．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（

）A． B． C． D．二、多选题3．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（

）A．为的中点B．与所成的角为C．平面D．三棱锥与四棱锥的体积之比等于4．已知平行六面体的所有棱长都为1，顶点在底面上的射影为，若，则（

）A． B．与所成角为C．O是底面的中心 D．与平面所成角为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题5．如图，在长方体中，，则二面角的大小为______．四、解答题6．如图，在三棱锥中，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.7．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，（1）若为中点，证明：面（2）若点在面上投影在线段上，，证明：面.8．如图，已知平面．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的大小．9．如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E，F分别是棱PC和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明AF⊥平面PCD.第43页（共43页）参考答案：1．A【解析】【分析】根据题意可知平面，而，在线段上运动，则平面，从而得出点到直线的距离不变，求出的面积，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，得出点到平面的距离为，最后利用棱锥的体积公式求出三棱锥的体积.【详解】解：由题可知，正方体的棱长为1，则平面，又，在线段上运动，平面，点到直线的距离不变，由正方体的性质可知平面，则，而，，故的面积为，又由正方体可知，，，且，平面，则平面，设与交于点，则平面，点到平面的距离为，.故选：A.2．B【解析】设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，则，又平面，平面，∴平面，易知，故平面与平面是同一个平面，∴平面，此时，故选：B3．ACD【解析】【分析】在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，推导出，由四边形是正方形，从而，进而；在B中，由，得（或其补角）为与所成角，推导出，从而与所成角为；在C中，推导出，，由此能证明平面；在D中，设，则，．由此能求出三棱锥与四棱锥的体积之比等于．【详解】解：在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，∵平面，平面，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，故A正确；在B中，∵，∴（或其补角）为与所成角，∵平面，平面，∴，在中，，∴，∴与所成角为，故B