扬州市邗江区九年级上期末数学试卷有

扬州市邗江区九年级上期末数学试卷有答案扬州市邗江区九年级上期末数学试卷有答案PAGE29/29PAGE29扬州市邗江区九年级上期末数学试卷有答案2021学年江苏省扬州市邗江区九年级〔上〕期末数学试卷

一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分．在每题所给出的四个选项中，恰有一

项是切合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应地点上〕

1．〔3分〕以下事件属于随机事件的是〔〕

A．随意画一个三角形，其内角和为180°

B．太阳从东方升起

C．掷一次骰子，向上一面点数是7

D．经过有交通讯号灯的路口，碰到红灯

2．〔3分〕为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高〔单位：cm〕为16，9，

14，11，12，10，16，8，17，19，那么这组数据的中位数和极差分别是〔〕

A．13，11B．14，11C．12，11D．13，163．〔3分〕方程2x2﹣5x+3=0的根的状况是〔〕A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号4．〔3分〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为，那么⊙C与AB的地点关系是〔〕A．相切B．订交C．相离D．没法确立5．〔3分〕设A〔﹣2，y1〕，B〔1，y2〕，C〔2，y3〕是抛物线y=﹣〔x+1〕2+3上的三点，那么y1，y2，y3的大小关系为〔〕A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2

6．〔3分〕⊙O的半径为10，两平行弦AC，BD的长分别为12，16，那么两弦间的距离是〔〕A．2B．14C．6或8D．2或147．〔3分〕小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象〔如图〕中察看获得了下边五条信息：abc＞0

2a﹣3b=0

b2﹣4ac＞0

a+b+c＞0

4b＜c

那么此中结论正确的个数是〔〕

A．2个B．3个C．4个D．5个

8．〔3分〕如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的极点A、C的坐标分别〔8，

0〕、〔3，4〕，点D，E把线段OB三平分，延伸CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连结FG．那么

以下结论：

①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相像；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个

数是〔〕

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、填空题〔本大题共10小题，每题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接写

在答题纸相应地点上.〕

9．〔3分〕如图，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需增添一个条件，你增添的条件

是．〔只要写一个条件，不增添协助线和字母〕

10．〔3分〕占有关实验测定，当气温处于人体正常体温〔37℃〕的黄金比值时，人体感觉最舒适．这个气温约为℃〔精准到1℃〕．

11．〔3分〕假如一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为

12．〔3分〕一组数据﹣1，﹣2，x，1，2的均匀数为0，那么这组数据的方差为．

13．〔3分〕某种冰箱经两次降价后从原的每台2500元降为每台1600元，求均匀每次降价的百

分率为．

．14．〔3分〕⊙O半径为1，A、B在⊙O上，且AB=，那么AB所对的圆周角为

15．〔3分〕如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．假如△

15，那么△ACD的面积为．

o．

ABD的面积为

16．〔3分〕假定⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，那么等边△ABC的边长为．

17．〔3分〕在平面直角坐标系中，抛物线y=a〔x﹣2〕2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的局部沿x轴折叠到x轴上方，将这局部图象与原抛物线节余局部

的图象构成的新图象记为G，过点B〔0，1〕作直线l平行于x轴，当图象G在直线l上方的部

分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是．

18．〔3分〕如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，假如∠CAE=∠BAB′，那么CE的

长是．

三、解答题〔本大题共有10题，共96分．请在答题纸指定地区内作答，解题时写出必需的文字说明，推理步骤或演算步骤.〕

19．〔8分〕解方程：

1〕x2+2x=1；

2〕〔x﹣3〕2+2〔x﹣3〕=0．20．〔8分〕对于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

1〕假定该方程有两个不相等的实数根，务实数a的取值范围；

2〕当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

21．〔8分〕有四张规格、质地同样的卡片，它们反面完整同样，正面图案分别是A．菱形，B．平

行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片反面向上洗匀后

〔1〕随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是；

2〕随机抽取两张卡片〔不放回〕，求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．

22．〔8分〕某市发生地震后，某校学生会向全校1900名学生倡始了捐钱活动，为认识捐钱情

况，学生会随机检查了局部学生的捐钱金额，并用获得的数据绘制了统计图，如图①和②，请

依占有关信息，解答以下问题：

〔1〕本次接受随机抽样检查的学生人数为，图①中m的值是；

2〕求本次检查获得的样本数据的均匀数；

3〕依据样本数据，预计该校本次活动捐钱金额为10元的学生人数．

23．〔10分〕如图，在正方形网格图中成立向来角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在

网格中进行以下操作：

〔1〕请在图中确立该圆弧所在圆心D点的地点，D点坐标为；

2〕连结AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；

3〕假定扇形DAC是某一个圆锥的侧面睁开图，求该圆锥的底面半径．

24．〔10分〕如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延伸线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连结OD，AOD=∠APC．

1〕求证：AP是⊙O的切线；

2〕假定⊙O的半径是4，AP=4，求图中暗影局部的面积．

25．〔10分〕某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每日可卖出250件．市场检查

反应：假如调整价钱，一件商品每涨价1元，每日要少卖出10件．

1〕假定某天的销售收益为2000元，为最大限度让利于顾客，那么该商品销售价是多少？

2〕求销售单价为多少元时，该商品每日的销售收益最大，请说明原因．

26．〔10分〕如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．

1〕求证：四边形AECD为平行四边形；

2〕在CD边上取一点F，联络AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△

AEC∽△ADF；

〔3〕在〔2〕的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．

27．〔12分〕定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函

数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为有关函数．例

如：一次函数y=x﹣1，它们的有关函数为y=．

1〕点A〔﹣5，8〕在一次函数y=ax﹣3的有关函数的图象上，求a的值；

2〕二次函数y=﹣x2+4x﹣．

①当点B〔m，〕在这个函数的有关函数的图象上时，求m的值；

②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的有关函数的最大值和最小值．

28．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A〔﹣1，0〕和点B，与y轴订交于点C〔0，3〕，抛物线的对称轴为直线l．

〔1〕求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和极点M的坐标；

2〕假如直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C对于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；

3〕点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，而且与直线CD相切，求点P的坐标．

2021-2021学年江苏省扬州市邗江区九年级〔上〕期末数学试卷

参照答案与试题分析

一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分．在每题所给出的四个选项中，恰有一

项是切合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应地点上〕

1．〔3分〕以下事件属于随机事件的是〔〕

A．随意画一个三角形，其内角和为180°

B．太阳从东方升起

C．掷一次骰子，向上一面点数是7

D．经过有交通讯号灯的路口，碰到红灯

【解答】解：A、是必定事件，故A不切合题意；

B、是必定事件，故B不切合题意；

C、是不行能事件，故C不切合题意；

D、是随机事件，故D切合题意；

应选：D．

2．〔3分〕为了考察某种小麦的长势，从中抽取了

10株麦苗，测得苗高〔单位：

cm〕为

16，9，

14，11，12，10，

16，8，17，19，那么这组数据的中位数和极差分别是〔

〕

A．13，11B．14，11C．12，11D．13，16【解答】解：将数据从小到大摆列为：8，9，10，11，12，14，16，16，17，19，

中位数为：13；

极差=19﹣8=11．

应选：A．

3．〔3分〕方程2x2﹣5x+3=0的根的状况是〔〕

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．无实数根D．两根异号

【解答】解：∵△=〔﹣5〕2﹣4×2×3=1＞0，

∴方程2x2﹣5x+3=0有两个不相等的实数根．应选：B．

4．〔3

分〕在

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为

，那么⊙C与

AB的地点关

系是〔

〕

A．相切B．订交C．相离D．没法确立

【解答】解：

过O作OD⊥AB于D，

由勾股定理得：AB==13，由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，

∴5×12=13×CD，

∴CD=＞，

∴⊙O与AB的地点关系是相离，

应选：C．

5．〔3分〕设A〔﹣2，y1〕，B〔1，y2〕，C〔2，y3〕是抛物线y=﹣〔x+1〕2+3上的三点，那么y1，y2，y3的大小关系为〔〕

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2

【解答】解：∵函数的分析式是

C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2

2y=﹣〔x+1〕+3，如右图，

∴对称轴是

x=﹣1，

∴点

A对于对称轴的点

A′是〔0，y1〕，

那么点

A′、B、C都在对称轴的右侧，而对称轴右侧

y随

x的增大而减小，

于是

y1＞y2＞y3．

应选：A．

6．〔3分〕⊙O的半径为

10，两平行弦

AC，BD的长分别为

12，16，那么两弦间的距离是〔

〕

A．2

B．14

C．6或

8

D．2

或14

【解答】解：如图①，当弦

AC，BD在⊙O的圆心同侧时，

作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F，

∵OE⊥ACAC∥BD，∴OF⊥BD，

∴AE=AC=6，BF=BD=8，

在Rt△AOE中

OE===8

同理可得：

OF=6

EF=OE﹣OF=8﹣6=2；

如图②，当弦AC，BD在⊙O的圆心双侧时，

同理可得：EF=OE+OF=8+6=14

综上所述两弦之间的距离为2或14．

应选：D．

7．〔3分〕小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象〔如图〕中察看获得了下边五条信息：

abc＞0

2a﹣3b=0

b2﹣4ac＞0

a+b+c＞0

4b＜c

那么此中结论正确的个数是〔〕

A．2个B．3个C．4个

D．5个

【解答】解：①由于函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，c＜0，

由函数图象张口向上可知，a＞0，由①知，c＜0，

由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=﹣＞0，故b＜0，故abc＞0；故此选项正确；

②由于函数的对称轴为x=﹣=，故2a=﹣3b，即2a+3b=0；故此选项错误；

③由于图象和x轴有两个交点，因此b2﹣4ac＞0，故此选项正确；

2④把x=1代入y=ax+bx+c得：a+b+c＜0，故此选项错误；

而点〔2，c﹣4b〕在第一象限，

∴⑤c﹣4b＞0，故此选项正确；

此中正确信息的有①③⑤，

应选：B．

8．〔3分〕如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的极点A、C的坐标分别〔8，

0〕、〔3，4〕，点D，E把线段OB三平分，延伸CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连结FG．那么下

列结论：

①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相像；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个

数是〔〕

A．4个B．3个C．2个D．1个

【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，

BC∥OA，BC=OA，∴△CDB∽△FDO，

=，

D、E为OB的三平分点，∴==2，

=2，

BC=2OF，

OA=2OF，

F是OA的中点；因此①结论正确；

②如图2，延伸BC交y轴于H，

由C〔3，4〕知：OH=4，CH=3，

OC=5，

AB=OC=5，

∵A〔8，0〕，

OA=8，

OA≠AB，

∴∠AOB≠∠EBG，

∴△OFD∽△BEG不行立，

因此②结论不正确；③由①知：F为OA的中点，

同理得；G是AB的中点，

FG是△OAB的中位线，

FG=OB，FG∥OB，∵OB=3DE，

FG=DE，

=，

过C作CQ⊥AB于Q，如图3．

S?OABC=OA?OH=AB?CQ，

4×8=5CQ，

CQ=，

S△OCF=OF?OH=×4×4=8，

S△CGB=BG?CQ=××=8，

S△AFG=×4×2=4，

S△CFG=S?OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，

DE∥FG，

∴△CDE∽△CFG，

=〔〕2=，

∴=，

∴S四边形DEGF=S△CFG=；

因此③结论正确；

222④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB=BH+OH，

∴OB==，

∴OD=，

因此④结论不正确；本题结论正确的有：①③．

应选：C．

二、填空题〔本大题共10小题，每题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应地点上.〕

9．〔3分〕如图，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需增添一个条件，你增添的条件是AB∥DE．〔只要写一个条件，不增添协助线和字母〕

【解答】解：∵∠A=∠D，

∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，

AB∥DE时，∠B=∠DEF，

∴增添AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．

故答案为AB∥DE．

10．〔3分〕占有关实验测定，当气温处于人体正常体温〔37℃〕的黄金比值时，人体感觉最舒适．这个气温约为23℃〔精准到1℃〕．

【解答】解：依据黄金比的值得：37×≈23℃．

故答案为23．

11．〔3分〕假如一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为6．

【解答】解：设这个多边形的边数为n，

n边形的内角和为〔n﹣2〕?180°，多边形的外角和为360°，∴〔n﹣2〕?180°=360°×2，

解得n=6．∴此多边形的边数为6．故答案为：6．

12．〔3分〕一组数据﹣1，﹣2，x，1，2的均匀数为0，那么这组数据的方差为2．

【解答】解：由均匀数的公式得：〔﹣1﹣2+1+2+x〕÷5=0，解得x=0；

∴方差=[〔﹣1﹣0〕2+〔﹣2﹣0〕2+〔0﹣0〕2+〔1﹣0〕2+〔2﹣0〕2]÷5=2．

13．〔3分〕某种冰箱经两次降价后从原的每台2500元降为每台1600元，求均匀每次降价的百

分率为20%．

【解答】解：设降价的百分率为x，由题意得2500〔1﹣x〕2=1600，

解得x1，x2=﹣〔舍〕．

因此均匀每次降价的百分率为20%．

故答案为20%．

14．〔3分〕⊙O半径为1，A、B在⊙O上，且AB=，那么AB所对的圆周角为45或135o．

【解答】解：以下列图，OC⊥AB，

C为AB的中点，即AC=BC=AB=，

在Rt△AOC中，OA=1，AC=，依据勾股定理得：OC==，即OC=AC，

∴△AOC为等腰直角三角形，

∴∠AOC=45°，

同理∠BOC=45°，

∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，

∵∠AOB与∠ADB都对，

∴∠ADB=∠AOB=45°，

∵大角∠AOB=270°，

∴∠AEB=135°，

∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．

故答案为：45或135．

15．〔3分〕如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．假如△ABD的面积为

15，那么△ACD的面积为5．

【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCA，

AB=4，AD=2，

∴===〔〕2=，

∴△ACD的面积=5，

故答案是：5．

16．〔3分〕假定⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，那么等边△ABC的边长为．

【解答】解：连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，

BC=2BD，

∵⊙O是等边△ABC的外接圆，

∴∠BOC=×360°=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB===30°，

∵⊙O的半径为2，

∴OB=2，

∴BD=OB?cos∠OBD=2×cos30°=2×=，

∴BC=2BD=2．

∴等边△ABC的边长为2．

故答案为：2．

17．〔3分〕在平面直角坐标系中，抛物线y=a〔x﹣2〕2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点

为A．将抛物线在x轴下方的局部沿x轴折叠到x轴上方，将这局部图象与原抛物线节余局部的图象构成的新图象记为G，过点B〔0，1〕作直线l平行于x轴，当图象G在直线l上方的部

分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是1＜x＜2或x＞2+．

【解答】解：由题意抛物线：y=〔x﹣2〕2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A〔4，0〕，

沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣〔x﹣2〕2+；

如图③，由题意得：

当y=1时，〔x﹣2〕2﹣=1，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴C〔2﹣，1〕，F〔2+，1〕，

当y=1时，﹣〔x﹣2〕2+=1，

解得：x1=3，x2=1，

∴D〔1，1〕，E〔3，1〕，

由图象得：图象G在直线l

故答案为1＜x＜2或x＞2+

上方的局部，当

．

1＜x＜2或

x＞2+

时，函数

y随

x增大而增大；

18．〔3分〕如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，假如∠CAE=∠BAB′，那么CE的

长是．

【解答】解：如图，∵△CDB′是由□CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CDB′，AD=DB=DB′，∴∠DBB′=∠DB′B，

2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，

∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，

∴∠ABB′=∠ACE，∵AD=DB=DB′=3，

∴∠AB′B=90°，

∵∠ACE=∠ABB′，∠CAE=∠BAB′，

∴△ACE∽△ABB′，

∴∠AEC=∠AB′B=90°，

在RT△AEC中，∵AC=4，AD=3，

∴CD==5，

AC?AD=?CD?AE，

∴AE==，

在RT△ACE中，CE===．

故答案为．

三、解答题〔本大题共有10题，共96分．请在答题纸指定地区内作答，解题时写出必需的文字说明，推理步骤或演算步骤.〕

19．〔8分〕解方程：

1〕x2+2x=1；

2〕〔x﹣3〕2+2〔x﹣3〕=0．

【解答】解：〔1〕方程配方得：x2+2x+1=2，即〔x+1〕2=2，

开方得：x+1=±，

解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；

2〕分解因式得：〔x﹣3〕〔x﹣3+2〕=0，

解得：x1=3，x2=1．

20．〔8分〕对于x的方程x2+2x+a﹣2=0．1〕假定该方程有两个不相等的实数根，务实数a的取值范围；

2〕当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

【解答】解：〔1〕∵b2﹣4ac=〔2〕2﹣4×1×〔a﹣2〕=12﹣4a＞0，解得：a＜3．

∴a的取值范围是a＜3；

2〕设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：

，

解得：，

那么a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．

21．〔8分〕有四张规格、质地同样的卡片，它们反面完整同样，正面图案分别是A．菱形，B．平行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片反面向上洗匀后

〔1〕随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是；

2〕随机抽取两张卡片〔不放回〕，求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．

【解答】解：〔1〕菱形，轴对称图形；平行四边形，不是轴对称图形；线段，轴对称图形；角，轴对称图形，

那么随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是；

故答案为：；〔2〕列表以下：此中A，B，C为中心对称图形，D不为中心对称图形，ABCDA﹣﹣﹣〔B，A〕〔C，A〕〔D，A〕B〔A，B〕﹣﹣﹣〔C，B〕〔D，B〕C〔A，C〕〔B，C〕﹣﹣﹣〔D，C〕D〔A，D〕〔B，D〕〔C，D〕﹣﹣﹣全部等可能的状况有12种，此中都为中心对称图形的有6种，

那么P==．

22．〔8分〕某市发生地震后，某校学生会向全校1900名学生倡始了捐钱活动，为认识捐钱情

况，学生会随机检查了局部学生的捐钱金额，并用获得的数据绘制了统计图，如图①和②，请依占有关信息，解答以下问题：

〔1〕本次接受随机抽样检查的学生人数为50，图①中m的值是32；

2〕求本次检查获得的样本数据的均匀数；

3〕依据样本数据，预计该校本次活动捐钱金额为10元的学生人数．

【解答】解：〔1〕依据条形图4+16+12+10+8=50〔人〕，m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32，故答案为：50、32；

2〕∵=〔5×4+10×16+15×12+20×10+30×8〕=16，

∴这组数据的均匀数为16；

3〕∵在50名学生中，捐钱金额为10元的学生人数比率为32%，

∴由样本数据，预计该校1900名学生中捐钱金额为10元的学生人数比率为32%，有1900×32%=608，

∴该校本次活动捐钱金额为10元的学生约有608名．

23．〔10分〕如图，在正方形网格图中成立向来角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在

网格中进行以下操作：

〔1〕请在图中确立该圆弧所在圆心D点的地点，D点坐标为〔2，0〕；

〔2〕连结AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；〔3〕假定扇形DAC是某一个圆锥的侧面睁开图，求该圆锥的底面半径．

【解答】解：〔1〕如图；D〔2，0〕〔4分〕

〔2〕如图；；

作CE⊥x轴，垂足为E．

∵△AOD≌△DEC，∴∠OAD=∠CDE，

又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴扇形DAC的圆心角为90度；

〔3〕∵弧

AC的长度即为圆锥底面圆的周长．

l弧=

，

设圆锥底面圆半径为

r，那么

，

∴．

24．〔10分〕如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延伸线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连结OD，

AOD=∠APC．

1〕求证：AP是⊙O的切线；

2〕假定⊙O的半径是4，AP=4，求图中暗影局部的面积．

【解答】〔1〕证明：连结OP，如图

OD=OP

∴∠OPD=∠ODP

∵∠APC=∠AOD

∴∠APC+∠OPD=∠ODP+∠AOD，

又∵PD⊥BE

∴∠ODP+∠AOD=90°

∴∠APC+∠OPD=90°

即∠APO=90°

PO⊥AP

AP是⊙O的切线

2〕解：在Rt△APO中，∵AP=，PO=4，

∴AO=，即

∴∠A=30°，

∴∠POA=60°，

∴∠OPC=30°

，

在Rt△OPC中，∵OC=2，OP=4，

PC=

∴

又∵PD⊥BE

PC=CD

∴∠POD=120°，，

∴S暗影=S﹣S=．扇形OPBD△OPD

25．〔10分〕某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每日可卖出250件．市场检查

反应：假如调整价钱，一件商品每涨价1元，每日要少卖出10件．

1〕假定某天的销售收益为2000元，为最大限度让利于顾客，那么该商品销售价是多少？

2〕求销售单价为多少元时，该商品每日的销售收益最大，请说明原因．【解答】解：〔1〕设销售价钱为x元时，当日销售收益为2000元，

那么〔x﹣20〕?[250﹣10〔x﹣25〕]=2000，

整理，得：x2﹣70x+1200=0，

解得：x1=30，x2=40〔舍去〕，

答：该商品销售价是30元/件；

2〕设该商品每日的销售收益为y，

那么y=〔x﹣20〕?[250﹣10〔x﹣25〕]=﹣10x2﹣700x+10000

=﹣10〔x﹣35〕2+2250，

答：当销售单价为35元/件时，销售收益最大．

26．〔10分〕如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．

1〕求证：四边形AECD为平行四边形；

2〕在CD边上取一点F，联络AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△

AEC∽△ADF；

〔3〕在〔2〕的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．

【解答】解：〔1〕∵BC=2AD，点E为BC中点，

BC=2CE，

AD=CE，

AD∥CE，

∴四边形AECD为平行四边形；

2〕∵四边形AECD为平行四边形，∴∠D=∠AEC，

∵∠EAF=∠CAD，∴∠EAC=∠DAF，∴△AEC∽△ADF，

3〕设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，获得△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，

∴在Rt△ABE中，依据勾股定理得：AE==a，

∵△AEC∽△ADF，

∴=，即=，

∴DF=a，

∴