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灵运反法反证法是属于“间接证明法”一类从反面的角度思考问题的证明方法是否定命题的结论入手并把对命题结的否定作为推理的已知条件行正确的逻辑推理使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,其原因是假设不成立所肯定了命题的结从而使命题获得了证明适合用反证法证明的命题：①否定性命题；②惟一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立的命题；⑤直接证明有困难的命题．反证法应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何等方面都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍．一证几量间关例1已：四边形中EF分别ADBC的中，
12
ABCD)
．求证：AB//．证明：假设AB不平于CD。如，连结AC取AC的点，连结EG、．∵E，F，分别AD、BC、AC的中，∴
GE//CD
，
11CD；GF//，GF2
．∵AB不平于CD，
D
C∴GE和GF不共，GE、GF、EF组成个三角形．∴GEEF，①
E
G
F但
GEGF
12
(CD)
．②
A
B①与②矛盾．∴
AB//
．例2直
与面交于
，过点
在平面引线
、
、
，
．求证：．证明：假设PO不垂平面．作
PH
并与平面
相交于H此HO不合，
连结OH．由P作PEOA于E，PF于F，
1OaC
F
H
根据三垂线定理可知，
HE
，
HFOB
．∵
，是公边，∴
POEPOF
，∴OF．又
OH
，∴
OFHRt
，∴
．因此，是AOB的分线．同理可证，OH是的平分线．但是OB和OC是两条不重合的线OH不可同时是
和
的平分线产生矛盾．∴．上面所举的例子用直接证法证都比较困难其是证两条直线是异面直线常采用反证法．二证“一”题在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题．例3过面的A的线a，证：是一的．证明：假设
不是唯一的，则过A至还有一直线
b
，
b
．∵∴
，，
b
是相交直线，可以确定一个平面设交过点A的线c．∵
a
，
b
，∴
a
，
bc
．这样在平面，点A就两直线垂直于，这与理产生矛盾．所以，a是唯一的．关于唯一性的问题在何中有在代数、三角等学科中也有．这类题目用直接证法证明相当困难因此一般情况下都用间接证法用反证法或同一法证明用反证法证明有时比同一法更方便．三证不能题2
几何中有一类问题明个形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在它的结论命题都是以否定形式出现的用直接证法证明有一定的困难而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在此类问题非常适宜用反证法．例4求证：抛物线没有渐近线．证明：设抛物线的方程是
y
2
px(0)假设抛物有渐近线，渐近线的方程是抛物线相切于无穷远点，于是方程组
yax，知a，都不为0．因为渐近线与2pxax的两组解的倒数都是0．将（2）代入（）得
(2)
2
x
2
)x
2
．（）设
，
是（3）的两个根，由韦达定理，可知x12
2(pa
，
x12
22
．则
11)1xxb
，（）110xxxb2
，（）由（4）、（）可推得，这于假设
矛盾．所
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