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文档简介
不式a2ab
的种式应不等式a
2
2
是重要的基本不等式之一于及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的八种变式及应用变1
ab
2
（且当
ab
时等成）例1、若,c
，且
a2
，求证：
a33证明：由
13
1aa得32
同理：
b
3bc，3c2因此
3b
3b3c6222由于三个不等式中的等号不能同时成立，故
33c变2
(
a2
)
（且当ab，等号立例2、若常数0，于任意非负实数b都有a
2
2
kab(a)
2
恒成立，求最大的常数；解：（）k2时，22ab(a)0（ii）当时，
2
当且仅当
ab
时等号成立。
2
2
kaba)
2
(2)a
a)2()24
当且仅当b时号成立由（i）（ii）知：(02)4变3
a
a22)
（且当ab时，号立例3、设
32
，求证：
2xx15x证明：由变式3得
2x15
x2x24xx)214x2上述第一个不等式中等号成立的条件为：
2x
18[52
故原不等式成立。变4若b，
ab
2
（且当b时等成）
a1abb（且当时，号立例4、设,c
，求证：
c
c
b证明：由变式4得
，
c
2b
c
，
c
c三式相加即得：
c
ca
可变5若
R
则
14aa
（且当
时等成）例5、设,
为非负实数，且
3
，求证：
111a12证明：由于
1411))(1)故
3841131a12变6若ab，
111)a2ab
（且当时，号立例6、当
0a
时，不等式
2(a)2
恒成立，求最大值解：由
1414()x()22x(x)2x()上述三个不等式中等号均在同一时刻
x
时成立由
8a2
2变7若
mnR,bR
，
b2(m
2
（且当
an
时号立例7、实数b满
((2，的大值与最小值3
bb4bb4解：由变式7得
(4)2(2(a7)4
2因此
14即14当且仅当3(ab别获得最小值与最大值；
14314再合条件得及1414
时分变8)2a22
，(a)22)
，…，般
(12
)n
2
(21
22
nn
)例8、已知a,b,d,e
是满足
a
且
2
2
2
2
2
的实数，试求e的大值解：由
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