考研数学真题fenxww

入学统一考数学试题答案和评分参考数学（一1～8432分 极限lim x(xa)(xb)

(B)zz(xy)

y

(C)ea (D)ebz0F为可微函数，且F0z xxyy

xx

mln2(1n(A) (B)mln2(1n1 dx的收敛 1仅与m的取值有 (B)仅与n的取值有(C)与m,n的取值都有 (D)与m,n的取值都无lim

1dxx

1dxx 0(1x)(1y2 0(1x)(1

1dx

1dx 0(1x)(1 0(1x)(1y2设A为mn矩阵，B为nm矩阵，E为m阶单位矩阵.若ABE， 秩r(A)m，秩r(B)(C)秩r(A)n，秩r(B)

秩r(A)m，秩r(B)(D)秩r(A)n，秩r(B)设A为4阶实对称矩阵，且A2AO.若A的秩为3，则A相似

(B) 0

0

(C) (D) 0 0

0 0 x

0x2

则P{X1} (B)2

x12

1设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[1,3]f(x)2bf2

xx

(a0,b0)为概率密度则a,b应满 (A)2a3b (B)3a2b (C)ab (D)ab

d2设ytln(1u2)du,则

t x xdx4已知曲线L的方程为y1|x|(x[1,1])，起点是(1,0)，终点为(1,0)，则曲线积分xydxx2dy L设{(x,yz|x2y2z1，则的形心的竖坐标z23 间的维数为2，则 设 量X的概率分布为P{Xk}C,k0,1,2,，则EX2 k15～2394分y3y2y2xex的通解解：y3y2y0的两个特征根为r11,r22YC1exC2e2x ……4y*x(axb)exy*ax22ab)xb)exy*(ax2(4ab)x2a2b)ex，代入原方程解得a1,b2 ……8

……10xf(x)

(x2t)et2dt的单调区间与极值12

t解f(x)的定义域为(f(x)xt

dt1 dtx2xf(x)2x

dt

2x

dt f(xx0,

……3x(,01f000f↘↗↘↗……6分因此，f(x)的单调增加区间为(1,0)及(1,)，单调减少区间为(,1)及(0,1)；极小值为f(1)0，极大值为f(0)1tet2dt1(1 ……10 比较1|lnt|[ln(1t)]ndt与1tn|lnt| 0记un

1|lnt|[ln(1t)]n0

(n12,)，求极限limun解：（I）当0t1时，因为ln(1tt，所以|lnt|[ln(1t)]ntn|lnt|1|lnt|[ln(1t)]ndt1tn|lnt|

……4 (I)0

1|lnt|[ln(1t)]ndt

1tn|lnt|dt 1

因 tn|lnt|dt 1

tnlntdt

1tndt n1 (n所以

|lnt|dt ……8从而limun

……10求幂级数2n1 (1)n1解：记u(x) ，由于

2n lim x 2n

un

n2nx21，即|x|1u(x绝对收敛，当|x|1u(x

……3x1时，原级数为1， ……5S(x)

(1)n1x2n

1

1S(0)0S(x)01t

dtarctanx ……8(1)n1于是2n1 xS(x)xarctan x ……10(x(x 3)|y2z4y2z24

曲线C上方的部分解：椭球面S上点P(x,y,z)处的法向量是n{2x,2yz,2zy} 分点P处的切平面与xOy面垂直的充要条件是nk0 (k{0,0,1})，即2zy0 3所以点P的轨迹C的方程为2zy 3xyzyz x y D{(xy|x23y21}，记zz(xyxyD11xyzz2 4y2z241y2zy2z2yz 由

……5 |y2z (x(x 3)|y2z 1z z4y2z24x y ID

dxdy

(x

……8D 3dxdyD 1

设A 0，b

1 Axb21 求a（II）Axb的通解故|A|1)2(10，于是1或当1时，因为r(Ar(AbAxb无解，舍去.当1时，对Axb的增广矩阵施以初等行变换，有 a 3/2 (Ab) 1 1/2

……4 Axb有解，所以a

1

a2

……8 3/2当1，a2时，B 1/2 13 1

Axbx

1k0，其中k为任意常数 ……112

f(xxxxTAxxQyy2y2，且Q 3列为(2, 2)T ……3 正交，所以(xxx)

0xx0.取

2,0,

2(0,1,0)T为A 31

2 令Q

2 2

22，则

QTAQ

2 2 A

Q

……92 1 又AE为实对称矩阵故AE为正定矩阵 设二维随量(X,Y)的概率密度f(xyAe2x22xyy2xy，求常数A及条件概率密度fY|X(y|x). 解：因f(x) f(x,y)dy e2x22xyy2dy

e(yx)2x2

Aex2e(yx)2dy

ex2x ……4 ex2dxA

A所以1

X(x)dx

1e2x22xy

……7x(fY|Xy|x

f(x,y) 1ex22xyfX 1e1e(xy)2y Xp112Xp11233个数（i1,2,3）.试求常数a1,a2,a3，使TaiNi为的无偏估计量，并求T的方差.解:记p1，p2，p2.由于N B(n,p),i1, ENi ……4于是ETaENaENaENn[a(1)a(2)a2 为使T是n[a(1a(2a2 a1因此aa

1 ……8 a3a21由此得a10,a2a3 ……9NNNn，故T1(NN1(nN1N1 注意到N~B(n,1)，故DT1DNn(1)(1 数学（二x2x21x2x21函数f(x) (A) (B) (C) (D)y1y2是一阶线性非齐次微分方程yp(xyq(x)的两个特解，若常数y1y2是该方程的解，y1y2是该方程对应的齐次方程的解，

1, 2,

1, 2, 曲线yx2与曲线yaln (a0)相切则a (A) (B) (C) (D)（3）（2）（4）I线性无关，则r(C)II线性无关，则r（6）

I线性相关，则r(D)II线性相关，则r3y2yy2y0yCe2xCcosxCsinx y

x2

y2xyln(12xx0处的ny(n02n(n当0时，对数螺线re的弧长为2(e1已知一个长方形的长l2cmsw3cms的速率增加.l12cmw5cm时，它的对角线增加的速率为3cms设A，B为3阶矩阵，且|A|3，|B|2，|A1B|2，则|AB1 15～2394分(15)（10分）（16）(16)（10分）（17）

x2ttf(x由参数方程y

(1)5，(1)6，已知d2y 4(1t)，求函数(t(22t)(t)2 d2 (2 (1t)(t)解：因为dx22t，dx2 2 由题设d2y

(1t)(t)

4(1 4(1(1t)(t(t3(1t)2 ……3即(t) (1

(t3(1t ……5设u(t，则有u1

1dt 1 ue 1tdtC1(1t)3(1t)(1t)1dtC(1t)(3tC

1 ……8u|t1(1)6，知C101是(t33t(1t(t)3(tt2)dt t2 t3C t2t3C (15，知C0，于是(t)

3t2 (t1) ……11 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为3 b时（如图2数kg/m3）解:x2y

图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形.SS1ab；……2 11y 记2xS22

dy ……4 ybsint，则dybcos S2ab61sint000 3ab6(1cos2t)dtab 4 于是油的质量为(S1S2l

ab

ab ab)l )abl 2

ab的值，使等式在变换xay，xby

x212xy5y20..2u.解：x，x2222 ……2uaub 22u2ab 2 ，y2a b2 xya2(a+b)b2. ……7分(5a212a

[10ab12(a+b)

(5b212b

2

5a212a45b212b4 ……9a 解得 ，

b 2/ b b2/a a2/由10ab12(a+b)80，舍 b b2/故a2,b5

或a2,b2

(20)（本题满分10分）

1

cos2drdD{(r,|0rsec0

DIr2D

1r2cos2r2sin2DD

1x2y2 ……211dxx1x2y2d(1x2y2x2 x1

3 (1x2y23

dx303

1[11x22]dx ……601 113 设xsint，则I 3

0

103342 3,3存在(01),(1,1，使得f(f()22

F(xf(xx3F(0)0,F(1)3

……3在[0,]和[,1]上分别应用日中值定理， F(1)F(0)F()(10)1(f() (0,1) F(1F(1F()(111f(2),1,1 ……7 二式相加，得F(1)F(0)1f(21f(2)0 即f()f()2 ……10(22)（11分）（20）A

0 1 4 ，正交矩阵 QTA ，正交矩阵 QTA 0 1612,1T，求aQ16(1,

为AA2

2 2 11 01 1 解得a1,12 ……3由于A的特征多项式|EA|2)(5)(4)1所以A的特征值为2,5,41T

……5312 312

1,0,1T ……963 2 63 2 63令Q26366

432 32故Q为所求矩阵 数学（

x0 (A) (B) (C) (D)（2）f(xg(x)g(x0.g(x0ag(xf(g(x))在x0取极大值的一个充分条件 f(a) (B)f(a)x

f(a) (D)f(a)设f(x)ln10x，g(x)x，h(x)e10，则当x充分大时 g(x)h(x)f (B)h(x)g(x)f(C)f(x)g(x) (D)g(x)f(x)】】】】设可导函数yy(x)由方程xyet2dtxxsint2dt确定，则 ＝1x(1ln21x(1ln2设位于曲线y 区域为G则G绕轴旋转一周所得空间区域的体积为21(p3R(p) 若曲线yx3ax2bx1有拐点(1,0)，则b （14）XX,XN(,20)1n nT n

，则ET15～2394分 求极限limxx1)lnx 解：因为lim

……2x

ln lnex

……5ln ln ln而当x时， 0，ex

xln lnlimln(ex1)lime

1ln

1lnx ……9 ln xln x

ln 所以lim(xx1)lnxe1 ……1011DD

2y0x 2y0围成D如图所示D原式(x33x2y3xy2y3DD(x33xy2D

……21120dy (x3xy ……511(12y23y4dy31y2y4 ……82 14 ……10求函数uxy2yz在约束条件x2y2z210下的最大值和最小值解：设F(x,y,z,)xy2yz(x2y2z210) ……2Fy2x令

x2z2y2y2z

……6Fx2y2z210 B(1,5, C(1,5, E(2202)F(220, ……85因为在A,D两点处u55；在B,C两点处u ；在E,F两点处u055所以umax55