【精品】小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1．三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是___m-2____和___m+2___。2．有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是____966___，最小的一个是____126____。解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、……9663．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____9____岁和____16____岁。解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=14．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是____1210___。5．2310的所有约数的和是__6912____。解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有____11____个。解题过程：2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个）其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个）7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__1000__。解题过程：1，5，9，13，……1997（500个）隔1个取1个，共取250个2，6，10，14，……1998（500个）隔1个取1个，共取250个3，7，11，15，……1999（500个）隔1个取1个，共取250个4，8，12，16，……1996（499个）隔1个取1个，共取250个8．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13…擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是____27____。解题过程：1+3+5+……+（2n-1）=n2；45×45=2025；2025-1998=279．一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。它除以13，商的第200位（从左往右数）数字是_____5____，商的个位数字是_____6____，余数是____5_____。解题过程：……3÷13=256410256410……10．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有____18____个。解题过程：能被11整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为11的倍数；1位数不满足条件；2位数也不满足条件（各位数字应相等，数字和不等于13）；应为3或4位数；13=12+1；偶数位数字和=1，奇数位数字和=12时，共有14个；偶数位数字和=12，奇数位数字和=1时，共有4个；14+4=18（个）11．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n＝___1089___。解题过程：千位只能是1；个位只能是9；百位只能是0或1；如百位是1，则十位必须为0，但所得数1109不满足题意；如百位是0，则十位必须为8，得数1089满足题意12．555555的约数中，最大的三位数是___555____。解题过程：555555=3×5×11×37×91；3×5×37=55513．设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有____17____种不同的值。解题过程：72=2×2×2×3×3；a=72，b=（1+3）×（1+2）-1=12-1=11；a=36，b=8或24；a=24，b=9或18；a=18，b=8；a=9，b=8；11+6=1714．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有____21____个。解题过程：6×1，2，3，……13共13个；12×7，8，9，……13=6×14，16，18，……26共7个；9×10=6×15共1个；13+7+1=21（个）15．一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推。那么这列数左起第1992个数除以5的余数是____2_____。nn-1=n-1；解题过程：a2-a1=1；a3-a2=2；……an-1-an-2=n-2；a-aan-a1=1+2+3+……+n-1=n（n-1）/2；an=n（n-1）/2+1；a1992=1992×（1992-1）/2+1=996×1991+1=（995+1）×（1990+1）+116．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是_20或40_。解题过程：（a、b）=5；5|a，5|b；a=5，b=45或a=15，b=3517．将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是____121___。解题过程：和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是11的倍数，即11的平方。18．100以内所有被5除余1的自然数的和是____970___。解题过程：1+6+11+16+……91+96=（1+96）×20÷2=97019．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多_____4____个。解题过程：9个连续的自然数，末尾可能是0-9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5的一定被5整除，每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数，只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数．于是质数只可能在这5个连续的奇数中，所以质数个数不能超过420．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是___961____。解题过程：自然数的因数都是成对出现的，比如1和本身是一对，出现奇数个因数的时候是因为其中有一对因数是相等的，即这个自然数是完全平方数。1000以内最大的完全平方数是312=961，所以这个希望数是96121．两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126。这两个数的和是__105或147__。解题过程：126=21×2×3；这两个数是42和63，或21和12622．甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是____32____。解题过程：4|364×8=3236÷4=9288÷4÷9=823．一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是___560____。解题过程：2×5×7=70；70×2，3，4，……13，14=140，210，280，……910，98024．有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是____30____。解题过程：最小数、最大数均为奇数，中间有一个偶数，4个数和为11，分别为1、2、3、525．两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是____30____。解题过程：设除数是X，则12X+26+X+12+26=454；X=3026．在1×2×3×…×100的积的尾部有____21___个连续的零。解题过程：尾数为5的共10个，尾数1个0的9个，2个0的1个，共21个027．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第5个数的末位数字是____9_____。解题过程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170……1479、1497、1749、1794……28．一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2整除又能被3整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是____18____。解题过程：求?36?中能被3整除的偶数；甲为9366，乙为1362；9+6+1+2=1829．把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、3、…、9、10、11、12、…，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1、2、…、9、1、0、1、1、1、2、1、3、…。则第一串数中100的个位数字0在第二串数中是第____192___个数。解题过程：1-9（共9个），10-99（共180个），100（共3个）30．某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数，一共有_____1____个满足上述条件的质数。解题过程：除2和5以外，其它质数的个位都是1，3，7，9；6，8，12，14都是偶数，加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数，所以不是2；14加上任何尾数是1的质数，最后的尾数都是5，一定能被5整除；12加上任何尾数是3的质数，尾数也是5；8加上任何尾数是7的质数，尾数也是5；6加上任何尾数是9的质数，尾数也是5；所以，这个质数的末位一定不是1，3，7，9；只有5符合31．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300。那么满足上述条件的自然数a、b、c共有____30____组。（例如a＝12，b＝300，c＝300，与a＝300，b＝12，c＝300是不同的两个自然数组）解题过程：∵（a，b）=12，∴a=12m，b=12n（m，n=1或5或25，且（m，n）=1）；∵[a，c]=300，[b，c]=300，∴c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；当m=1，n=1时，a=12，b=12，c=25k当m=1，n=5时，a=12，b=60，c=25k当m=1，n=25时，a=12，b=300，c=25k当m=5，n=1时，a=60，b=12，c=25k当m=25，n=1时，a=300，b=12，c=25k故有30组32．从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行。从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是___1331___。解题过程：11×11×11=133133．在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8＋9＝17，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9＋7＝16；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7＋6＝13，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3。继续这样求和，这样填写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字的和是___1990___。解题过程：1，9，|8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8，9，7，6，3，……398-2=396；396÷12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；60×33+10=1990二、判断题1．两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。（√）2．偶数的个位一定是0、2、4、6或8。（√）3．奇数的个位一定是1、3、5、7或9。（√）4．所有的正偶数均为合数。（×）5．奇数与奇数的和或差是偶数。（√）6．偶数与奇数的和或差是奇数。（√）7．奇数与奇数的积是奇数。（√）8．奇数与偶数的积是偶数。（√）9．任何偶数的平方都能被4整除。（√）10．任何奇数的平方被8除都余1。（√）11．相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。（√）12．任何一个自然数，不是质数就是合数。（×）13．互质的两个数可以都不是质数。（√）14．如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。（√）三、计算题1．能不能将（1）505；（2）1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。解题过程：S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）+（n+6）+（n+7）+（n+8）+（n+9）=10n+45（一定是奇数）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010是偶数，不能写成10个连续自然数之和2．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？解题过程：（1）3998÷4=999（个）……2（2）考虑个位，选法有10种;十位，选法有10种;百位选法有10种;选定之后个位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个；1000-1=999（个）3．请将1，2，3，…，99，100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写）。解题过程：9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，9915，25，35，55，65，85，9521，35，49，77，9133，55，77，9925，35，55，65，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99；77，91，494．一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13。求所有满足条件的自然数。解题过程：设这个数为n，除以9的余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13-8=5，且q≤13n=8q+k=9p+r==>k=9p+r-8p=9p+r-8×（13-r）=9×（p+r）-104=4q=5，n=8×5+4=44q=6，n=8×6+4=52q=7，n=8×7+4=60q=8，n=8×8+4=68q=9，n=8×9+4=76q=10，n=8×10+4=84q=11，n=8×11+4=92q=12，n=8×12+4=100q=13，n=8×13+4=1085．有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为：92、125、133、147、158、191。老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？解题过程：设四张卡片上的数从小到大分别为A、B、C、D，则六位同学所计算的分别为A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D这6个和数，且最小的两个依次为A+B、A+C，最大的两个依次为C+D、B+D。（A+B）+（C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D）+（B+C）；而92+191=283=125+158，133+147=280≠283；所以，A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147中有一个不正确。若147是正确的，则B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33==>C=90，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101若133是正确的，则A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33==>B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四种颜色卡片上所写各数中最小数是35或42。6．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。（说明理由）解题过程：设这三个数字从小到大分别为A、B、C，显然，它们互不相等且都不等于0。则222×（A+B+C）=2886==>A+B+C=2886÷222=13百位数为1是最小的，另两个数分别为3和9；所以最小的三位数为1397．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。解题过程：1001＝7×11×131＋2＋…＋1000=（1＋1000）×1000÷2＝5005007＋14＋21＋…＋994＝（7＋994）×142÷2＝7107111＋22＋…＋990＝（11＋990）×90÷2＝4504513＋26＋…＋988＝（13＋988）×76÷2＝3803877+154+231+…+924=（77+924）×12÷2=600691+182+273+…+910=（91+910）×10÷2=5005143+286+429+…+858=（143+858）×6÷2=3003500500－71071－45045－38038+6006+5005+3003＝3603608．三张卡片，在它们上面各写一个数字（如图）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。解题过程：2、3、13、23、319．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是