材材料力学Ⅱ电子教案

§1－1

非对称纯弯曲梁的正应力§1－2

两种材料的组合梁§1－3

开口薄壁梁的切应力·弯曲中心§1－4

开口薄壁截面梁约束扭转的概念§1－5

平面大曲率杆纯弯曲时的正应力第一章弯曲问题的进一步研究1§1－1非对称纯弯曲梁的正应力当梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内时，梁将发生对称弯曲(图a)，材料力学(Ⅰ)中已研究了该情形下梁横截面上的正应力。第一章弯曲问题的进一步研究(对称轴)Fzy(a)xyzF2当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将发生非对称弯曲(图b)。本节研究非对称弯曲时，梁横截面上的正应力。第一章弯曲问题的进一步研究zFyxFzy(b)zyF对称轴z3三角形截面纯弯曲梁如图(a)所示，图中，x为梁的轴线，y,z为任意一对相互垂直的形心轴。横截面上弯矩M的矢量方向和y轴的夹角为j，M在y,z轴上的分量分别为My和Mz。Ⅰ.非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式

第一章弯曲问题的进一步研究4

几何方面试验表明，非对称弯曲时，平面假设依然成立，设横截面的中性轴为n－n(位置未定)，距中性轴为h(图b)的任一点的线应变为式中，r为变形后中性层的曲率半径。(1)第一章弯曲问题的进一步研究5

物理方面横截面上各点仍为单轴应力状态，并设材料在线弹性范围内工作，且拉伸和压缩时的弹性模量均为E，横截面上任一点的正应力为(2)第一章弯曲问题的进一步研究6静力学方面法向内力元素sdA组成的内力分别为将(2)式代入(3)式，得(3)(4)(5)第一章弯曲问题的进一步研究7因为，必有可见，中性轴n－n通过横截面的形心。设中性轴n－n和y轴的夹角为q，如图所示。由图可见将上式代入(2)式，得第一章弯曲问题的进一步研究8将(6)式代入(4),(5)两式，并注意到可得第一章弯曲问题的进一步研究9联解以上两式，得将(7)，(8)两式代入(6)式，得(1－1)式称为广义弯曲正应力公式。(1-1)第一章弯曲问题的进一步研究10由(7)和(8)式可以解出出中性轴和和y轴的夹角q为由(1-2)式可以确定定中性轴的的位置。令令(1-1)式中也可以得到到(1－2)式。第一章弯弯曲问题的的进一步研研究11横截面上的的最大拉应应力和最大大压应力分分别发生在在距中性轴轴最远的D1和D2点处，如图图a,b所示。把D1和D2点的坐标(y，z)代入(1－1)式，可以得得到横截面面的st，max和sc，max。(1-1)式也可以用用于计算细细长梁横力力弯曲时，，横截面上上的正应力力。第一章弯弯曲问题的的进一步研研究12Ⅱ.广义弯曲正正应力公式式的讨论广义弯曲正正应力公式式(1—1)适用一切弯弯曲情况下下梁横截面面上正应力力的计算，，分述如下下：（1）梁具有纵向向对称平面面xy，且外力作用用在该平面面内(对称弯曲,平面弯曲)。上式即为对对称弯曲时时，梁横截截面上的正正应力计算算公式，式式中的负号号是因为(1-1)式中Mz为负值。第一章弯弯曲问题的的进一步研研究令（1—1）式中，My=0,Mz=M,Iyz=0,得(1-1)13(2)梁不具有纵纵向对称平平面，但外外力作用在在梁的形心心主惯性平平面内，或或外力作用用面与形心心主惯性平平面平行图a所示Z字形截面梁梁，图中y,z轴为形心主主惯性轴(Iyz=0)，xy，xz均为形心主主惯性平面面。弯矩M位于xy面内(M的矢量沿z轴)。将My=0，M=Mz，Iyz=0代人(1-1)式，得第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究(a)(1-1)14上式表明明，只要要外力作作用在形形心主惯惯性平面面内，或或者外力力作用面面平行于于形心主主惯性平平面时，，对称弯弯曲时的的正应力力公式仍仍然适用用。由(1-2)式，得，即说明中性性轴为z轴，梁只只绕z轴弯曲，，梁的挠挠曲线和和外力均均在xy平面内，，或外力力所在平平面和挠挠曲线平平面平行行，即梁梁发生平平面弯曲曲。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究15图b所示Z字形截面面梁，其其y,z轴为形心心主惯性性轴，弯弯矩M的矢量与与y轴的夹角角为j，把My=Mcosj，Mz=Msinj，及Iyz=0代入（1-1）式，得得第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究(3)梁不具有有纵向对对称平面面，外力力也不作作用在形形心主惯惯性平面面内(1-1)(b)16中性轴公公式成为为即中性轴轴不再垂垂直于M(外力)作用平面面(中性轴不不沿M的矢量方方向)。外力和和挠曲线线不在同同一平面面内，梁梁产生斜斜弯曲。。因为第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究所以上式右端端的第一一项表示示xz平面内弯弯曲时的的正应力力，第二二项表示示xy平面内弯弯曲时的的正应力力。可见见外力不不作用在在形心主主惯性平平面内时时，可将将外力向向两个形形心主惯惯性平面面内分解解，分别别计算两两个形心心主惯性性平面内内的弯曲曲正应力力，将二二者叠加加可得到到横截面面上任一一点的正正应力。。17(4)梁具有纵纵向对称称平面，，但外力力作用面面与纵向向对称平平面有一一夹角。。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究这种情况况，是情情况3的特例，，已在材材料力学学（Ⅰ）的§8－2中研究过过。18例1－3已知：Iy=283×10-8m4，Iz=1930××10-8m4，Iyz=532×10-8m4，[s]=170MPa。求[q]。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究19由于q作用线沿y轴，所以My=0。由图b可见，Mmax=MC=Mz。Mz的矢量方向沿z轴的负方向，所以由(1—2)式，得中性轴n－n位置如图图c所示。由由图可见见，st,max和sc,max分别发生生在C截面的D点和E点。该两两点到中中性轴的的距离相相等，D点的坐标标为第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究解：1.用广义弯弯曲正应应力公式式计算20按(1-1)式，可得得D点的强度度条件为为把有关数数值代入入上式，，得[q]=23.1kN/m第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究212.叠加法将Mz=MC沿形心主主轴y0，z0方向分解解(图d)，分别计算算两个平平面弯曲曲时的正正应力，，然后进进行叠加加。由材材料力学学(Ⅰ)附录(Ⅰ)的(Ⅰ－13)式确定形形心主轴轴的位置置，即形心主轴轴y0，z0的位置如如图d所示。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究zy0yz0D(d)22由材料力力学(Ⅰ)附录(Ⅰ)的(Ⅰ－14)式，得形形心主惯惯性矩分分别为沿形心主主轴y0，z0弯矩的分分量分别别为第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究23D点在y0，z0坐标中的的坐标的的绝对值值分别为为第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究zy0yz0D(d)24D点的强度度条件为为解得第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究zy0yz0D(d)可见，当当形心主主轴位置置未知时时，利用用广义弯弯曲正应应力公式式计算较较为方便便。25§1－2两种材料料的组合合梁由1,2两种材料料组合成成一个整整体的矩矩形截面面梁如图图a所示。设设1,2两种材料料的弹性性模量分分别为E1和E2，且E1<E2，第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究横截面面面积分别别为A1和A2。现在分析析该梁在在纯弯曲曲时横截截面上的的正应力力。弯矩矩M作用在纵纵向对称称平面内内，且M为正。26图中，y为对称轴，，z为中性轴(位置未定)。设平面假假设依然成成立，变形形后中性层层的曲率半半径为r，横截面上距距中性轴为为y的任一点的的线应变为为线应变沿高高度的变化化规律如图图b所示。(1)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究27当材料均在在线弹性范范围内工作作时，横截截面上材料料1,2两部分的正正应力分别别为(2)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究正应力沿高高度的变化化规律如图图c所示28静力学关系系为把(2)式代入(3)式，得因为所以第一章弯弯曲问题的的进一步研研究(a)式为确定中中性轴位置置的条件。。29设中性轴z到z1轴的距离为yn，微面积dA到z和z1轴的距离分分别为y和y'(图f)。由图可见，，把(b)式代入(a)式，得(c)(b)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究z(f)yz130注意到，yn为常量，设设面积A1,A2的形心到z1轴的距离分分别为yC1和yC2(图f)则于是(c)式成为解得(d)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究z(f)yz131将上式右端端除以E1，(d)式成为由(5)式可以确定定中性轴的的位置。把(2)式代入(4)式，得式中，分别表示面积A1和A2对z轴的惯性矩。由(e)式得中性层的曲率为(6)(e)(5)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究32将(6)式代入(2)式，得I为等效惯性矩矩，(f),(g)式成为(f)(g)令(7)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究(8)33▲相当截面设高度h1和h2及材料1部分的宽度度b不变，把材材料2部分的宽度度按第一章弯弯曲问题的的进一步研研究折算，折算算后的截面面如图e所示。折算算的截面相相当于仅由由材料1构成的截面面，称为相当截面。34由图e可见，材料料1,2两部分的面面积的形心心位置yC1，yC2不变。求实实际截面的的中性轴公公式(5)成为该式也是求求相当截面面水平形心心轴的公式式。实际截截面的等效效惯性矩为相当截面面对水平形形心轴的惯惯性矩。第一章弯弯曲问题的的进一步研研究zy(b)35按相当截面求出的正应力，为材料1部分的正应力，将它乘以后才是材料2部分的应力，即（同8式）第一章弯弯曲问题的的进一步研研究zy(b)36例1图a所示矩形截截面梁，由由铝合金1和碳钢2组成，两种种材料的弹弹性模量分分别为E1＝70GPa，E2=210GPa，横截面上的的正弯矩M＝50kN·m。试求正应力力沿高度的的变化规律律。5012Oy200100z(a)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究y30050200100Oz(b)36.711.171.034.2(c)37解：为了说明利利用公式和和相当截面面计算的截截面几何性性质的一致致性，分别别采用两种种方法计算算截面的几几何性质。。公式法由(5)式可得实际际截面的中中性轴位置置为第一章弯弯曲问题的的进一步研研究381,2两部分面积积对中性轴轴的惯性矩矩分别为等效惯性矩矩为第一章弯弯曲问题的的进一步研研究39相当截面法法相当截面如如图b所示，水平平形心轴的的位置为第一章弯弯曲问题的的进一步研研究y30050200100Oz(b)yn40对z轴的惯性矩矩为可见两种方方法所得到到的结果完完全一致。。第一章弯弯曲问题的的进一步研研究41由(8)式可得1,2两部分的最最大压应力力和最大拉拉应力分别别为正应力沿梁梁高度的变变化规律如如图c所示。36.711.171.034.2(c)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究42例2一木梁因承承载能力不不足，在梁梁的顶部和和底部用钢钢板加固，，如图a所示。钢板板和木材的的弹性模量量和许用应应力分别为为E1=210GPa，[s]1=160MPa，E2=10.5GPa，[s]2=10MPa。试求该梁所所能承受的的最大弯矩矩[M]。第一章弯弯曲问题的的进一步研研究62506150112(a)43解：相当截面如如图b所示。其惯惯性矩为由钢板的强强度条件得第一章弯弯曲问题的的进一步研研究yz662507.5150(b)44由木材的强强度条件得梁能承受的的最大弯矩矩为[M]＝47.95kN·m第一章弯弯曲问题的的进一步研研究62506150112(a)45§1－3开口薄壁截截面梁的切切应力·弯曲中心T字形截面悬悬臂梁如图图a所示。图中中，z为对称轴，，y,z轴为形心主主惯性轴。。横向力F平行于y轴，到竖直直板中线的的距离为e。试验表明：：梁将在xy面内发生平面弯弯曲，同时时还伴随有有扭转。第一章弯弯曲问题的的进一步研研究CyxzeyzFC(a)a46为了分析产产生扭转的的原因，先先分析梁横横截面上的的切应力。。非对称开开口薄壁截截面梁横截截面上的切切应力公式式仍为图a所示梁横截截面的水平平板上和y方向平行的的切应力很很小，可以以忽略不计计。竖直板板上与切应应力相应的的合力FR几乎等于横横截面的剪剪力FSy，即其作用线沿沿竖直板的的中线，如如图b所示。第一章弯弯曲问题的的进一步研研究(b)Cyz47从梁中截取取长度为a的一段梁(图c)进行分析，，该段梁上上两个反向向平行力F组成一个力力偶，其矩矩为该力偶矩使使梁产生扭扭转。只有有当力F的作用线沿沿竖直板的的中线，Mx=0时,梁只产生弯弯曲，不产产生扭转。。yzFe(c)第一章弯弯曲问题的的进一步研研究48若力力F沿梁梁自自由由端端的的z轴，，略略去去竖竖直直板板上上平平行行于于z方向向切切应应力力，，水水平平板板上上与与切切应应力力相相应应的的合合力力FR≈FSz，其作作用用线线沿沿z轴(图d)。剪力力FSy和FSz相交交于A点(图e)，A点称称为为截面面的的弯弯曲曲中中心心或或剪剪力力中中心心。当当横横向向力力F通过过弯弯曲曲中中心心A时，，梁梁只只产产生生弯弯曲曲，，不不产产生生扭扭转转。。yz(d)第一章章弯弯曲问问题的的进一一步研研究yzA(e)49开口薄薄壁截截面梁梁的抗抗扭刚刚度较较小，，当横横向力力不通通过弯弯曲中中心A时，将将引起起很大大的扭扭转变变形，，并且且当扭扭转时时横截截面不不能自自由翘翘曲时时，梁梁中还还要产产生附附加的的正应应力和和切应应力，，称为为约束扭扭转(§1－4)。因此此研究究开口口薄壁壁截面面梁的的弯曲曲中心心具有有十分分重要要的意意义。。弯曲中中心是是剪力力FSy和FSz的交点点，其其位置置仅取取决于于截面面的形形状和和尺寸寸，它它是截截面的的几何何量，，与外外力的的大小小和方方向及及梁的的约束束等均均无关关。现将将几种种截面面的弯弯曲中中心位位置列列于表表1－1中。第一章章弯弯曲问问题的的进一一步研研究50第一章章弯弯曲问问题的的进一一步研研究51由表1－1可见：：Ⅰ.当截面面具有有一根根对称称轴时时，例例如，，槽形形,开口薄薄壁圆圆环,T字形,等边角角形等等，其其弯曲曲中心心一定定位于于对称称轴上上。Ⅲ.由两个个狭长长矩形形组成成的截截面，，例如如，T字形,等边和和不等等边角角形等等，其其弯曲曲中心心位于于两狭狭长矩矩形中中线的的交点点处。。Ⅱ.当截面面具有有两根根对称称轴时时，例例如工工字形形等，，其弯弯曲中中心和和形心心位置置重合合。Z字形截截面为为反对对称截截面，，其弯弯曲中中心也也与形形心位位置重重合。。第一章章弯弯曲问问题的的进一一步研研究52例试确定定图a所示槽槽形截截面弯弯曲中中心的的位置置。第一章章弯弯曲问问题的的进一一步研研究53解：图a中z为对称称轴，，y,z为形心心主惯惯性轴轴，当当外力力沿z轴作用用时，，切应应力分分布规规律如如图b所示，，相应应的合合力近近似等等于FSz，作用线线沿z轴，所所以弯弯曲中中心A一定位位于z轴上。。第一章章弯弯曲问问题的的进一一步研研究设外力力F的作用用线平平行于于y轴，且且通通过弯弯曲中中心A，其切应力力分布规规律如图图c所示。其其中54微内力tdA在翼缘和和腹板上上的合力力分别为为FH，FSy的作用线线位置如如图d所示，将将各力向向O点简化，，得主矢矢量和主主矩分别别为第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究55设合力作作用线通通弯曲中中心A，由得第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究56例求图示开开口薄壁壁圆环截截面弯曲曲中心的的位置。。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究O(a)yzdeAR057解：因为弯曲曲中心A位于对称称轴z上，所以以仅需确确定剪力力FSy的作用线位位置。设设剪力FSy平行于y轴，且通通过弯曲曲中心A。在截面的的开口处处截取dx微段梁(图b)进行分析析，可知知截面上上切应力力流如图图a所示。(b)第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究OyzFSydeR0qdqj58式中，第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究任一点处处的切应应力公式式为OyzFSydeR0qdqj把(b),(c)式代入(a)，得59由，得微内力的合力及其对O点的合力矩分别为第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究OyzFSydeR0qdqj60例悬臂臂梁在自自由端受受集中力力F作用，若若采用图图a,b,c所示三种种截面，，且力F均通截面面的形心心C。试问这几几种截面面梁各产产生何种种变形？？第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究Cz(a)y•(b)CC(c)•61解：各截面的的形心主主惯性轴轴和弯曲曲中心的的位置，，分别如如图d,e,f所示。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究zC(A)y(f)A(d).CzyAzy(e)•C62图a中力F沿形心主主轴y，但不通过过弯曲中中心A，梁产生平平面弯曲曲和扭转转。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究Cz(a)y图(b)力F既不和形形心主惯惯性轴平平行，也也不通过过弯曲中中心A,梁产生斜斜弯曲和和扭转。。C(b)Ayz63图(c)力F不和形心心主惯性性轴平行行。但通通过弯曲曲中心A，梁产生斜斜弯曲。。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究C(c)Ayz64§1－4开口薄壁壁截面梁梁约束扭扭转的概概念由§1－3节可知，，当横向向力不通通过开口口薄壁截截梁的弯弯曲中心心时，梁梁除了产产生弯曲曲变形外外，还要要产生较较大的扭扭转变形形。且这这种扭转转往往是是约束扭扭转。本本节介绍绍开口薄壁壁截面杆杆约束扭扭转的概念。。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究65图示矩形形截面杆杆，扭转转后其横横向线成成为曲线线，可以以推知横横截面变变形后成成为曲面面——翘曲。非圆截截面杆扭扭转时，，横截面面均要发发生翘曲曲。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究66当等直杆杆仅两端端受扭转转力偶作作用，且且两端横横截面均均可以自自由翘曲曲时，其其任意相相邻两横横截面的的翘曲程程度相同同，即相相邻两横横截面间间的纵向向纤维的的长度不不变，因因此横截截面上不不会产生生正应力力，这种种扭转称称为自由扭转转。图示矩矩形截面面杆的扭扭转为自自由扭转转。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究67由于约束束条件或或荷载等等原因，，使杆在在扭转时时，横截截面不能能自由翘翘曲，则则相邻两两横截面面的翘曲曲程度不不同，即即相邻两两横截面面间的纵纵向纤维维的长度度发生不不同程度度的改变变，因此此横截面面上产生生相应的的附加正正应力，，这种扭扭转称为为约束扭转转。实体截截面杆的的附加正正应力很很小，可可以不计计。开口口薄壁截截面杆的的附加正正应力较较大，不不能不计计。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究68求开口薄薄壁截面面杆件在在约束扭扭转时的的内力,应力等，，是“薄薄壁杆件件”课程程的内容容。本节节以工字字形截面面杆为例例，简单单介绍开开口薄壁壁截面杆杆约束扭扭转时横横截面上上的应力力和内力力特征。。图a所示工字字形截面面杆，由由于左端端为固定定端，左左端横截截面不可可能翘曲曲，右端端为自由由端，右右端横截截面可以以自由翘翘曲。可可以推知知，处于于左,右两端面面之间的的各横截截面的翘翘曲将受受到不同同程度的的约束，，即该杆杆产生约约束扭转转。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究69横截面上上相应的的内力如如图b所示。图图中，T为扭矩；；MB为翼缘上上位于翼翼缘平面面内的弯弯矩，两两翼缘上上MB的转向相相反；FSw为位于翼翼缘平面面内的剪剪力，两两翼缘上上FSw的指向相相反。翼翼缘上存存在剪力力的原因因是由于于各横截截面的翘翘曲程度度不同，，因此弯弯矩MB随截面位位置而变变化，即即MB=MB(x)，由可知，翼翼缘上存存在剪力力。试验和理理论分析析表明：：杆的变形形情况如如图a所示，除除了扭转转变形外外，两翼翼缘还产产生相反反方向的的弯曲。。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究70横截面上上与MB相应的正正应力sw如图c所示；与与FSw相应的弯弯曲切应应力tw如图d所示；与与T相应的扭扭转切应应力tt如图e所示。其其中，MB和sw以及FSw和sw是工字形形截面杆杆在约束束扭转时时特有的的内力和和应力。。而T和tt是基本的的内力和和应力。。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究71Ⅱ.SFz＝0可知，两两个FSv的大小相相等，指指向相反反，他们们组成一一个力偶偶，其矩矩为仅靠截面面法和平平衡方程程是不能能确定内内力分量量的。结结合图b分析如下下：Ⅰ.由SMy=0可知，横横截面翼翼缘上的的弯矩MB数值相等等，转向向相反，，是自相相平衡的的。第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究(a)72Ⅲ.取分离体体如图f所示。由由SMx＝0，得第一章弯弯曲问问题的进进一步研研究(f)73仅用上述述的静力力学关系系，是不不能确定定内力分分量的。。从而也也无法确确定相应应的应力力分量。。也就是是说约束扭转转问题的的内力分分析是超超静定的的，这正是约束束扭转问题内内力的特征。。要解决这个个问题必须对对变形作出补补充假设。再再综合利用几几何,物理及静力学学三个方面关关系求解。由(b)式可见，约束束扭转时的扭扭矩T＝Mx－Tw。将小于自由由扭转时的扭扭矩T＝Mx。所以约束扭转转时的扭转切切应力tt和扭转角j都比自由扭转转时小。而横横截面上却产产生了附加正正应力sw和弯曲切应力力tw。这是约束扭转转时，横截面面上应力的特特征。第一章弯曲曲问题的进一一步研究74§1－5平面大曲率杆杆纯弯曲时的的正应力工程中还会遇遇到如吊钩,圆环,曲梁等曲杆的的弯曲问题。。若曲杆的轴轴线位于同一一平面内，这这类曲杆称为为平面曲杆。图a为平面曲杆的的纵向对称平平面，外力偶偶Me作用在该平面面内。平面曲曲杆纯弯曲时时的正应力，，仍然要从几几何,物理,静力学三个方方面进行综合合分析。(a)第一章弯曲曲问题的进一一步研究75变形的几何关关系平面曲杆和直直梁的区别为为：1.曲杆有初曲率率；2.相邻横截面间间纵向线段的的长度不同。。因此，平面面曲杆变形的的几何关系与与直梁不同。。第一章弯曲曲问题的进一一步研究76用夹角为dj的两横截面m－m和n－n，从平面曲杆中中截取任一微微段(图b,c)。根据平面假设设，受力后该该两横截面相相对转动D(dj)角(图c)。第一章弯曲曲问题的进一一步研究77图d为曲杆的横截截面，图中，y为对称轴，zC为形心轴，RC为曲杆轴线的的原始曲率半半径，z为中性轴（位位置未定），，r为中性层的曲曲率半径，r(y)为距中性层为为y处线段的曲率率半径，r(r)=r+y。第一章弯曲曲问题的进一一步研究78同一横截面处r,为常量，(a)式表明e沿横截面高度按双曲线规律变化(图e)。这是因为，微段内侧与外侧到中性层等距离的线段cd和ab的原长不同(图c)。而它们的长度改变量均为yD(dj),所以。由图b,c可见，距中性层为y的线段ab的原长为r(y)dj，受力后该线段段的增长量为为yDd(j),则横截面上各各点沿其法线线的线应变为为(a)第一章弯曲曲问题的进一一步研究79物理方程不计纵向纤维维之间的挤压压，并设拉伸伸和压缩时的的弹性模量均均为E，根据单轴应力力状态的胡克克定律，横截截面上的正应应力为由(b)式可见，s沿横截面高度度也按双曲线线规律变化(图f)。(b)第一章弯曲曲问题的进一一步研究(f)80静力学条件微内力sdA可简化为三个个内力分量，，由于受力的的对称性，ΣMy=0自动满足。还还有第一章弯曲曲问题的进一一步研究zyxMe将(b)式代入(c)式，得(c)(d)把y=r(y)-r代入后解得(e)81由(e)式确定中性层层的曲率半径径，从而确定定中性轴的位位置。中性轴轴将不通过横横截面的形心心。这是因为为，曲杆内侧侧各点的压应应力值大于到到中性轴等距距离的外侧各各点的拉应力力值，又要使使由sdA组成的轴向压压力等于轴向向拉力，因因此横截面上上受压区的面面积必然小于于受拉区的面面积，即中性性轴偏于曲杆杆内侧一边。。把(b)式代入(d)式，得(f)第一章弯曲曲问题的进一一步研究82把y2换成y[r(y)－r]，(f)式左端得积分分可以写成式中，为横截面对中性轴z的静矩S，。所以代入(f)式后，得(g)第一章弯曲曲问题的进一一步研究83将(g)式代回(b)式。得平面曲曲杆纯弯曲时时横截面上的的正应力公式式为式中，M为横截面上的的弯矩；r(y)为横截面上距距中性轴z为y处线段的曲率率半径，r(y)=r＋y；S为横截面对中中性轴z的静矩，计算算公式为为横截面的形心到中性轴的距离(图d)。(1-3