数字电路课件2

第2章逻辑代数课时：10学时第2章逻辑代数2.1数字电路的基本概念2.2数制2.3二—十进制码2.4基本逻辑运算2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑代数2.7逻辑函数的卡诺图化简法本章小结

2.1数字电路的基本概念5V(V)0t(ms)1020304050数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。

一、模拟信号与数字信号模拟信号——时间连续数值也连续的信号。如速度、压力、温度等。数字信号——在时间上和数值上均是离散的。如电子表的秒信号，生产线上记录零件个数的记数信号等。

有两种逻辑体制：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

下图为采用正逻辑体制所表的示逻辑信号：二、正逻辑与负逻辑

数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。

逻辑0

逻辑0

逻辑0

逻辑1

逻辑1

三、数字信号的主要参数

一个理想的周期性数字信号，可用以下几个参数来描绘：Vm——信号幅度。T——信号的重复周期。tW——脉冲宽度。q——占空比。其定义为：

5V(V)0t(ms)twTVm

图中所示为三个周期相同（T=20ms），但幅度、脉冲宽度及占空比各不相同的数字信号。

2.2数制例：

将二进制数10011.101转换成十进制数。解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3＝（19.625)D一、几种常用的计数体制

1.十进制(Decimal)

2.二进制(Binary)

3.十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal）二、不同数制之间的相互转换

1．二进制转换成十进制例：

将十进制数23转换成二进制数。

解：用“除2取余”法转换:

2.十进制转换成二进制则（23)D=（10111)B

2.3二—十进制码

二—十进制码（BCD码）——用二进制代码来表示十进制的0～9十个数。

要用二进制代码来表示十进制的0～9十个数，至少要用4位二进制数。

4位二进制数有16种组合，可从这16种组合中选择10种组合分别来表示十进制的0～9十个数。

选哪10种组合，有多种方案，这就形成了不同的BCD码。

位权0123456789十进制数842100000001001000110100010101100111100010018421码242100000001001000110100101111001101111011112421码0011010001010110011110001001101010111100000000010010001101001000100110101011110054215421码无权余3码

常用BCD码一、基基本逻逻辑运运算设：开开关闭闭合=“1”开关不不闭合合=“0”灯亮，，L=1灯不亮亮，L=02.4基本逻逻辑运运算与逻辑辑——只有当当决定定一件件事情情的条条件全全部具具备之之后，，这件件事情情才会会发生生。1．与运运算与逻辑表达式：AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮不亮不亮亮0101BLA0011输入0001输出

与逻辑真值表2．或运运算或逻辑辑表达达式：：L＝A+B或逻辑辑——当决定定一件件事情情的几几个条条件中中，只只要有有一个个或一一个以以上条条件具具备，，这件件事情情就发发生。。AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮亮亮亮0101BLA0011输入0111输出

或逻辑真值表3．非运运算非逻辑表达式：

非逻辑辑——某事情情发生生与否否，仅仅取决决于一一个条条件，，而且且是对对该条条件的的否定定。即即条件件具备备时事事情不不发生生；条条件不不具备备时事事情才才发生生。A灯L闭合不闭合不亮亮LA0110非逻辑真值表二、其其他常常用逻逻辑运运算2．或非非——由或运运算和和非运运算组组合而而成。。1．与非非——由与运运算和和非非运算算组合合而成成。0101BLA0011输入1110输出

“与非”真值表0101BLA0011输入1000输出

“或非”真值表3．异或或异或是是一种种二变量量逻辑运运算，，当两个个变量量取值值相同同时，，逻辑辑函数数值为为0；当当两两个个变变量量取取值值不不同同时时，，逻逻辑辑函函数数值值为为1。0101BLA0011输入0110输出

“异或”真值表异或的逻辑表达式为：2.5逻辑辑函函数数及及其其表表示示方方法法解：：第一一步步：：设设置置自自变变量量和和因因变变量量。。第二二步步：：状状态态赋赋值值。。对于于自自变变量量A、B、C设：：同意意为为逻逻辑辑““1””，不同同意意为为逻逻辑辑““0””。对于于因因变变量量L设：：事情情通通过过为为逻逻辑辑““1””，没通通过过为为逻逻辑辑““0””。一、、逻逻辑辑函函数数的的建建立立例：：三个个人人表表决决一一件件事事情情，，结结果果按按““少少数数服服从从多多数数””的的原原则则决决定定，，试试建建立立该该逻逻辑辑函函数数。。第三三步步：：根根据据题题义义及及上上述述规规定定列出出函函数数的的真真值值表表。。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表决电路真值表一般般地地说说，，若若输输入入逻逻辑辑变变量量A、B、C…的取取值值确确定定以以后后，，输输出出逻逻辑辑变变量量L的值值也也唯唯一一地地确确定定了了，，就就称称L是A、B、C的逻逻辑辑函函数数，，写写作作：：L=f（A，B，C…）逻辑辑函函数数与与普普通通代代数数中中的的函函数数相相比比较较，，有有两两个个突突出出的的特特点点：：（1）逻逻辑辑变变量量和和逻逻辑辑函函数数只只能能取取两两个个值值0和1。（2）函函数数和和变变量量之之间间的的关关系系是是由由“与与””、、““或或””、、““非非””三三种种基基本本运运算算决决定定的的。。二、、逻逻辑辑函函数数的的表表示示方方法法1．真真值值表表———将输输入入逻逻辑辑变变量量的的各各种种可可能能取取值值和和相相应应的的函函数数值值排排列列在在一一起起而而组组成成的的表表格格。。2．函函数数表表达达式式———由逻逻辑辑变变量量和和““与与””、、““或或””、、““非非””三三种种运运算算符符所所构构成成的的表表达达式式。。由真真值值表表可可以以转转换换为为函函数数表表达达式式。。例例如如，，由由““三三人人表表决决””函函数数的的真值值表表可可写写出出逻辑辑表表达达式式：：解：：该函函数数有有两两个个变变量量，，有有4种取取值值的的可能能组组合合，，将将他他们们按按顺顺序序排排列列起起来来即即得真真值值表表。。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表决电路真值表反之之，，由由函函数数表表达达式式也也可可以以转转换换成成真真值值表表。。例1.6.2列出出下下列列函函数数的的真真值值表表：：真值表00011011AB1001

L×B×3．逻逻辑辑图图———由逻逻辑辑符符号号及及它它们们之之间间的的连连线线而而构构成成的的图图形形。。例：：写出出如如图图所所示示逻辑辑图图的的函函数数表表达达式式。。由函函数数表表达达式式可可以以画画出出逻逻辑辑图图。。解：：可用用两两个个非非门门、、两两个个与与门门和一一个个或或门门组组成成。。例：：画出出函函数数的逻逻辑辑图图：：由逻逻辑辑图图也也可可以以写写出出表表达达式式。。解：BAAL+=2.6逻辑辑代代数数2.6.1逻辑辑代代数数的的基基本本公公式式2.6.2逻辑辑代代数数的的基基本本规规则则2.6.3逻辑辑函函数数的的代代数数化化简简法法2.6.1逻辑辑代代数数的的基基本本公公式式吸收律反演律分配律结合律交换律重叠律互补律公式10—1律对合律名称公式2基本公式公式式的的证证明明方方法法：：（2）用用真真值值表表证证明明，，即即检检验验等等式式两两边边函函数数的的真真值值表表是是否否一一致致。。（1）用用简简单单的的公公式式证证明明略略为为复复杂杂的的公公式式。。例：证明吸收律证：：AB00011011例：

用真值表证明反演律111011102.6.2逻辑代数数的基本本规则对偶规则则的基本本内容是是：如果两个个逻辑函函数表达达式相等等，那么么它们的的对偶式式也一定定相等。。基本公式式中的公公式l和公式2就互为对对偶式式。1.代入规则则对于任何何一个逻逻辑等式式，以某某个逻辑辑变量或或逻辑函函数同时时取代等等式两端端任何一一个逻辑辑变量后后，等式式依然成成立。例如，在在反演律律中用BC去代替等等式中的的B，则新的等等式仍成成立：2.对偶规则则将一个逻逻辑函数数L进行下列列变换：：·→＋，＋→·0→1，1→0所得新函数表达式叫做L的对偶式，用表示。3.反演规则则在应用反反演规则则求反函函数时要要注意以以下两点点：（1）保持运运算的优优先顺序序不变，，必要时时加括号号表明，，如例3.1.3。（2）变换中中，几个个变量（（一个以以上）的的公共非非号保持持不变。。如例3.1.4。利用反演演规则，，可以非非常方便便地求得得一个函函数的反反函数解：解：将一个逻逻辑函数数L进行下列列变换：：·→＋，＋→·；0→1，1→0；原变量→反变量，，反变量→原变量。。所得新函数表达式叫做L的反函数，用表示。例：求函数的反函数：例：求函数的反函数：2.6.3逻辑函数数的代数数化简法法1．逻辑函函数式的的常见形形式一个逻辑辑函数的的表达式式不是唯唯一的，，可以有有多种形形式，并并且能互互相转换换。例如：与——或表达式或——与表达式与非——与非表达式或非——或非表达式与——或——非表达式其中，与与—或表达式式是逻辑辑函数的的最基本本表达形形式。2．逻辑函函数的最最简“与与—或表达式式”的的标准3．用代数数法化简简逻辑函函数（1）并项法法：运用公式将两项合并为一项，消去一个变量。例：（1）与项最最少，即即表达式式中“+”号最少。。（2）每个与与项中的的变量数数最少，，即表达达式中““·”号最少。。（4）配项法法：（2）吸收法法：（3）消去法法：运用吸收收律A+AB=A，消去多余余的与项项。例：例：运用吸收律消去多余因子。先通过乘以或加上，增加必要的乘积项，再用以上方法化简。例：在化简逻逻辑函数数时，要要灵活运运用上述述方法，，才能将将逻辑函函数化为为最简。。例：化简逻辑辑函数：：解：（利用）（利用A+AB=A）（利用

）例：化简逻辑函数：

解：（利用反演律）

（利用）

（利用A+AB=A）（配项法）

（利用A+AB=A）（利用）由上例可可知，有有些逻辑辑函数的的化简结结果不是是唯一的的。解法1：例：

化简逻辑函数：

（增加多余项）（消去一个多余项）（再消去一个多余项）解法2：（增加多余项）（消去一个多余项）（再消去一个多余项）代数化简简法的优优点：不不受变量量数目的的限制。。缺点：没没有固定定的步骤骤可循；；需要熟熟练运用用各种公公式和定定理；需需要一定定的技巧巧和经验验；不易易判定化化简结果果是否最最简。2.7逻辑函数数的卡诺诺图化简简法2.7.1最小项的的定义与与性质2.7.2逻辑函数数的最小小项表达达式2.7.3卡诺图2.7.4用卡诺图图表示逻逻辑函数数2.7.5逻辑函数数的卡诺诺图化简简法2.7.6具有无关关项的逻逻辑函数数的化简简2.7.1最小项的的定义与与性质最小项——n个变量的的逻辑函函数中，，包含全全部变量量的乘积积项称为为最小项。n变量逻辑辑函数的的全部最最小项共共有2n个。ABC000001010011100101110111变量取值最小项m0m1m2m3m4m5m6m7编号

三变量函数的最小项2.7.2逻辑函数数的最小小项表达达式解：=m7+m6+m3+m1解：=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）任何一个个逻辑函函数表达达式都可可以转换换为一组组最小项项之和，，称为最小项表表达式。例：将函数转换成最小项表达式。

例2：

将函数转换成最小项表达式。2.7.3卡诺图2.卡诺图一个小方方格代表表一个最最小项，，然后将将这些最最小项按按照相邻邻性排列列起来。。即用小小方格几几何位置置上的相相邻性来来表示最最小项逻逻辑上的的相邻性性。1．相邻最最小项如果两个个最小项项中只有有一个变变量互为为反变量量，其余余变量均均相同，，则称这这两个最最小项为为逻辑相相邻，简简称相邻项。如果两个个相邻最最小项出出现在同同一个逻逻辑函数数中，可可以合并并为一项项，同时时消去互互为反变变量的那那个量。。如最小项ABC和就是相邻最小项。如：3．卡诺图图的结构构（2）三变量量卡诺图图（1）二变量量卡诺图图

A

Bm0m1m3m2

AB

00

01

11

10m0m1m3m2m4m5m7m6

A

B

Cm0m1m3m2m4m5m7m6

BC

00

01

11

10

A

01（3）四变量量卡诺图图卡诺图具具有很强强的相邻邻性：（1）直观相相邻性，，只要小小方格在在几何位位置上相相邻（不不管上下下左右）），它代代表的最最小项在在逻辑上上一定是是相邻的的。（2）对边相相邻性，，即与中中心轴对对称的左左右两边边和上下下两边的的小方格格也具有有相邻性性。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10

C

DAB

CD

00

01

11

10

AB

00

01

11

102.7.4用卡诺图图表示逻逻辑函数数1．从真值值表到卡卡诺图例：已知某逻逻辑函数数的真值值表，用用卡诺图图表示该该逻辑函函数。解：该函数为为三变量量，先画画出三变变量卡诺诺图，然然后根据据真值表将8个最小项项L的取值0或者1填入卡诺诺图中对对应的8个小方格格中即可可。000001010011100101110111ABC00010111L真值表ABC0000111110

A

B

C111100002．从逻辑辑表达式式到卡诺诺图（2）如不是是最小项项表达式式，应先先将其先先化成最最小项表表达式，，再填入入卡诺图图。也可由““与——或”表达达式直接接填入。。（1）如果表表达式为为最小项项表达式式，则可可直接填入卡诺诺图。解：写成简化形式：解：直接填入入：例：

用卡诺图表示逻辑函数:然后填入入卡诺图图：例：

用卡诺图表示逻辑函数：

C

D

A

B

GF

BC

00

01

11

10

A

011111000011111100000000002.7.5逻辑函数数的卡诺诺图化简简法1．卡诺图图化简逻逻辑函数数的原理理:（1）2个相邻的的最小项项可以合合并，消消去1个取值不不同的变变量。（2）4个相邻的的最小项项可以合合并，消消去2个取值不不同的变变量。

C

A

B

D1111111

C

A

B

D11111111（3）8个相邻的的最小项项可以合合并，消消去3个取值不不同的变变量。总之，2n个相邻的的最小项项可以合合并，消消去n个取值不不同的变变量。

C

A

B

D1111111111112．用卡诺诺图合并并最小项项的原则则（画圈圈的原则则）（1）尽量画画大圈，，但每个个圈内只只能含有有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项项。要特特别注意意对边相相邻性和和四角相相邻性。。（2）圈的个个数尽量量少。（3）卡诺图图中所有有取值为为1的方格均均要被圈圈过，即即不能漏漏下取值值为1的最小项项。（4）在新画画的包围围圈中至至少要含含有1个末被圈圈过的1方格，否否则该包包围圈是是多余的的。3．用卡诺诺图化简简逻辑函函数的步步骤：（1）画出逻逻辑函数数的卡诺诺图。（2）合并相相邻的最最小项，，即根据据前述原原则画圈圈。（3）写出化化简后的的表达式式。每一一个圈写写一个最最简与项项，规则则是，取取值为l的变量用用原变量量表示，，取值为为0的变量用用反变量量表示，，将这些些变量相相与。然然后将所所有与项项进行逻逻辑加，，即得最最简与—或表达式式。例：化简逻辑辑函数：：L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（1）由表达达式画出出卡诺图图。（2）画包围围圈，合合并最最小项，，得得简化的的与与—或表达式式:

C

A

B

D1111111111100000解：（1）由表达达式画出出卡诺图图。注意：图图中的绿绿色圈是是多余余的，应应去掉。例：用卡诺图图化简逻逻辑函数数：（2）画包围围圈合并并最小项项，得简化的的与—或表达式式:

C

A

B

D1111111100000000例：已知某逻辑辑函数的真真值表，用用卡诺图化化简该函数数。（2）画包围圈圈合并最小小项。有两种画圈圈的方法：：解：（1）由真值表表画出卡诺诺图。由此可见，，一个逻辑函函数的真值值表是唯一一的，卡诺诺图也是唯唯一的，但但化简结果果有时不是是唯一的。。（a）：写出表达式：

（b）：写出表达式：000001010011100101110111ABC01111110L真值表10110111

A

B

C

L10110111

A

B

C

L4．卡诺图化化简逻辑函函数的另一一种方法——圈0法例：已知逻辑函函数的卡诺诺图如图示示，分别用用“圈1法”和“圈圈0法”写出其其最简与—或式。（2）用圈0法，得：解：（1）用圈1法，得：对L取非得：

C

A

B

D1101111011111111

C

A

B

D11011110111111112.7.6具有无关项项的逻辑函函数的化简简1．无关项——在有些逻辑辑函数中，，输入变量量的某些取取值组合不不会出现，，或者一旦旦出现，逻逻辑值可以以是任意的的。这样的的取值组合合所对应的的最小项称称为无关项项、任意项项或约束项项。例：在十字路口口有红绿黄黄三色交通通信号灯，，规定红灯灯亮停，绿绿灯亮行，，黄灯亮等等一等，试试分析车行行与三色信信号灯之间间逻辑关系系。解：设红、绿、、黄灯分别别用A、B、C表示，且灯灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行行L=1，车停L=0。列出该函数数的真值。。显而易见，，在这个函函数中，有有5个最小项为为无关项。。带有无关项项的逻辑函函数的最小小项表达式式为：L=∑m（）+∑d（）如本例函数数可写成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）000001010011100101110111红灯A绿灯B黄灯C×01×0×××

车L

真值表2．具有无关关项的逻辑辑函数的化化简化简具有无无关项的逻逻