辽宁省县级重点高中联合体2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（解析版）

第19页/共19页高三期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则集合的子集个数为（）A.32 B.16 C.8 D.15【答案】B【解析】【分析】求出，确定集合中元素的个数，从而可求出子集个数.【详解】因为，所以其子集个数有个．故选：B2.若，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出复数的代数形式，再由复数的几何意义确定复数在复平面内的对应点的象限.【详解】因为，所以，故z在复平面内对应的点为，该点位于第四象限．故选：D.3.已知命题p：已知，则，，则：（）A.已知，则， B.已知，则，C.已知，则， D.已知，则，【答案】C【解析】【分析】将存在量词命题的否定为全称量词命题即可.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，有大前提的命题，其否定中大前提不变，又因为命题p：已知，则，，所以：已知，则，，故选：C.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别判断出的范围即可.【详解】因为，，，所以．故选：D5.鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具1枚独齿．已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要性的定义及题设描述，判断条件间的关系.【详解】“甲牙齿的枚数不大于1”，即甲无齿或有1枚独齿，故甲可为须鲸类或齿鲸类，充分性不成立；“甲为须鲸”，即甲无齿，故甲的牙齿的枚数不大于1，必要性成立；所以“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的必要不充分条件.故选：B6.钝角的内角的对边分别是，已知，且，则的周长为（）A.9 B. C.6 D.或9【答案】A【解析】【分析】由题知，，再分为钝角和为钝角两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为，所以，根据正弦定理边化角得，因为，所以，即所以，当为钝角时，，即，解得，，周长为；当为钝角时，，即，解得，，此时与为钝角时矛盾，故不成立；综上，的周长为.故选：A7.若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可.【详解】因为x＋2y＋xy＝7，所以，所以．因为，则所以，当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，所以x＋y的最小值为3．故选：D8.《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（）A.2颗 B.3颗 C.4颗 D.5颗【答案】B【解析】【分析】根据圆台体积公式求得一个石子的体积，再结合圆柱的体积公式，求得需要填充石子的体积，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：如图所示，因为，，，所以.因为原水位线的直径，投入石子后，水位线的直径，则由圆台公式可得：；因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，即则需要石子的个数为，所以至少共需要3颗石子.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.正方体的棱长为2，则（）A.异面直线和所成的角为 B.异面直线和所成的角为C.点到平面的距离为 D.点到平面的距离为【答案】BC【解析】【分析】连接，，，，可得异面直线和所成的角为，利用为等边三角形可判断AB；因为，根据等体积可得点到平面的距离可判断CD.【详解】如图，连接，，，，则，所以异面直线和所成的角为，因为，所以为等边三角形，即，故A错误，B正确；因为，所以，，所以，，所以，所以点到平面的距离为，故C正确，D错误.故选：BC.10.函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先根据当时，，时，，排除C，再举出适当的的值，分别得到ABD三个图象.【详解】由题意知，则，当时，，，，当时，，，，所以的大致图象不可能为C，而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；当时，定义域为，且，故函数为奇函数，所以B选项符合要求，当时，定义域为，且，故函数为偶函数，所以D选项符合要求.故选：ABD11.已知，则（）A.曲线在x＝e处的切线平行于x轴 B.的单调递减区间为C.的极小值为e D.方程没有实数解【答案】AC【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义可判断A；利用导数研究函数的单调性与极值可判断BCD【详解】因为（x＞0且），得，所以，，所以曲线在x＝e处的切线平行于x轴，故A正确；令，得x＞e，令，得0＜x＜1或1＜x＜e，所以在上单调递增，在和上单调递减，所以极小值为，故B错误，C正确；因为当0＜x＜1时，的图象与直线y＝－1有一个交点，所以方程有一个实数解，故D错误．故选：AC12.已知函数的定义域为，，且，当时，，则（）A.B.是偶函数C.当A，B是锐角的内角时，D.当，且，时，【答案】AD【解析】【分析】令x＝y＝0，可判断AB；利用单调性的定义证明在上单调递增，再由单调性结合三角形可判断C；用定义判断为等比数列，可判断D【详解】令x＝y＝0，得，故A正确．令x＝0，则，所以为奇函数，故B错误．任取，且，则．因为，所以，所以．因为，，所以，，即在上单调递增．因为A，B是锐角的内角，所以，所以，所以．因为，，所以，故C错误．因为，且，所以．令y＝－x，则，令，则，所以．因，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故D正确．故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，则______．【答案】【解析】【分析】由诱导公式化简后，直接利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，故答案为：.14.设等差数列的前n项和为，若，则______．【答案】45【解析】【分析】根据等差数列的性质结合求和公式求解即可.【详解】由等差数列的性质可知，则，故．故答案为：45.15.已知向量，，若，则m＝______．【答案】5【解析】【分析】由数量积运算律与数量积的坐标运算求解即可【详解】因为，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，解得．故答案为：516.若过轴上一点所作的曲线C：的切线有且只有一条，则的一个可能值为______，此时的切线方程为______．【答案】①.或1②.或【解析】【分析】设切点坐标,表示出切线方程,再根据切线过定点建立方程即可求解.【详解】（注意：只需从这两组答案中选择一组作答即可）设切点，因为，所以切线方程为．因为切线l经过点P，所以,则关于的方程只有一个实数解．即只有一个实数解，由，解得或．当时，，此时切线方程为；当时，，此时切线方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数是奇函数．（1）求的值；（2）已知，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求出参数值，再检验即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．【小问1详解】函数的定义域为，又因为是奇函数，则，解得；经检验，故成立；【小问2详解】因为对任意，有所以在上单调递增又，所以解得18.函数的部分图象如图所示，将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据函数的俄部分图像可确定的值，利用点代入可求得，可得，根据三角函数图象的变换可得的解析式；（2）根据，确定，结合正弦函数的性质即可确定在上的值域．【小问1详解】由图象可知，，则，所以．将点代入函数解析式可得，知，，得，所以．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向上平移1个单位长度后，得到的图象，所以．小问2详解】因为，所以，令，则．因为，所以，所以．19.设等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记，若，求m．【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）用基本量表示题干条件，求解即可；（2）代入，求解可得，再代入，求解即可.【小问1详解】设的公比为q，则，解得所以的通项公式为．【小问2详解】因为，所以，，．由，整理得，解得m＝4或（舍去），故m＝4．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，PA＝PD，，，AD＝CD＝2，AB＝3，E是棱AD的中点．（1）证明：平面PCE；（2）若，求平面PCE与平面PAB所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在棱AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE，可得四边形AFCD是正方形，再结合勾股定理逆定理可得，再由面面垂直的性质可得平面ABCD，则，再利用线面垂直的判定可得结论；（2）以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：在棱AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE．因为，，AD＝CD＝2，所以四边形AFCD是正方形，因为E是棱AD的中点，所以，所以，，从而，故．因为PA＝PD，且E是棱AD的中点，所以．因为平面平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，所以平面ABCD．因为平面ABCD，所以．因为平面PCE，平面PCE，且，所以平面PCE．【小问2详解】解：以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意可知，，，，则，．设平面PAB的法向量为，则，令x＝2，得．由（1）可知平面PCE，则平面PCE的一个法向量为．设平面PCE与平面PAB所成角为，由图可知为锐角，所以，所以平面PCE与平面PAB所成角的余弦值为.21.人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥肠辘辘的猎豹，猎豹正目不转睛地盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上．（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离．（2）若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以28m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹狩猎成功的最短时间；若不能，请说明原因．【答案】（1）见解析；（2）有，.【解析】【分析】（1）由题意及正弦定理可解得，分或讨论，得解；（2）设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点，，由余弦定理建立方程，解方程即可得解.【小问1详解】如图，，，由正弦定理，可得，因此或，当时，，猎豹与羚羊之间的距离为；当时，，猎豹与羚羊之间的距离为.【小问2详解】由(1)可知，若猎豹到点C处比到点B处羚羊的距离更近，则.设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点，，则，所以，整理得，解得（负根舍去），因为，所以猎豹这次捕猎有成功的可能，且狩猎成功的最短时间为.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当a＝1时，若函数有两个零点，求实数t的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）分，，讨论求解即可；（2）由题意可知关于x的方程有两个不同的实根，进而，令，要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．令，利用导数法研究的零点即可【小问1详解】因为，所以．当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，由解得，由解得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，所以在上单调递减．综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减．【小问2详解】当时，，则，所以关于x的方程有两个不同的实根，即关于x的方程有两个不同的实根．因为x＞0，所以．令，则，所以在上单调递增．要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．令，则．当时，，单