泛函分析丁时进教授课件

演讲者：丁时进教授

时间：2006年11月30日分析数学中的若干问题演讲者：丁时进教授

时间：2006年11月30日分析数一.分析数学的发展历程：1.初创

现代分析数学的发展应该起源于微积分的发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数“的理论的完善也归功于极限论的建立。

经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿（1642——1727）和莱布尼茨（1646——1716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。一.分析数学的发展历程：1.初创

在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等著名学者使微积分学产生萌芽。

牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量流数术：流数术：泛函分析丁时进教授课件“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”——牛顿的微分和积分的观点——互逆运算：微积分学基本定理。(1736年发表)

莱布尼兹：考察切线，第一次引入了符号，沿用至今。“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”——牛顿的微分和

1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘已死量的幽灵’，因为是费马略去的无穷小量，还是牛顿的，一直到莱布尼茨的,又是又不是，招之即来，挥之即去，“鬼使神差”。达朗贝尔——将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系。

1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘已死量的幽灵’，因

欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天文，物理，力学问题，著有《无穷小分析引论》。

拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶在分析学方面都作出了巨大贡献。

欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数

但至此，微积分学的基础还没有找到合适的解决办法。所以，法国哲学家伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一个其存在性是无从想象的东西的艺术。”但至此，微积分学的基础还没有找

柯西《分析教程》：“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值，其差可以任意小，则该固定值称为这一串数的极限”，他将分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无限趋向”，“要多小就有多小”一类不严格的语言。魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思想“算术化”，出现了至今通用的语言。语言——柯西准则——构成微积分的基础“极限论”的基础。2.微积分的基础柯西《分析教程》：“若代表某变量的一串数值无限地趋3.实数理论

在十九世纪分析学发展的同时，人类也完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成了一个循环论证。梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极限论的实数理论。3.实数理论在十九世纪分析学发展的

勒贝格（1875-1941）——创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。复变函数论的发展，形成复分析。以函数空间为背景的泛函和算子理论——泛函分析。此外还有傅立叶分析等。4.20世纪分析学的发展勒贝格（1875-1941）——创立可列可加测度的

20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。流形上的分析结合了微分几何学—偏微分方程—多复变函数论，成为当代数学的主流方向。外微分形式—反函数理论，成为当代分析学的基础知识。20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理

同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理论是算子理论。泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔伯特空间—巴拿赫空间—广义函数论成为常识。现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的

从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫长的历史。数学成为现代科学的基础，已经成为人类的共识。二.从“数“到”泛函分析“的知识体系从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫数（自然数—整数—有理数—实数—复数）变量函数（描述变量之间的变化关系）极限函数的分析性质，实数理论的建立（有限维欧式空间上的定义的函数）实分析（Lebesgue积分理论函数空间的研究（Hilbert空间，Banach空间——无限维空间）函数空间上定义的函数，即泛函或算子数（自然数—整数—有理数—实数—复数）变量函数（描述变量之间

派生：微分几何学，复变函数，微分方程等；现代：流形—流形上的分析学。派生：微分几何学，复变函数，微分方程等；三、用现代数学的观点看已学过数学知识从上面的发现过程看来，可以归结为：三、用现代数学的观点看已学过数学从上面的发现过程看来，可以归

第一阶段：变量取的是“数“，函数就是通常所说的函数第二阶段：变量取的是“函数空间中的元素”函数变成了泛函。所以，总是首先对变量所在的“空间”研究清楚，才能研究定义在这个“空间”上的“函数”。

变量所在的“空间”，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他上面定义的分析性质来说，“空间”的分析性质是十分重要的。第一阶段：变量取的是“数“，函数就是通常所说的函数

小学就开始学习“距离空间”。如，直线上点与点之间的距离。中学时学习的作为两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离。

其实，现在我们知道，还可以采用很多方法定义距离。小学就开始学习“距离空间”。如，直线作为两个点(x1,2.在空间上定义拓扑——定义收敛性2.在空间上定义拓扑——定义收敛性泛函分析丁时进教授课件

一般说来，中有界闭集合一定是紧的，这就是数学分析中所说的致密性定理。

一般说来，中有界闭集合一定是紧

但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连续性“条件（Arzela--Ascoli）.但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，5.现在我们看看“函数空间”1°在上连续的函数的全体构成一个集合。按照通常的加法和数乘，构成一个线性空间，把里面的元素视为点。5.现在我们看看“函数空间”1°在上连续的函数的全体泛函分析丁时进教授课件泛函分析丁时进教授课件泛函分析丁时进教授课件1˚Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它是Lebesgue可积的.2˚积分与极限交换顺序的问题6.另三个典型的例子可以看到人类认识的发展：1˚Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它是Le泛函分析丁时进教授课件3˚在通常意义和Lebesgue意义下都无法解释的“函数”3˚在通常意义和Lebesgue意义下都无法解释的泛函分析丁时进教授课件四、几个问题a.极值问题——从函数极值到短程线问题四、几个问题a.极值问题——从函数极值到短程线问题半正定——极小半负定——极大半正定——极小半负定——极大泛函的极值：短程线，障碍问题泛函的极值：短程线，障碍问题（1）捷线问题：初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定点A滑行到定点B（B低于A但不在同一条垂直于地面的直线上），为使滑行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？AyBx（1）捷线问题：初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定分析：分析：泛函分析丁时进教授课件AyBxAyBx(2)短程线众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：要在山坡上修建一条最短的公路连接两个居民点A、B，问如何选线？分析：设山坡的曲面方程为F(x,y,z)=0,设连接A、B的曲线为：y=y(x)z=z(x)(2)短程线众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那则A、B间曲线

的弧长是所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值则A、B间曲线的弧长是所以，要在约束条件F(x,y,（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成最大面积的曲线。设曲线方程为

是定长，则面为，

求A在约束条件之下求最小值————等周问题。（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年（1）在具有给定周长的所有平面图形中，圆的面积最大。

（2）在所有给定面积的平面图形中，圆的周长最小。

（1’）在具有给定表面积的所有立体图形中，球的体积最大。

（2’）在具有给定体积的所有立体图形中，球的表面积最小。等周定理：其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了（4）绕过障碍拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘，则弧长为但是要保证其中是W的边界方程。（4）绕过障碍拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘泛函分析丁时进教授课件（5）球面上的短程线（6）不动点定理－从一维到高维－求解非线性问题i.设在上连续，且，则存在,使得即：连续且将映到自身，那么在中有不动点，此为Schauder不动点。（5）球面上的短程线（6）不动点定理－从一维到高维－求i.ii.压缩映象原理如果函数定义在上，且存在使得那么存在唯一的使得iii.高维

如果一个连续映射φ把一个闭单位球映到自己，那么这个闭单位球内有这个映射的不动点。还有类似的压缩映射原理ii.压缩映象原理如果函数定义在iv.无限维在Banach空间上，有Schauder不动点原理，Brower不动点原理，Leray－Schauder不动点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。iv.无限维在Banach空间上，有Schauder不动点原五、总结——可供选择的题目1、变分问题

3、函数方程常见解法4、隐函数定理及其应用2、不动点定理及其应用五、总结——可供选择的题目1、变分问题3、函数方程常见解法5、中学如何讲授微积分（在没有的情况下）6、中学数学问题中的微分方程7、从分析角度谈数系8、球面上三角形的计算问题5、中学如何讲授微积分6、中学数学问题中的微分方程7、从分析9、函数的迭代11、无穷大量对中学数学的指导意义（有界、无界、渐近线等）12、不等式的证明——从离散到积分形式（函数的导数、积分、凹凸性）10、复数方法解决中数问题13、用拓扑的观点看函数的连续性和一致连续性9、函数的迭代11、无穷大量对中学数学的指导意义12、不等式六、现在，把上面提到的有些问题作一些解释1、关于函数方程六、现在，把上面提到的有些问题作1、关于函数方程泛函分析丁时进教授课件泛函分析丁时进教授课件其他函数方程：①②③其他函数方程：①②③其他方程如：待定系数法、极限、幂级数法其他方程如：待定系数法、极限、幂级数法微积分法还可用于

可以从已知函数所满足的关系式反过来思考，再讨论一些函数方程。参考文献：王向东等著，函数方程及其应用，上海科技文献出版社，2003微积分法还可用于可以从已知函数所满足的关系式反2、函数的迭代与不动点设连续函数f:R→R，复合函数f(f(x))记作f2(x)≡f(f(x)),类似的定义f(f(f(x)))=f3(x),…,f(f(…f(x)…))=fn(x),称为函数的迭代。视n次迭代fn

为R中的一个映射。2、函数的迭代与不动点设连续函数f:R→R，复合函数f

若存在x∈R，使fn(x)=x，则称x是映射fn

的不动点。fn

的不动点的集合记作Fix(fn)

可以考察：n→∞，极限是什么（对具体函数或给f一定的条件）?

也可以考察，在哪些条件下，fn

有不动点，Fix(fn)有什么性质？若存在x∈R，使fn(x)=x，则称x是映射fn3、用不动点解非线性问题或用迭代法求解非线性问题例：设f(x)在[a,b]上连续，且a≤f(x)≤b，

x

∈[a,b]，求证存在x0∈[a,b]，使x0=f(x0)思想：选x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn)，n=1，2，‥证明{xn}收敛且极限x0就是不动点。思考：①推广到高维映射；②应用到其他的问题；3、用不动点解非线性问题或用迭代法求解非线性问题例*2006年高考题：A是由定义在[2,4]上具有满足如下条件的函数组成的集合：*2006年高考题：A是由定义在[2,4]上具有满足如泛函分析丁时进教授课件4、解微分不等式——Gronwall不等式

由在一定条件下研究的性质，推广到其他多种变形。

Gronwall不等式是研究偏微分方程的重要工具。4、解微分不等式——Gronwall不等式由5、常微分方程有限时刻爆破的问题例：对一阶非线性常微分方程

当满足什么条件时，一定在某个有限时刻爆破，即：

也可研究任意时刻不爆破.5、常微分方程有限时刻爆破的问题例：对一阶非线性常微分方程

还可以推广到高阶非线性常微分方程的初值问题或边值问题。甚至可以推广到偏微分方程还可以推广到高阶非线性常微分方程的初值问题或边*科学研究常用步骤：

选题＝＞调研＝＞收集资料（卡片）＝＞写作＝＞遇到问题再查资料

＝＞解决一部分问题＝＞推广*科学研究常用步骤：选题＝＞调研＝＞收集资料（卡片11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。

3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。

4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。

关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例

环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？

明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。

明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2．第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3．第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4．作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5．第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1．在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2．反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如“野芳发而幽香，佳木秀而繁阴”“朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也”。(2)文章多用判断句，层次极其分明，抒情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法

文本举例表并列 1.蔚然而深秀者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进 1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接 1.渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；2.若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；3.野芳发而幽香，佳木秀而繁阴；4.水落而石出者；5.临溪而渔；6.太守归而宾客从也；7.人知从太守游而乐表修饰 1.朝而往，暮而归；2.杂然而前陈者表转折 1.而不知人之乐；2.而不知太守之乐其乐也虚词“之”的用法用法

文本举例表助词“的” 1.泻出于两峰之间者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之乐；4.山间之朝暮也；5.宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性

而不知太守之乐其乐也表代词 1.望之蔚然而深秀者；2.名之者谁(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之乐)【教学提示】

更多文言现象请参见《我的积累本》。三、板书设计路线：环滁——琅琊山——酿泉——醉翁亭风景：朝暮之景——四时之景山水之乐(醉景)风俗：滁人游——太守宴——众宾欢——太守醉宴游之乐(醉人)

心情：禽鸟乐——人之乐——乐其乐与民同乐(醉情)

可取之处

重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注“直译”原则，同时培养学生的“意译”能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有助于培养学生的核心素养。

不足之处

文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。

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1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

演讲者：丁时进教授

时间：2006年11月30日分析数学中的若干问题演讲者：丁时进教授

时间：2006年11月30日分析数一.分析数学的发展历程：1.初创

现代分析数学的发展应该起源于微积分的发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数“的理论的完善也归功于极限论的建立。

经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿（1642——1727）和莱布尼茨（1646——1716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。一.分析数学的发展历程：1.初创

在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等著名学者使微积分学产生萌芽。

牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量流数术：流数术：泛函分析丁时进教授课件“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”——牛顿的微分和积分的观点——互逆运算：微积分学基本定理。(1736年发表)

莱布尼兹：考察切线，第一次引入了符号，沿用至今。“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”——牛顿的微分和

1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘已死量的幽灵’，因为是费马略去的无穷小量，还是牛顿的，一直到莱布尼茨的,又是又不是，招之即来，挥之即去，“鬼使神差”。达朗贝尔——将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系。

1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘已死量的幽灵’，因

欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天文，物理，力学问题，著有《无穷小分析引论》。

拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶在分析学方面都作出了巨大贡献。

欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数

但至此，微积分学的基础还没有找到合适的解决办法。所以，法国哲学家伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一个其存在性是无从想象的东西的艺术。”但至此，微积分学的基础还没有找

柯西《分析教程》：“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值，其差可以任意小，则该固定值称为这一串数的极限”，他将分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无限趋向”，“要多小就有多小”一类不严格的语言。魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思想“算术化”，出现了至今通用的语言。语言——柯西准则——构成微积分的基础“极限论”的基础。2.微积分的基础柯西《分析教程》：“若代表某变量的一串数值无限地趋3.实数理论

在十九世纪分析学发展的同时，人类也完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成了一个循环论证。梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极限论的实数理论。3.实数理论在十九世纪分析学发展的

勒贝格（1875-1941）——创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。复变函数论的发展，形成复分析。以函数空间为背景的泛函和算子理论——泛函分析。此外还有傅立叶分析等。4.20世纪分析学的发展勒贝格（1875-1941）——创立可列可加测度的

20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。流形上的分析结合了微分几何学—偏微分方程—多复变函数论，成为当代数学的主流方向。外微分形式—反函数理论，成为当代分析学的基础知识。20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理

同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理论是算子理论。泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔伯特空间—巴拿赫空间—广义函数论成为常识。现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的

从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫长的历史。数学成为现代科学的基础，已经成为人类的共识。二.从“数“到”泛函分析“的知识体系从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫数（自然数—整数—有理数—实数—复数）变量函数（描述变量之间的变化关系）极限函数的分析性质，实数理论的建立（有限维欧式空间上的定义的函数）实分析（Lebesgue积分理论函数空间的研究（Hilbert空间，Banach空间——无限维空间）函数空间上定义的函数，即泛函或算子数（自然数—整数—有理数—实数—复数）变量函数（描述变量之间

派生：微分几何学，复变函数，微分方程等；现代：流形—流形上的分析学。派生：微分几何学，复变函数，微分方程等；三、用现代数学的观点看已学过数学知识从上面的发现过程看来，可以归结为：三、用现代数学的观点看已学过数学从上面的发现过程看来，可以归

第一阶段：变量取的是“数“，函数就是通常所说的函数第二阶段：变量取的是“函数空间中的元素”函数变成了泛函。所以，总是首先对变量所在的“空间”研究清楚，才能研究定义在这个“空间”上的“函数”。

变量所在的“空间”，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他上面定义的分析性质来说，“空间”的分析性质是十分重要的。第一阶段：变量取的是“数“，函数就是通常所说的函数

小学就开始学习“距离空间”。如，直线上点与点之间的距离。中学时学习的作为两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离。

其实，现在我们知道，还可以采用很多方法定义距离。小学就开始学习“距离空间”。如，直线作为两个点(x1,2.在空间上定义拓扑——定义收敛性2.在空间上定义拓扑——定义收敛性泛函分析丁时进教授课件

一般说来，中有界闭集合一定是紧的，这就是数学分析中所说的致密性定理。

一般说来，中有界闭集合一定是紧

但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连续性“条件（Arzela--Ascoli）.但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，5.现在我们看看“函数空间”1°在上连续的函数的全体构成一个集合。按照通常的加法和数乘，构成一个线性空间，把里面的元素视为点。5.现在我们看看“函数空间”1°在上连续的函数的全体泛函分析丁时进教授课件泛函分析丁时进教授课件泛函分析丁时进教授课件1˚Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它是Lebesgue可积的.2˚积分与极限交换顺序的问题6.另三个典型的例子可以看到人类认识的发展：1˚Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它是Le泛函分析丁时进教授课件3˚在通常意义和Lebesgue意义下都无法解释的“函数”3˚在通常意义和Lebesgue意义下都无法解释的泛函分析丁时进教授课件四、几个问题a.极值问题——从函数极值到短程线问题四、几个问题a.极值问题——从函数极值到短程线问题半正定——极小半负定——极大半正定——极小半负定——极大泛函的极值：短程线，障碍问题泛函的极值：短程线，障碍问题（1）捷线问题：初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定点A滑行到定点B（B低于A但不在同一条垂直于地面的直线上），为使滑行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？AyBx（1）捷线问题：初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定分析：分析：泛函分析丁时进教授课件AyBxAyBx(2)短程线众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：要在山坡上修建一条最短的公路连接两个居民点A、B，问如何选线？分析：设山坡的曲面方程为F(x,y,z)=0,设连接A、B的曲线为：y=y(x)z=z(x)(2)短程线众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那则A、B间曲线

的弧长是所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值则A、B间曲线的弧长是所以，要在约束条件F(x,y,（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成最大面积的曲线。设曲线方程为

是定长，则面为，

求A在约束条件之下求最小值————等周问题。（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年（1）在具有给定周长的所有平面图形中，圆的面积最大。

（2）在所有给定面积的平面图形中，圆的周长最小。

（1’）在具有给定表面积的所有立体图形中，球的体积最大。

（2’）在具有给定体积的所有立体图形中，球的表面积最小。等周定理：其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了（4）绕过障碍拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘，则弧长为但是要保证其中是W的边界方程。（4）绕过障碍拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘泛函分析丁时进教授课件（5）球面上的短程线（6）不动点定理－从一维到高维－求解非线性问题i.设在上连续，且，则存在,使得即：连续且将映到自身，那么在中有不动点，此为Schauder不动点。（5）球面上的短程线（6）不动点定理－从一维到高维－求i.ii.压缩映象原理如果函数定义在上，且存在使得那么存在唯一的使得iii.高维

如果一个连续映射φ把一个闭单位球映到自己，那么这个闭单位球内有这个映射的不动点。还有类似的压缩映射原理ii.压缩映象原理如果函数定义在iv.无限维在Banach空间上，有Schauder不动点原理，Brower不动点原理，Leray－Schauder不动点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。iv.无限维在Banach空间上，有Schauder不动点原五、总结——可供选择的题目1、变分问题

3、函数方程常见解法4、隐函数定理及其应用2、不动点定理及其应用五、总结——可供选择的题目1、变分问题3、函数方程常见解法5、中学如何讲授微积分（在没有的情况下）6、中学数学问题中的微分方程7、从分析角度谈数系8、球面上三角形的计算问题5、中学如何讲授微积分6、中学数学问题中的微分方程7、从分析9、函数的迭代11、无穷大量对中学数学的指导意义（有界、无界、渐近线等）12、不等式的证明——从离散到积分形式（函数的导数、积分、凹凸性）10、复数方法解决中数问题13、用拓扑的观点看函数的连续性和一致连续性9、函数的迭代11、无穷大量对中学数学的指导意义12、不等式六、现在，把上面提到的有些问题作一些解释1、关于函数方程六、现在，把上面提到的有些问题作1、关于函数方程泛函分析丁时进教授课件泛函分析丁时进教授课件其他函数方程：①②③其他函数方程：①②③其他方程如：待定系数法、极限、幂级数法其他方程如：待定系数法、极限、幂级数法微积分法还可用于

可以从已知函数所满足的关系式反过来思考，再讨论一些函数方程。参考文献：王向东等著，函数方程及其应用，上海科技文献出版社，2003微积分法还可用于可以从已知函数所满足的关系式反2、函数的迭代与不动点设连续函数f:R→R，复合函数f(f(x))记作f2(x)≡f(f(x)),类似的定义f(f(f(x)))=f3(x),…,f(f(…f(x)…))=fn(x),称为函数的迭代。视n次迭代fn

为R中的一个映射。2、函数的迭代与不动点设连续函数f:R→R，复合函数f

若存在x∈R，使fn(x)=x，则称x是映射fn

的不动点。fn

的不动点的集合记作Fix(fn)

可以考察：n→∞，极限是什么（对具体函数或给f一定的条件）?

也可以考察，在哪些条件下，fn

有不动点，Fix(fn)有什么性质？若存在x∈R，使fn(x)=x，则称x是映射fn3、用不动点解非线性问题或用迭代法求解非线性问题例：设f(x)在[a,b]上连续，且a≤f(x)≤b，

x

∈[a,b]，求证存在x0∈[a,b]，使x0=f(x0)思想：选x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn)，n=1，2，‥证明{xn}收敛且极限x0就是不动点。思考：①推广到高维映射；②应用到其他的问题；3、用不动点解非线性问题或用迭代法求解非线性问题例*2006年高考题：A是由定义在[2,4]上具有满足如下条件的函数组成的集合：*2006年高考题：A是由定义在[2,4]上具有满足如泛函分析丁时进教授课件4、解微分不等式——Gronwall不等式

由在一定条件下研究的性质，推广到其他多种变形。

Gronwall不等式是研究偏微分方程的重要工具。4、解微分不等式——Gronwall不等式由5、常微分方程有限时刻爆破的问题例：对一阶非线性常微分方程

当满足什么条件时，一定在某个有限时刻爆破，即：

也可研究任意时刻不爆破.5、常微分方程有限时刻爆破的问题例：对一阶非线性常微分方程

还可以推广到高阶非线性常微分方程的初值问题或边值问题。甚至可以推广到偏微分方程还可以推广到高阶非线性常微分方程的初值问题或边*科学研究常用步骤：

选题＝＞调研＝＞收集资料（卡片）＝＞写作＝＞遇到问题再查资料

＝＞解决一部分问题＝＞推广*科学研究常用步骤：选题＝＞调研＝＞收集资料（卡片11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。

3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。

4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。

关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例

环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？

明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春