第二十章曲线积分-ppt课件

1、实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值准确值准确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段

2、个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 2.存在条件：存在条件

3、：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推行推行曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 留意：留意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数4.性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsy

4、xfdsyxgyxf).(),(),()2(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL ( ,)g( ,)LLf x y dsx y ds与都存在，(4)5( ,y) s( , )LLf xdf x y ds若存在，则也存在，6( ,y) sLf xd ( )若存在，L的弧长为s,则存在常数c,使得( ,y) s=csLf xd定理定理且且上有一阶连续导数上有一阶连续导数在在其中其中参数方程为参数方程为的的上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设, , )( ),()( ),(),( ,),( ttt

5、tytxLLyxf dtttttfdsyxfL )()()( ),(),(22)( 证略。证略。 ).(),( :tytxL 这里，这里，. t. )()(22dtttds 曲线积分定积分(1) L：y=y(x), axb假设 y(x)C1(a, b). 有xxyxyxfsyxfbaLd)(1) )(,(d ),(2( a b )xxysd)(1d2 计算：计算：(2) L：x=x(y), cyd假设 x(y)C1(c, d). 有yyxyyxfsyxfdcLd)(1),(d ),(2( c d )yyxsd)(1d2例例1. 1. 计算计算.dsyL其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点

6、(2, 2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31(3) L：x=(t), y=(t), ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d ),(22( )留意留意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc . .),(:dycyyyxL . )(12dyyds 特殊

7、情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL . ).(,:bxaxyxxL . )(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba ).(),( :tytxL 1. 曲线曲线. t对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式dtttttfdsyxfL )()()( ),(),(22那那么么2. 曲线曲线.)(:bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL .)(:dycyxL 3. 曲线曲线.)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL 那那么么那那么么推行推行: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),()

8、,(222 dtttttttfdszyxf例例1. 1. 计算计算.dsyL其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例2. 2. 计算计算Lsyxd)(L: 衔接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO.解：解：L分段光滑分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(

9、10 xxsyxOAOA: y=0, 0 x1O2AByx110d5)22(d)(xxxsyxABAB: y=22x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( Lsyx)535(21O2AByx1例例3. 3. 计算计算Lsyxd)(22其中L: x2+y2=a2.L: x=acos t, y=asin t, 0t2Lsyxd)(22ttatatatad)cos()sin()sincos(22222022taad20232 a(4) 空间R3中的曲线：x=(t), y=(t), z=(t), tszyxfd),(

10、xyzOtttttttfd)()()()(),(),(222( )例例4. 4. 计算计算.d)(23szyx其中：从点A(3, 2, 1)到点O(0, 0, 0)的直线段.解：直线段解：直线段 AO 方程：方程：123zyx化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.ttttszyxd123)2()3(d)(222210323tt d143110314431例例52,:,(0,0)(1,1).LIydsL yx求其中从到一段解解dxxxI)(12102 . 10:2 xxyLdxxx21041 )155(121 例例6)20(.,sin,cos:,)(222 的的一一段段其其中中

11、求求kzayaxdszyxI解解).43(3222222kaka dkaakaa222222222)cos()sin(sincos 20I 2022222)(dkaka例例7 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa例例8).(,sin,cos: ,象象限限第第椭椭圆圆其其中中求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossinc

12、ossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab ,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t Lxyds.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 2023222222sin)(32)(2 btbabaabdttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab Lxyds例例9其其中中计计算算 . )( Ldsyx解解. 0)

13、( x 的的直直线线；到到点点点点 )0 , 2( )0 , 0( : )1(AoL的的直直线线；到到点点点点 )3 , 2( )0 , 2( : )2(BALAxyo23B(1) L：. 20 , 0)( xxy Ldsyx)(dxx 20201 )0(dxx 20 . 2 . 0)( x (2) L：. 30 , 2)( yyx Ldsyx)(dyy 30201 )2(dyy 30 )2(.221 例例10.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsIL解解dyyy222)2(1 . 0 xy42 xyo12 2. 22 ,4)( :2 yyyxL .2

14、)(yy LydsIdyyy41222 例例11解解直直其中曲线其中曲线计算计算 , . 222 22ayxdseLyx 形形边边界界。在在第第一一象象限限中中所所围围的的图图线线 , 0 xyx dseLyx 22xyo2 2 aAB.0 , 0 :ayxoA . 0 xdseoAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedsedsedseoByxAByxoAyx 222222 xyo2 2 aAB.0 , 0 :ayxoA . 0 xdseoAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedttataetata )sin()cos(2224)sin(

15、)cos(22 .24 ,sin ,cos : ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax dttataetata )sin()cos(2224)sin()cos(22 dtaea 24 .6aea .24 ,sin ,cos : ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax .2 20 , :axxyoB . 1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 xyo2 2 aAB于是，于是，dseLyx 22dsedsedseoByxAByxoAyx 222222 )1(4)1( aaaeeae . 2)42( aea . 1 aed

16、xeax 2220 2 .2 20 , :axxyoB . 1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 ,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),( ),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz ,)1(曲曲线线弧弧的的转转动动惯惯量量.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的质心坐标曲线弧的质心坐标)2(., LLLLdsdsyydsdsxx ,)(220 LdsyxI 例例9 ).(,sin,cos: ttRytRxL解解: 如图设置坐标系如图设置坐标系dttRtRtR2222cos)sin(sin .1(2,）设设线线密密度度为为它它的的对对称称轴轴的的转转动动惯惯量量对对于于的的圆圆弧弧中中心心角角为为计计算算半半径径为为LR xy LxdsyI2tdtR 23sin).cossin(3 R1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对