理论力学07刚体的平面运动课件

1第七章刚体的平面运动1第七章刚体的平面运动2例如:曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动．运动学2例如:曲柄连杆机构中连杆AB的运动，3运动学请看动画3运动学请看动画4

刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式．运动学§7-1刚体平面运动及其分解一、平面运动的定义

在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．4刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这5运动学

二．平面运动的简化

刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动．即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．5运动学二．平面运动的简化6运动学

三．平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．

任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S的位置决定于三个独立的参变量．所以6运动学三．平面运动方程任意线段AB的位置可用A点7

四．平面运动分解为平动和转动当图形Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动当图形Ｓ上

角不变时，则刚体作平动．故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．运动学平面运动方程对于每一瞬时

t

，都可以求出对应的，图形S在该瞬时的位置也就确定了。7四．平面运动分解为平动和转动运动学平面运动方程对于每一瞬8运动学例如车轮的运动．车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成．

车轮对于静系的平面运动（绝对运动）车厢（动系Axy)相对静系的平动（牵连运动）车轮相对车厢（动系Axy）的转动（相对运动）

8运动学例如车轮的运动．车轮的平面运动可以看成是9运动学

我们称动系上的原点Ａ为基点，于是车轮的平面运动随基点A的平动绕基点A'的转动刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．9运动学我们称动系上的原点Ａ为基点，于是车轮的平面运动随基10运动学

再例如:平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II以A为基点:

随基点A平动到A'B''后,绕基点转角到A'B'以B为基点:

随基点B平动到A''B'后,绕基点转角到A'B'图中看出：ABA'B''A''B'，于是有10运动学再例如:平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到11运动学

所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点)11运动学所以，平面运动随基点平动的运动规12运动学曲柄连杆机构AB杆作平面运动平面运动的分解（请看动画）12运动学曲柄连杆机构AB杆作平面运动（请看动画）13§7-2平面图形上任意点速度的求法

运动学根据速度合成定理则Ｂ点速度为：

一．基点法（合成法）取B为动点,则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成已知：图形S内一点A的速度，图形角速度求：指向与转向一致．取A为基点,将动系固结于A点,动系作平动。13§7-2平面图形上任意点速度的求法14由于A,B点是任意的，因此表示了图形上任意两点速度间的关系．由于恒有，因此将上式在AB上投影，有—速度投影定理即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等．这种求解速度的方法称为速度投影法．运动学即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．二．速度投影法14—速度投影定理即平面图形上任意两点的速度在该两点连线15

三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）

1.问题的提出若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？运动学

２．速度瞬心的概念平面图形S，某瞬时其上一点A速度,图形角速度，沿方向取半直线AL,然后顺的转向转90o至AL'的位置,在AL'上取长度则： 15三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）运动学16

即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．（是否会有两个速度瞬心？）运动学３．几种确定速度瞬心位置的方法

①已知图形上一点的速度和图形角速度，可以确定速度瞬心的位置．（P点）且Ｐ在顺转向绕A点转90º的方向一侧．

②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点P为速度瞬心．16即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该17

运动学

④

已知某瞬时图形上A,B两点速度大小,且(b)(a)

③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度的方向，且过A,B两点分别作速度的垂线,交点

P即为该瞬间的速度瞬心.（相对速度/相对距离）17运动学④已知某瞬时图形上A,B两点速度(b18

运动学另：对种(a)的情况，若vA＝vB，则是瞬时平动．⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直．此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平动.(此时各点的加速度不相等)18运动学另：对种(a)的情况，若vA＝vB，⑤已19

例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．此时连杆BC的图形角速度，BC杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等．设匀，则而的方向沿AC的，瞬时平动与平动不同运动学19例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC20

运动学⑥纯滚动平面运动刚体在地面上滚动的情况。假定与地面始终接触，接触点C处既不能相互离开、也不能相互侵彻，所以刚体上的接触点C的速度一定沿接触处的切线方向、或者为零。当不恒等于零、且接触点相对于刚体的位置不断改变时，刚体的运动称为有滑动的滚动；当vC≡0、且接触点相对于刚体的位置不断改变时，称刚体作无滑动的滚动或纯滚动。因此，纯滚动时，每一瞬时的接触点就是刚体的速度瞬心。实际中纯滚动的物体很多，如各种车轮在常规情况下就作纯滚动，因此纯滚动是刚体的一种重要运动形式20运动学⑥纯滚动21４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度方向AP，指向与一致。

运动学５.注意的问题

速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。

速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动

刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。21４.速度瞬心法运动学５.注意的问题22解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。

基点法（合成法）研究AB，以A为基点，且方向如图示。j=vvsin/wwwwwjww===\===←==llABvllvvllBAABABAAB//45ctgctg)(245sin/

oo（）运动学[例1]

已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀转动。求：当=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度．根据在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。22解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运基点法（合成法23（）试比较上述三种方法的特点。运动学根据速度投影定理不能求出

速度投影法研究AB,

,方向OA,方向沿BO直线

速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可确定出P点为速度瞬心23（）试比较上述三种方法的特点。运动学根据速度投影定理24§7-3平面图形上任意点加速度的求法取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．于是,由牵连平动时加速度合成定理可得如下公式．运动学一.基点法(合成法)已知：图形S内一点A的加速度和图形的,（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。24§7-3平面图形上任意点加速度的求法取A为基点，将平25其中：，方向AB，指向与一致；，方向沿AB，指向A点。运动学即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。绕基点转动的切向加速度和法向加速度称为B相对于A的加速度上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。25其中：，方向AB，指向与一致；运动学即平26

二．加速度瞬心．由于的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心．运动学[注]

一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点．

一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式.即一般情况下,图形上任意两点A,B的加速度

若某瞬时图形=0,即瞬时平动,则有即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等．26二．加速度瞬心．运动学[注]一般情况下,加速27运动学加速度瞬心的确定．

将任一点加速度分解为两个正交分量和，由方程要使，必须所以有

与AB线的夹角：结论：在与正方向夹角为θ的两条直线的某一条上，一定存在加速度瞬心。特别，当时，，即加速度瞬心在所在的直线上--类似匀速转动当时，，即加速度瞬心在垂直于的直线上。此时加速度在连线方向上的投影相等—类似速度投影定理aτA+anA27运动学加速度瞬心的确定．要使28遗憾的是，即使求出加速度瞬心，并以加速度瞬心为基点，平面图形上其它点的加速度一般仍然有两个分量an

DB和aτDB

，分析过程并不能得到实质性的简化。因此，平面运动的加速度分析一般只采用基点法，不推荐加速度瞬心法．运动学在某些特殊问题中，加速度瞬心方法可以使问题得到很多简化。比如图7.10所示机构，图示瞬时，已知OA杆的角加速度α，而角速度ω=0，根据前面的结论，AB杆的加速度瞬心C为aA、aB

垂线的交点，这样，AB杆上任意点D的加速度aD就可以很容易被计算出来。28遗憾的是，即使求出加速度瞬心，并以加速度瞬心为基点，平29分析：大小？√ＲＲw

2

方向？√√√故应先求出．（）运动学

[例1]

半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度及加速度,求车轮与轨道接触点P的加速度．解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，29分析：（）运动学[例1]半径为R的车轮沿直线作30

由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（）

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心．运动学以O为基点，有其中：做出加速度矢量图，由图中看出：（与等值反向）

即30由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（31解：(a)AB作平动，运动学[例2]

已知O1A=O2B,图示瞬时O1A/O2B

试问(a),(b)两种情况下1和

2，1和2是否相等？(a)(b)31解：(a)AB作平动，运动学[例2]已知O1A=O32(b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时运动学32(b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时运动33运动学[例3]

曲柄滚轮机构 曲柄和滚子半径R=15cm,n=60rpm求：当=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．翻页请看动画33运动学[例3]曲柄滚轮机构翻页请看动画34请看动画34请看动画35解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：（）P１为其速度瞬心运动学分析:要想求出滚轮的Ｂ,Ｂ先要求出vB,

aBP2P1vBP2为轮速度瞬心35解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动（）P１为其36运动学取A为基点，指向O点大小？√？√方向√√√√作加速度矢量图，将上式向BA线上投影）(）(研究轮B：P2为其速度瞬心36运动学取A为基点，指向O点大小？√？√作加37运动学37运动学38运动学相对于地面和细绳分别有：相对于地面和细绳分别有：38运动学相对于地面和细绳分别有：相对于地面和细绳分别有：39运动学(c)39运动学(c)40刚体绕平行轴转动的合成问题在机械中经常遇到。例如，行星圆柱齿轮机构，行星轮作平面运动。前面所研究的平面运动是把它看成为平动和转动的合成运动，但是在分析行星轮系的传动问题时，将行星轮的平面运动看成为转动与转动的合成运动则比较方便。运动学7.4刚体绕平行轴转动的合成40刚体绕平行轴转动的合成问题在机械中经常遇到。例如，行41运动学静系：O1xy动系：O1x'y'相对运动:绕O2轴转动,

r为相对角速度。

牵连运动:绕O1轴转动,

e为牵连角速度。（翻页请看动画）例如在行星轮系中41运动学静系：O1xy（翻页请看动画）例如在行星轮系中42运动学42运动学43运动学43运动学44

由图看出对t求导：即：平面图形（这里指行星轮）的绝对角速度a等于牵连角速度e

与相对角速度r的代表和．当e

与r

转向相同时转向与两者相同．当e与r转向相异时转向与大者的相同．运动学ｔ时刻，O2A

位置；

t+t

时刻,O2'A'位置44由图看出即：平面图形（这里指行星轮）的绝对角速度45下面来确定图形S的瞬心的位置

P点为图形的速度瞬心,通过点P且与轴O1、O2平行的轴称为瞬时轴,该轴上各点的速度都等于零。运动学

由于ve=vr,且方向相反,因此vp=0,P为速度瞬心。此时e

与r同转向e

与r同反向45下面来确定图形S的瞬心的位置P点为图形的速度46即：刚体绕两平行轴的转动可合成为绕瞬轴的转动，瞬轴与原两轴共面且平行，到两轴的距离与两角速度大小成反比。同向转动时，瞬轴在两轴之间，，转向与两者相同；反向转动时,瞬轴在两轴之外,在角速度值大的一侧,，转向与大者的相同。运动学46即：刚体绕两平行轴的转动可合成为绕瞬轴的转动，瞬轴与原两47运动学[例1]

齿轮、半径均为R,齿轮半径为r,依次互啮合,轮固定不动，轮和轮装在曲柄O1O3上，可分别绕O2、O3轴转动。设曲柄O1O3以0顺时针转动．试求齿轮III相对于曲柄转动的角速度3

r

和齿轮的绝对角速度3以及图示瞬时A、B

两点的速度。47运动学[例1]齿轮、半径均为R,齿轮半径48解：取系杆O1O3为动系,

1r、2r、

３r

分别是、、轮相对于系杆的角速度,根据传动比公式，可得由平行轴转动的合成理论，得运动学48解：取系杆O1O3为动系,1r、2r、49运动学由此可知，齿轮作平动，平动刚体上各点的速度相同，故方向：垂直于O1O3杆，指向朝下．49运动学由此可知，齿轮作平动，平动刚体上各点的速度相50第七章刚体平面运动习题课一．概念与内容

1.刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．

2.刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动．

3.刚体平面运动的分解分解为

4.基点

可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）运动学50第七章刚体平面运动习题课一．概念与内容随基点的平动（平51运动学5.瞬心（速度瞬心）

任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点

瞬心位置随时间改变．

每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．

=0,瞬心位于无穷远处,各点速度相同,刚体作瞬时平动,瞬时平动与平动不同．6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．7.求平面图形上任一点速度的方法

基点法：速度投影法：速度瞬心法： 其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．51运动学5.瞬心（速度瞬心）每一瞬时平面图形的运52

8.求平面图形上一点加速度的方法 基点法：，A为基点,是最常用的方法 此外，当=0,瞬时平动时也可采用方法 它是基点法在=0时的特例。运动学9.平面运动方法与合成运动方法的应用条件

平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系．

合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递．52运动学9.平面运动方法与合成运动方法的应用条53二．解题步骤和要点

1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体．

2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度(图形角速度)问题的方法,用基点法求加速度(图形角加速度)

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量．

(基点法:恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；速度投影法:不能求出图形;

速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）运动学53二．解题步骤和要点运动学54[例1]

曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平求该位置时的、及运动学翻页请看动画54[例1]曲柄肘杆压床机构运动学翻页请看动画55请看动画55请看动画56[例1]

曲柄肘杆压床机构已知:OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平.求该位置时的，及解：OA,BC作定轴转动,

AB,BD均作平面运动根据题意：研究AB,P１为其速度瞬心（）运动学研究BD,P2为其速度瞬心,BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD（）56[例1]曲柄肘杆压床机构解：OA,BC作定轴转动,57[例2]

行星齿轮机构运动学请看动画57[例2]行星齿轮机构运动学请看动画58解：OA定轴转动;轮A作平面运动,瞬心P点）(运动学[例2]

行星齿轮机构已知:R,r,o

轮A作纯滚动，求58解：OA定轴转动;轮A作平面运动,瞬心P点）(运动学59[例3]

平面机构中,楔块M:=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．运动学请看动画59[例3]平面机构中,楔块M:=30º,v=160解：轴O,杆OC,楔块M均作平动,

圆盘作平面运动，P为速度瞬心运动学）([例3]

平面机构中,楔块M:=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．由A点和O点速度方向确定60解：轴O,杆OC,楔块M均作平动,运动学）([例3]61

比较[例2]和[例3]可以看出,不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点才是速度瞬心

每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在刚体或其扩大部分上,不能认为瞬心在其他刚体上.例如,[例1]中AB的瞬心在P1点,BD的瞬心在P2

点,而且P1也不是CB杆上的点运动学61比较[例2]和[例3]可以看出,不能认为圆轮只62运动学[例4]

导槽滑块机构请看动画62运动学[例4]导槽滑块机构请看动画63运动学[例4]

导槽滑块机构已知：曲柄OA=r,匀角速度转动,连杆AB的中点C处连接一滑块C可沿导槽O1D滑动,AB=l,图示瞬时O,A,O1三点在同一水平线上,OAAB,AO1C==30。

求：该瞬时O1D的角速度．解：OA,O1D均作定轴转动,AB作平面运动研究AB:

,图示位置,作瞬时平动,所以用合成运动方法求O1D杆上与滑块C接触的点的速度（牵连速度）

动点:AB杆上C(或滑块C),

动系:O1D杆,静系:机架63运动学[例4]导槽滑块机构已知：曲柄OA=r,64运动学绝对运动：曲线运动，方向相对运动：直线运动，，方向//O1D牵连运动：定轴转动，，方向O1D根据，作速度平行四边形

）(

这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题．注意这类题的解法，再看下例．64运动学绝对运动：曲线运动，方向根据65

运动学[例5]

平面机构请看动画65运动学[例5]平面机构请看动画66

[例5]

平面机构图示瞬时,O点在AB中点,=60º,BCAB,已知O,C在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s,试求该瞬时AB杆,BC杆的角速度及滑块C的速度．解:轮A,杆AB,杆BC均作平面运动,套筒O作定轴转动,滑块C平动.

取AB杆上O点为动点,动系固结于套筒

(反之也可）;静系固结于机架,

运动学

,由于等于Va沿AB,所以方向沿AB并且与同向。从而确定了AB杆上与O点接触点的速度方向。由此研究AB,P1为速度瞬心66[例5]平面机构解:轮A,杆AB,杆BC均67也可以用瞬心法求BC和vC，很简便研究BC,以B为基点,根据作速度平行四边形运动学）(（）？67也可以用瞬心法求BC和vC，很简便研究BC,以B为基68解:OA定轴转动;AB,BC均作平面运动,

滑块B和C均作平动求对AB杆应用速度投影定理：对BC杆应用速度投影定理：运动学[例6]

已知：配气机构中，OA=r,以等o转动,在某瞬时

=60º

ABBC,AB=6r,BC=

.求该瞬时滑块C的速度和加速度．68解:OA定轴转动;AB,BC均作平面运动,求对A69求以A为基点求B点加速度：(a)P1为AB杆速度瞬心，而作加速度矢量图,并沿BA方向投影运动学69求以A为基点求B点加速度：(a)P1为AB杆速度瞬70作加速度矢量图,P2为BC的瞬心,而P2C=9r再以B为基点,求运动学将(b)式在BC方向线上投影[注]

指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，反之，结果为负，说明假设与实际指向相反．30º70作加速度矢量图,再以B为基点,求运动学将(b)式71[例7]

导槽滑块机构运动学请看动画71[例7]导槽滑块机构运动学请看动画72运动学解：应用点的合成运动方法确定CD杆上C点与AE杆上接触点C'之间的速度关系取CD杆上C为动点，动系固结于AE，静系固结于机架；则 (a)应用平面运动方法确定AE上A、C'

点之间速度关系

(b)[例7]

导槽滑块机构图示瞬时,杆AB速度，杆CD速度及角已知，且AC=l,求导槽AE的图形角速度．72运动学解：应用点的合成运动方法应用平面运动方法确定73运动学将(b)代入(a)得,作速度矢量图投至轴，且vC＝v，v＝u，有

（）73运动学将(b)代入(a)得,74运动学习题7.3（纯滚动加速度与角加速度关系）；7.6；7.9；7.11，7.14；7.1774运动学习题7.3（纯滚动加速度与角加速度关系）；75运动学第七章结束75运动学第七章结束人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。人有了知识，就会具备各种分析能力，理论力学07刚体的平面运动课件78第七章刚体的平面运动1第七章刚体的平面运动79例如:曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动．运动学2例如:曲柄连杆机构中连杆AB的运动，80运动学请看动画3运动学请看动画81

刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式．运动学§7-1刚体平面运动及其分解一、平面运动的定义

在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．4刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这82运动学

二．平面运动的简化

刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动．即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．5运动学二．平面运动的简化83运动学

三．平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．

任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S的位置决定于三个独立的参变量．所以6运动学三．平面运动方程任意线段AB的位置可用A点84

四．平面运动分解为平动和转动当图形Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动当图形Ｓ上

角不变时，则刚体作平动．故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．运动学平面运动方程对于每一瞬时

t

，都可以求出对应的，图形S在该瞬时的位置也就确定了。7四．平面运动分解为平动和转动运动学平面运动方程对于每一瞬85运动学例如车轮的运动．车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成．

车轮对于静系的平面运动（绝对运动）车厢（动系Axy)相对静系的平动（牵连运动）车轮相对车厢（动系Axy）的转动（相对运动）

8运动学例如车轮的运动．车轮的平面运动可以看成是86运动学

我们称动系上的原点Ａ为基点，于是车轮的平面运动随基点A的平动绕基点A'的转动刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．9运动学我们称动系上的原点Ａ为基点，于是车轮的平面运动随基87运动学

再例如:平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II以A为基点:

随基点A平动到A'B''后,绕基点转角到A'B'以B为基点:

随基点B平动到A''B'后,绕基点转角到A'B'图中看出：ABA'B''A''B'，于是有10运动学再例如:平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到88运动学

所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点)11运动学所以，平面运动随基点平动的运动规89运动学曲柄连杆机构AB杆作平面运动平面运动的分解（请看动画）12运动学曲柄连杆机构AB杆作平面运动（请看动画）90§7-2平面图形上任意点速度的求法

运动学根据速度合成定理则Ｂ点速度为：

一．基点法（合成法）取B为动点,则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成已知：图形S内一点A的速度，图形角速度求：指向与转向一致．取A为基点,将动系固结于A点,动系作平动。13§7-2平面图形上任意点速度的求法91由于A,B点是任意的，因此表示了图形上任意两点速度间的关系．由于恒有，因此将上式在AB上投影，有—速度投影定理即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等．这种求解速度的方法称为速度投影法．运动学即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．二．速度投影法14—速度投影定理即平面图形上任意两点的速度在该两点连线92

三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）

1.问题的提出若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？运动学

２．速度瞬心的概念平面图形S，某瞬时其上一点A速度,图形角速度，沿方向取半直线AL,然后顺的转向转90o至AL'的位置,在AL'上取长度则： 15三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）运动学93

即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．（是否会有两个速度瞬心？）运动学３．几种确定速度瞬心位置的方法

①已知图形上一点的速度和图形角速度，可以确定速度瞬心的位置．（P点）且Ｐ在顺转向绕A点转90º的方向一侧．

②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点P为速度瞬心．16即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该94

运动学

④

已知某瞬时图形上A,B两点速度大小,且(b)(a)

③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度的方向，且过A,B两点分别作速度的垂线,交点

P即为该瞬间的速度瞬心.（相对速度/相对距离）17运动学④已知某瞬时图形上A,B两点速度(b95

运动学另：对种(a)的情况，若vA＝vB，则是瞬时平动．⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直．此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平动.(此时各点的加速度不相等)18运动学另：对种(a)的情况，若vA＝vB，⑤已96

例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．此时连杆BC的图形角速度，BC杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等．设匀，则而的方向沿AC的，瞬时平动与平动不同运动学19例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC97

运动学⑥纯滚动平面运动刚体在地面上滚动的情况。假定与地面始终接触，接触点C处既不能相互离开、也不能相互侵彻，所以刚体上的接触点C的速度一定沿接触处的切线方向、或者为零。当不恒等于零、且接触点相对于刚体的位置不断改变时，刚体的运动称为有滑动的滚动；当vC≡0、且接触点相对于刚体的位置不断改变时，称刚体作无滑动的滚动或纯滚动。因此，纯滚动时，每一瞬时的接触点就是刚体的速度瞬心。实际中纯滚动的物体很多，如各种车轮在常规情况下就作纯滚动，因此纯滚动是刚体的一种重要运动形式20运动学⑥纯滚动98４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度方向AP，指向与一致。

运动学５.注意的问题

速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。

速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动

刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。21４.速度瞬心法运动学５.注意的问题99解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。

基点法（合成法）研究AB，以A为基点，且方向如图示。j=vvsin/wwwwwjww===\===←==llABvllvvllBAABABAAB//45ctgctg)(245sin/

oo（）运动学[例1]

已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀转动。求：当=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度．根据在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。22解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运基点法（合成法100（）试比较上述三种方法的特点。运动学根据速度投影定理不能求出

速度投影法研究AB,

,方向OA,方向沿BO直线

速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可确定出P点为速度瞬心23（）试比较上述三种方法的特点。运动学根据速度投影定理101§7-3平面图形上任意点加速度的求法取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．于是,由牵连平动时加速度合成定理可得如下公式．运动学一.基点法(合成法)已知：图形S内一点A的加速度和图形的,（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。24§7-3平面图形上任意点加速度的求法取A为基点，将平102其中：，方向AB，指向与一致；，方向沿AB，指向A点。运动学即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。绕基点转动的切向加速度和法向加速度称为B相对于A的加速度上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。25其中：，方向AB，指向与一致；运动学即平103

二．加速度瞬心．由于的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心．运动学[注]

一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点．

一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式.即一般情况下,图形上任意两点A,B的加速度

若某瞬时图形=0,即瞬时平动,则有即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等．26二．加速度瞬心．运动学[注]一般情况下,加速104运动学加速度瞬心的确定．

将任一点加速度分解为两个正交分量和，由方程要使，必须所以有

与AB线的夹角：结论：在与正方向夹角为θ的两条直线的某一条上，一定存在加速度瞬心。特别，当时，，即加速度瞬心在所在的直线上--类似匀速转动当时，，即加速度瞬心在垂直于的直线上。此时加速度在连线方向上的投影相等—类似速度投影定理aτA+anA27运动学加速度瞬心的确定．要使105遗憾的是，即使求出加速度瞬心，并以加速度瞬心为基点，平面图形上其它点的加速度一般仍然有两个分量an

DB和aτDB

，分析过程并不能得到实质性的简化。因此，平面运动的加速度分析一般只采用基点法，不推荐加速度瞬心法．运动学在某些特殊问题中，加速度瞬心方法可以使问题得到很多简化。比如图7.10所示机构，图示瞬时，已知OA杆的角加速度α，而角速度ω=0，根据前面的结论，AB杆的加速度瞬心C为aA、aB

垂线的交点，这样，AB杆上任意点D的加速度aD就可以很容易被计算出来。28遗憾的是，即使求出加速度瞬心，并以加速度瞬心为基点，平106分析：大小？√ＲＲw

2

方向？√√√故应先求出．（）运动学

[例1]

半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度及加速度,求车轮与轨道接触点P的加速度．解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，29分析：（）运动学[例1]半径为R的车轮沿直线作107

由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（）

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心．运动学以O为基点，有其中：做出加速度矢量图，由图中看出：（与等值反向）

即30由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（108解：(a)AB作平动，运动学[例2]

已知O1A=O2B,图示瞬时O1A/O2B

试问(a),(b)两种情况下1和

2，1和2是否相等？(a)(b)31解：(a)AB作平动，运动学[例2]已知O1A=O109(b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时运动学32(b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时运动110运动学[例3]

曲柄滚轮机构 曲柄和滚子半径R=15cm,n=60rpm求：当=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．翻页请看动画33运动学[例3]曲柄滚轮机构翻页请看动画111请看动画34请看动画112解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：（）P１为其速度瞬心运动学分析:要想求出滚轮的Ｂ,Ｂ先要求出vB,

aBP2P1vBP2为轮速度瞬心35解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动（）P１为其113运动学取A为基点，指向O点大小？√？√方向√√√√作加速度矢量图，将上式向BA线上投影）(）(研究轮B：P2为其速度瞬心36运动学取A为基点，指向O点大小？√？√作加114运动学37运动学115运动学相对于地面和细绳分别有：相对于地面和细绳分别有：38运动学相对于地面和细绳分别有：相对于地面和细绳分别有：116运动学(c)39运动学(c)117刚体绕平行轴转动的合成问题在机械中经常遇到。例如，行星圆柱齿轮机构，行星轮作平面运动。前面所研究的平面运动是把它看成为平动和转动的合成运动，但是在分析行星轮系的传动问题时，将行星轮的平面运动看成为转动与转动的合成运动则比较方便。运动学7.4刚体绕平行轴转动的合成40刚体绕平行轴转动的合成问题在机械中经常遇到。例如，行118运动学静系：O1xy动系：O1x'y'相对运动:绕O2轴转动,

r为相对角速度。

牵连运动:绕O1轴转动,

e为牵连角速度。（翻页请看动画）例如在行星轮系中41运动学静系：O1xy（翻页请看动画）例如在行星轮系中119运动学42运动学120运动学43运动学121

由图看出对t求导：即：平面图形（这里指行星轮）的绝对角速度a等于牵连角速度e

与相对角速度r的代表和．当e

与r

转向相同时转向与两者相同．当e与r转向相异时转向与大者的相同．运动学ｔ时刻，O2A

位置；

t+t

时刻,O2'A'位置44由图看出即：平面图形（这里指行星轮）的绝对角速度122下面来确定图形S的瞬心的位置

P点为图形的速度瞬心,通过点P且与轴O1、O2平行的轴称为瞬时轴,该轴上各点的速度都等于零。运动学

由于ve=vr,且方向相反,因此vp=0,P为速度瞬心。此时e

与r同转向e

与r同反向45下面来确定图形S的瞬心的位置P点为图形的速度123即：刚体绕两平行轴的转动可合成为绕瞬轴的转动，瞬轴与原两轴共面且平行，到两轴的距离与两角速度大小成反比。同向转动时，瞬轴在两轴之间，，转向与两者相同；反向转动时,瞬轴在两轴之外,在角速度值大的一侧,，转向与大者的相同。运动学46即：刚体绕两平行轴的转动可合成为绕瞬轴的转动，瞬轴与原两124运动学[例1]

齿轮、半径均为R,齿轮半径为r,依次互啮合,轮固定不动，轮和轮装在曲柄O1O3上，可分别绕O2、O3轴转动。设曲柄O1O3以0顺时针转动．试求齿轮III相对于曲柄转动的角速度3

r

和齿轮的绝对角速度3以及图示瞬时A、B

两点的速度。47运动学[例1]齿轮、半径均为R,齿轮半径125解：取系杆O1O3为动系,

1r、2r、

３r

分别是、、轮相对于系杆的角速度,根据传动比公式，可得由平行轴转动的合成理论，得运动学48解：取系杆O1O3为动系,1r、2r、126运动学由此可知，齿轮作平动，平动刚体上各点的速度相同，故方向：垂直于O1O3杆，指向朝下．49运动学由此可知，齿轮作平动，平动刚体上各点的速度相127第七章刚体平面运动习题课一．概念与内容

1.刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．

2.刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动．

3.刚体平面运动的分解分解为

4.基点

可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）运动学50第七章刚体平面运动习题课一．概念与内容随基点的平动（平128运动学5.瞬心（速度瞬心）

任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点

瞬心位置随时间改变．

每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．

=0,瞬心位于无穷远处,各点速度相同,刚体作瞬时平动,瞬时平动与平动不同．6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．7.求平面图形上任一点速度的方法

基点法：速度投影法：速度瞬心法： 其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．51运动学5.瞬心（速度瞬心）每一瞬时平面图形的运129

8.求平面图形上一点加速度的方法 基点法：，A为基点,是最常用的方法 此外，当=0,瞬时平动时也可采用方法 它是基点法在=0时的特例。运动学9.平面运动方法与合成运动方法的应用条件

平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系．

合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递．52运动学9.平面运动方法与合成运动方法的应用条130二．解题步骤和要点

1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体．

2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度(图形角速度)问题的方法,用基点法求加速度(图形角加速度)

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量．

(基点法:恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；速度投影法:不能求出图形;

速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）运动学53二．解题步骤和要点运动学131[例1]

曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平求该位置时的、及运动学翻页请看动画54[例1]曲柄肘杆压床机构运动学翻页请看动画132请看动画55请看动画133[例1]

曲柄肘杆压床机构已知:OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平.求该位置时的，及解：OA,BC作定轴转动,

AB,BD均作平面运动根据题意：研究AB,P１为其速度瞬心（）运动学研究BD,P2为其速度瞬心,BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD（）56[例1]曲柄肘杆压床机构解：OA,BC作定轴转动,134[例2]

行星齿轮机构运动学请看动画57[例2]行星齿轮机构运动学请看动画135解：OA定轴转动;轮A作平面运动,瞬心P点）(运动学[例2]

行星齿轮机构已知:R,r,o

轮A作纯滚动，求58解：OA定轴转动;轮A作平面运动,瞬心P点）(运动学136[例3]

平面机构中,楔块M:=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．运动学请看动画59[例3]平面机构中,楔块M:=30º,v=1137解：轴O,杆OC,楔块M均作平动,

圆盘作平面运动，P为速度瞬心运动学）([例3]

平面机构中,楔块M:=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．由A点和O点速度方向确定60解：轴O,杆OC,楔块M均作平动,运动学）([例3]138

比较[例2]和[例3]可以看出,不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点才是速度瞬心

每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和