第二章第二节柯西定理和第三节不定积分课件

§2.2及§2.3柯西定理及不定积分(一)单连通区域的情形(二)复通区域的情形§2.2及§2.3柯西定理及不定积分1复习：格林公式：在平面区域D上的二重积分可以通过沿区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有这里L是D的取正向的整个边界曲线。上式叫格林公式。复习：2(一)单连通区域的情形单与复连通区域：(一)单连通区域的情形3复连通区域D的边界曲线L由和组成,单连通区域D的边界曲线L的正向是逆时针方向.逆时针顺时针方向为边界曲线L的正向.复连通区域D的边界曲线L由和4单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域B中解析，则沿B中任一个分段光滑的闭合曲线l有：这里的l也可以是B的边界。这里的l也可以是B的边界。5证明：由于f(z)解析，因而其偏导数在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式证明：由于f(z)解析，因而其偏导数在区域内连续，对上式右端6将上面的闭合曲线积分化为面积分在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式由于f(z)解析，因而其偏导数将上面的闭合曲线积分化为面积分在区域内连续，对上式右端的实部7根据Cauchy-Riemann方程右端两个积分中的被积函数均为0，故有将上面的闭合曲线积分化为面积分根据Cauchy-Riemann方程右端两个积分中的被积函数8由此证明了单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域B中解析，则沿B中任一个分段光滑的闭合曲线l有：这里的l也可以是B的边界。由此证明了单连通区域的柯西定理：这里的l也可以是B的边界。9第二章第二节柯西定理和第三节不定积分课件10推论：若f(z)在单连通区域中解析，则复变积分与路径无关。推论：若f(z)在单连通区域中解析，则复变积分与路径无关。11因此，如果固定起点z0,而令终点z为变点，则作为积分上限的函数是单连通区域内的以z为宗量的单值函数。我们称该函数F(z)称为f(z)的不定积分。f(z)的不定积分因此，如果固定起点z0,而令终点z为变点，则作为积分上限的12如果函数f(z)在单连通区域内解析，则也在单连通区域内解析。并且即F(z)是f(z)的一个原函数。如果函数f(z)在单连通区域内解析，则也在单连通区域内解析13

还可以证明：即路积分的值等于原函数的改变量(由起点z1和终点z2决定，与从z1到z2的路径无关)。即路积分的值等于原函数的改变量(由起点z1和终点z2决定，14(二)复通区域的情形奇点：不可导、不连续、没有定义复通区域概念：境界线的正方向：复连通区域(二)复通区域的情形复连通区域15

复通区域的柯西定理：如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则式中l为区域外境界线，诸li为区域的内境界线，积分均沿境界线正方向进行。如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则式中l为区16证明思路：复通区域转化为单通区域ll2l1ll2l1DCD’C’A’B’BA证明思路：复通区域转化为单通区域ll2l1ll2l1DCD’17ll2l1DCD’C’A’B’BA证明:ll2l1DCD’C’A’B’BA证明:18即即19总结起来，柯西定理说的是：闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。总结起来，柯西定理说的是：20(三)一个重要例题与结论计算积分n为整数.(三)一个重要例题与结论n为整数.21··xyxyaaOOllCR解：回路l不包围点a

I=0(单连通区域柯西定理)回路l包围点a(a)被积函数在l所围区域上解析。(b)被积函数在l所围区域有一个奇点a。··xyxyaaOOllCR解：被积函数22以a为圆心，R为半径画一员周C，在C上，根据复通区域的柯西定理有：=00以a为圆心，R为半径画一员周C，在C上，=0023综合以上讨论，得出综合以上讨论，得出24§2.2及§2.3柯西定理及不定积分(一)单连通区域的情形(二)复通区域的情形§2.2及§2.3柯西定理及不定积分25复习：格林公式：在平面区域D上的二重积分可以通过沿区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有这里L是D的取正向的整个边界曲线。上式叫格林公式。复习：26(一)单连通区域的情形单与复连通区域：(一)单连通区域的情形27复连通区域D的边界曲线L由和组成,单连通区域D的边界曲线L的正向是逆时针方向.逆时针顺时针方向为边界曲线L的正向.复连通区域D的边界曲线L由和28单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域B中解析，则沿B中任一个分段光滑的闭合曲线l有：这里的l也可以是B的边界。这里的l也可以是B的边界。29证明：由于f(z)解析，因而其偏导数在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式证明：由于f(z)解析，因而其偏导数在区域内连续，对上式右端30将上面的闭合曲线积分化为面积分在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式由于f(z)解析，因而其偏导数将上面的闭合曲线积分化为面积分在区域内连续，对上式右端的实部31根据Cauchy-Riemann方程右端两个积分中的被积函数均为0，故有将上面的闭合曲线积分化为面积分根据Cauchy-Riemann方程右端两个积分中的被积函数32由此证明了单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域B中解析，则沿B中任一个分段光滑的闭合曲线l有：这里的l也可以是B的边界。由此证明了单连通区域的柯西定理：这里的l也可以是B的边界。33第二章第二节柯西定理和第三节不定积分课件34推论：若f(z)在单连通区域中解析，则复变积分与路径无关。推论：若f(z)在单连通区域中解析，则复变积分与路径无关。35因此，如果固定起点z0,而令终点z为变点，则作为积分上限的函数是单连通区域内的以z为宗量的单值函数。我们称该函数F(z)称为f(z)的不定积分。f(z)的不定积分因此，如果固定起点z0,而令终点z为变点，则作为积分上限的36如果函数f(z)在单连通区域内解析，则也在单连通区域内解析。并且即F(z)是f(z)的一个原函数。如果函数f(z)在单连通区域内解析，则也在单连通区域内解析37

还可以证明：即路积分的值等于原函数的改变量(由起点z1和终点z2决定，与从z1到z2的路径无关)。即路积分的值等于原函数的改变量(由起点z1和终点z2决定，38(二)复通区域的情形奇点：不可导、不连续、没有定义复通区域概念：境界线的正方向：复连通区域(二)复通区域的情形复连通区域39

复通区域的柯西定理：如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则式中l为区域外境界线，诸li为区域的内境界线，积分均沿境界线正方向进行。如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则式中l为区40证明思路：复通区域转化为单通区域ll2l1ll2l1DCD’C’A’B’BA证明思路：复通区域转化为单通区域ll2l1ll2l1DCD’41ll2l1DCD’C’A’B’BA证明:ll2l1DCD’C’A’B’BA证明:42即即43总结起来，柯西定理说的是：闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。总结起来，柯西定理说的是：44(三)一个重要例题与结论计算积分n为整数.(三)一个重要例题与结论n为整数.45··xyxyaaOOllCR解：回路l不包围点a

I=0(单连通区域柯西定理)回路