材料力学教学课件幻灯片T12

返回总目录第10章

压杆稳定提要：本章着重讨论受压直杆的稳定性计算。通过对两端铰支细长压杆的稳定性分析，阐明压杆的平衡稳定性的基本概念，明确压杆的临界力的意义及其确定方法，并进一步讨论了不同支承情况对临界力的影响及其欧拉公式的统一形式。通过临界应力总图明确了压杆的柔度的物理意义，并揭示了压杆的强度和稳定性之间的关系，从而明确了欧拉公式的适用范围。介绍了运用长、中柔度杆稳定计算公式进行简单的压杆稳定校核的方法。10.1压杆稳定的概念在绪论中已指出，衡量构件承载能力的指标有强度、刚度、稳定性。关于杆件在各种基本变形以及常见的组合变形下的强度和刚度问题在前述各章节中已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上，杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。在材料的拉压力学性能实验中，当对高为20mm，直径为10mm的短粗铸铁试件进行压缩试验时，其由于强度不足而发生了破坏。从强度条件出发，该试件的承载能力应只与其横截面面积有关，而与试件的长度无关。但如果将该试件加到足够的长度，再对其施加轴向压力时，将会发现在杆件发生强度破坏之前，会突然向一侧发生明显弯曲，若再继续加力就会发生折断，从而丧失承载能力。由此可见，这时压杆的承载能力并不取决于强度，而是与它受压时的弯曲刚度有关，即与压杆的稳定性有关。

在工程建设中，由于对压杆稳定问题没有引起足够的重视或设计不合理，曾发生了多起严重的工程事故。例如1907年，北美洲魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为548m的钢桥正在修建时，由于两根压杆失去稳定，造成了全桥突然坍塌的严重事故。又如在19世纪末，瑞士的一座铁桥，当一辆客车通过时，桥桁架中的压杆失稳，致使桥发生灾难性坍塌，大约有200人遇难。还有在1983年10月4日，地处北京的中国社会科学研究院科研楼工地的钢管脚手架距地面5～6处突然外拱，刹那间，这座高达54.2m，长17.25m，总重565.4kN的大型脚手架轰然坍塌，5人死亡，7人受伤，脚手架所用建筑材料大部分报废，而导致这一灾难性事故的直接原因就是脚手架结构本身存在严重缺陷，致使结构失稳坍塌。实际上，早在1744年，出生于瑞士的著名科学家欧拉(L.Euler)就对理想压杆在弹性范围内的稳定性进行了研究，并导出了计算细长压杆临界压力的计算公式。10.1压杆稳定的概念但是，同其他科学问题一样，压杆稳定性的研究和发展与生产力发展的水平密切相关。欧拉公式面世后，在相当长的时间里之所以未被认识和重视，就是因为当时在工程与生活建造中实用的木桩、石柱都不是细长的。直到1788年熟铁轧制的型材开始生产，然后出现了钢结构。特别是19世纪，随着铁路金属桥梁的大量建造，细长压杆的大量出现，相关工程事故的不断发生，才引起人们对压杆稳定问题的重视，并进行了不断深入的研究。除了压杆以外，还有许多其他形式的构件也同样存在稳定性问题，如薄壁球形容器在径向压力作用下的变形(图10.1(a))；狭长梁在弯曲时的侧弯失稳(图10.1(b))；两铰拱在竖向载荷作用下变为虚线所示形状而失稳(图10.1(c))等。但材料力学只涉及到了压杆的稳定性问题，同时它也是其他形状构件稳定性分析的理论基础。10.1压杆稳定的概念图10.1几种其他形式的稳定性问题薄壁球形容器的失稳；(b)狭长矩形截面梁的侧弯失稳；(c)两铰拱的失稳所以，对细长压杆而言，使其失去承载能力的主要原因并不是强度问题，而是稳定性问题。10.1压杆稳定的概念我们以图10.2(a)所示两端铰支受轴向压力的匀质细长直杆为例来说明关于稳定性的基本概念。当杆件受到一逐渐增加的轴向压力F作用时，其始终可以保持为直线平衡状态。但当同时受到一水平方向干扰力Q干扰时，压杆会产生微弯(如图10.2(a)中虚线所示)，而当干扰力消失后，其会出现如下三种情况：①当轴向压力F小于某一极限值Fcr时，压杆将复原为直线平衡。这种当去除横向干扰力Q后，能够恢复为原有直线平衡状态的平衡称为稳定平衡状态，如图10.2(b)所示。②当轴向压力F大于极限值Fcr时，虽已去除横向干扰力Q，但压杆不能恢复为原有直线平衡状态而呈弯曲状态，若横截面上的弯矩值不断增加，压杆的弯曲变形亦随之增大，或由于弯曲变形过大而屈曲毁坏。10.1压杆稳定的概念将这种原有的直线平衡状态称为不稳定平衡状态，如图10.2(c)所示。③当轴向压力F等于极限值Fcr时，压杆虽不能恢复为原有直线平衡状态但可保持微弯状态。将这种由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的直线平衡，称之为临界平衡状态,如图10.2(d)所示。而此时的临界值Fcr称为压杆的临界力(criticalforce)。将压杆丧失其直线平衡状态而过渡为曲线平衡，并失去承载能力的现象，称为丧失稳定，或简称为失稳(loststabilitybuckling)。以上所述“材料均匀、轴线为直线、压力作用线通过轴线”的等直压杆又称为理想的“中心受压直杆”。而实际的压杆由于材料的不均匀、初曲率或加载的微小偏心等等因素的影响，均可引起压杆变弯。10.1压杆稳定的概念图10.2细长压杆的平衡形式(a)受水平干扰力的杆件微弯；(b)细长压杆稳定平衡；

(c)细长压杆不稳定平衡；(d)细长压杆临界平衡10.1压杆稳定的概念所以，实际压杆会在达到理想压杆临界压力之前就突然变弯而失去承载能力。故实际压杆的轴向压力极限值一定低于理想压杆的临界压力Fcr。但为了便于研究，本章主要以理想中心受压直杆为研究对象，来讨论压杆的稳定性问题。综上所述可知，压杆是否具有稳定性，主要取决于其所受的轴向压力。即研究压杆的稳定性的关键是确定其临界力Fcr的大小。当F

Fcr时，压杆处于稳定平衡状态；当F>Fcr时，则处于不稳定平衡状态。10.1压杆稳定的概念10.2两端铰铰支中中心压压杆的的欧拉拉公式式设两端端铰支支的理理想中中心受受压细细长直直杆，，当其其压力力达到到临界界值Fcr时，在在横横向因因素的的干扰扰下压压杆可可在微微弯状状态下下保持持平衡衡。可可见，，临界界压力力Fcr就是使使压杆杆保持持微弯弯平衡衡的最最小压压力。。现来来确定定此临临界压压力Fcr的计算算公式式。建立如如图10.3所示坐坐标系系xoy，假想想距坐坐标原原点O为x处将杆件件截开，，取其一一部分为为研究对对象(如图10.3(b)所示)，则在截截面上除除了有轴轴向压力力Fcr外，还作作用有弯弯矩M(x)，弯矩值值为(a)图10.3细长压杆杆的平衡衡形式(a)细长压杆杆的受压压平衡；；(b)细长压杆杆受压局局部受力力分析10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式当压杆的的应力在在比例极极限范围围以内，，即在线线弹性工工作条件件下，可可利用第第6章的公式式(6.1)，即梁在在小变形形条件下下挠曲线线近似微微分方程程(b)将式(a)代入式(b)可得杆轴轴微弯成成曲线的的近似微微分方程程为(c)10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式令可得一常常系数线线性二阶阶齐次微微分方程程(e)(d)此微分方方程的通通解为(f)10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式式中，，，为积分分常数，，可由杆杆端的边边界条件件来确定定。由图图10.3可知，当时，；；将其代代入式(f)可得则式(f)可写为(g)当时，，，代入式式(g)可得(h)10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式上式只有有在或时时才成立立。而当当时，则则式(g)就变为，，其表示示压杆任任一横截截面的挠挠度均等等于零，，即压杆杆并无弯弯曲而处处于直线线平衡状状态，这这与在临临界压力力作用下下压杆保保持微弯弯的平衡衡状态这这一前提提不相符符，因此此，必然然是使上式成成立的kl值为其中n为任意整整数(n=0，1，2，3，…)。由此可得得10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式将上式代代回到式式(d)中，则10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式可得由上式可可知：由由于n为任意整整数，所所以使压压杆保持持微弯平平衡状态态的临界界压力Fcr，在理论论上可以以有无穷穷多个，，但实际际上，当当压杆在在最小临临界压力力作用下下，其就就已处于于由稳定定平衡向向不稳定定平衡过过渡的临临界平衡衡状态并并将丧失失稳定性性了。但但时，不不合要求求。故当时，，Fcr为最小值值，这就就是保证证压杆安安全工作作的临界界压力Fcr，即上式为两两端铰支支等截面面理想细细长压杆杆的临界界压力计计算公式式，由于于此式最最早由欧欧拉导出出，故又又称为欧拉公式式(Eulerformula)。若将代入入式(g)中，则10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式(10.1)(i)上式即为为压杆处处于临界界平衡状状态时的的挠曲线线方程。。可知其其是半个个正弦波波形曲线线，如图图10.3所示。由图10.3知，，当时时，，(为压杆中中点的挠挠度值)，将其代代入(i)中可得上式说明明积分常常数a的物理意意义为压压杆中点点处所产产生的最最大挠度度，则压压杆的挠挠曲线方方程又可可以表示示为10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式在上式中中，是是一个随随机值。。因为当当时时，，，即即压杆处处于稳定定平衡状状态而保保持为直直线；当当时时，，在横向向因素的的干扰下下，压杆杆可在为为任任意微小小值的情情况下而而保持微微弯平衡衡状态，，压杆所所受压力力F和中点挠挠度之之间的的关系可可由图10.4中的OAB折线来表表示。但实际上上，之之所以具具有不确确定性，，是因为为在公式式推导过过程中使使用了式式(b)的挠曲线线近似微微分方程程。若采采用挠曲曲线的精精确微分分方程10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式(j)图10.4压杆的F-关系图10.4压杆的F-关系可求得压压力F与中点挠挠度之之间的的关系将将如图10.4中的OAC曲线所示示。由曲曲线可知知，当时时，F与有有着一一一对应应关系。。所以，，中点挠挠度的的不不确定性性并不存存在。而对于实实际受压压杆件，，由于材材料的不不均匀、、存在的的初曲率率或加载载的微小小偏心等等因素的的影响，，在其压压力F未达到临临界压力力Fcr之前，实实际上就就已出现现了微弯弯变形，，可用图图10.4中的OD曲线来表表示F和之之间的的关系。。10.2两端铰支支中心压压杆的欧欧拉公式式10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式杆件受到到轴向压压力作用用而发生生微小弯弯曲时，，其挠曲曲线的形形式将与与杆端的的约束情情况有直直接的关关系，这这说明在在其他条条件相同同的情况况下，压压杆两端端的约束束不同，，其临界界压力也也不同。。但在推导导不同杆杆端约束束条件下下细长压压杆的临临界压力力计算公公式时，，可以采采用上述述类似的的方法进进行推导导。另外，也也可以利利用对比比的方法法，即将将杆端为为某种约约束的细细长受压压杆在临临界状态态时的挠挠曲线形形状与两两端铰支支受压杆杆的挠曲曲线形状状进行对对比分析析，来得得到该约约束条件件下的临临界压力力计算公公式。本节利用用该方法法给出几几种典型型的约束束条件下下，理想想中心受受压直杆杆的临界界压力计计算公式式。由上节可可知，两两端铰支支细长压压杆的挠挠曲轴线线的形状状为半个个正弦波波。对于于杆端为为其他约约束条件件的细长长压杆，，若能够够找到挠挠曲轴线线上的两两个拐点点，即两两个弯矩矩为零的的截面，，则可认认为在该该截面处处为铰链链支承。。所以，两两拐点间间的一段段杆可视视为两端端铰支的的细长压压杆，而而其临界界压力应应与相同同长度的的两端铰铰支细长长压杆相相同。例例如对于于一端固固定、一一端铰支支的细长长压杆，，在其挠挠曲轴线线上距固固定端处处有一个个拐点，，这样上上下两个个铰链的的长度，，因此其其临界压压力应与与长度为为且两端端铰支细细长压杆杆的临界界压力公公式相同同；对于于两端固固定的细细长压杆杆，两拐拐点间的的长度为为0.5l，所以，，只需将将公式(10.1)中的长度度l替换为0.5l即可；而而对于一一端固定定另一端端自由而而在自由由端受到到轴向压压力的细细长压杆杆，相当当于两端端铰支长长为2的压杆挠挠曲线的的上半部部分等。。表10-1给出了几几种工程程实际中中常见的的理想约约束条件件下细长长压杆的的挠曲线线形状及及其相应应的欧拉拉公式表表达式。。10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式表10-1各种支承承约束条条件下等等截面细细长压杆杆临界压压力的欧欧拉公式式支端情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向方向相对移动临界状态时挠曲线形状临界力公式长度系数10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式公式中：：系数称称为压杆杆的长度系数数(factoroflength)，与压杆杆的杆端端约束情情况有关关；称称为为原压杆杆的计算算长度，，又称相当长度度(equivalentlength)。其物理理意义就就为在各各种不同同支承情情况下两两拐点之之间的长长度，即即挠曲线线上相当当于半波波正弦曲曲线的一一段长度度。应当指出出，当杆杆端在各各个方向向的约束束情况相相同时(如球形铰铰约束)，欧拉公公式中的的惯性矩矩I应取最小小值，即即应取最最小形心心主惯性性矩；由表10-1可知，对对于各种种不同约约束条件件下的等等截面中中心受压压细长直直杆的临临界压力力的欧拉拉公式可可写成统统一的形形式(10.2)10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式而若在不不同方向向杆端约约束情况况不同(如柱形铰铰约束)，则惯性性矩I应取挠曲曲时横截截面对其其中性轴轴的惯性性矩。另另外，在在工程实实际中，，由于实实际支承承与理想想支承约约束的差差异，其其长度系系数应以表10-1中的参数数作为参参考来根根据实际际情况进进行选取取，在有有关的设设计规范范中，对对压杆的的长度系系数多有具体体的规定定。【例10.1】图10.5示一矩形形截面的的细长压压杆，其其两端为为柱形铰铰约束，，即在xoy面内可视视为两端端铰支，，在xoz面内可视视为两端端固定。。若压杆杆是在弹弹性范围围内工作作，试确确定压杆杆截面尺尺寸b和h之间应有有的合理理关系。。10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式分析：所所谓求解解杆件截截面的相相应合理理关系，，也就是是应使杆杆件在不不同平面面内具有有相同的的稳定性性。即应应使压杆杆分别在在xoy和xoz两平面内内失稳时时的临界界压力相相同。图10.5例10.1图解：(1)若压杆在在xoy平面内失失稳，压压杆可视视为两端端铰支，，则则长度系数为为，且截截面对中中性轴的的惯性矩矩；；10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式由公式(10.2)知(2)若压杆在在xoz平面内失失稳，压压杆可视视为两端端固定，，则长长度系数为，，且截面面对中性性轴的惯惯性矩；；由公式(10.2)知10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式(3)由分析，，应有即可得即其合理理的截面面尺寸关关系为10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式【例10.2】试推导一一端固定定、一端端自由细细长压杆杆的临界界压力欧欧拉公式式，已知知压杆长长度为l，抗弯刚刚度为EI。分析：压压杆在临临界力作作用下，，其挠曲曲线形状状如图10.6所示。其其最大挠挠度值在自由端端处，可可先写出出压杆任任意横截截面上的的弯矩方方程，再再由挠曲曲线近似似微分方方程求解解。10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式图10.6例10.2图解：其任任意x横截面上上由临界界力所引引起的弯弯矩为将值值代入梁梁在小变变形条件件下挠曲曲线近似似微分方方程，得得则10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式令，，有该微分方方程通解解为式中，a、b、k为待定常常数，可可由边界界条件确确定：由x=o时，y=0，得；；由x=o时，，，得得a=0。10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式所以再将边界界条件时时，代代入入上式，，得由上式知知，。。即10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式取其最小小值，即即当时时，，，，则得所以，得得到一端端自由一一端固定定细长压压杆的临临界力欧欧拉公式式：10.3不同约束束条件下下压杆的的欧拉公公式对于两端端为其他他支承形形式的理理想中心心受压直直杆的临临界力欧欧拉公式式均可利利用上述述类似的的方法而而求得。。10.4临界应力力与欧拉拉公式应应用范围围一.计算临界界应力的的欧拉公公式在研究理理想直杆杆受到压压力作用用的强度度问题时时，我们们是通过过应力进进行相关关计算的的。为了了对压杆杆的工程程实际问问题进行行系统的的分析研研究，以以下将引引入临界应力力(criticalforce)的概念。。所谓临临界应力力就是在在临界压压力的作作用下，，压杆横横截面上上的平均均正应力力。若假假设压杆杆的横截截面面积积为A，则其临临界应力力为式中，，，，即为压压杆横截截面的惯性半径径(radiusofgyrationofanarea)，可参见见附录1.2。则临界应应力公式式为引入参数数可知(10.4)(10.3)上式即为为计算细细长压杆杆临界应应力的欧欧拉公式式。式中中，称称为为压杆的的柔度或长细比(slenderness)，其为无无量纲的的量。它它反映了了压杆长长度、支支承情况况以及横横截面形形状和尺尺寸等因因素对临临界应力力的综合合影响。。10.4临界应力力与欧拉拉公式应应用范围围由公式(10.4)看出，压压杆的临临界应力力与其柔柔度的平平方成反反比，压压杆的柔柔度值越越大，其其临界应应力越小小，压杆杆越容易易失稳。。可见，，柔度在在压杆稳稳定计算算中是一一个非常常重要的的参数。。二.欧拉公式式的应用用范围对于受压压杆件而而言，在在什么条条件下需需要以强强度为原原则进行行分析，，而什么么情况下下又需考考虑其稳稳定性呢呢？事实实上，在在推导压压杆临界界力欧拉拉公式时时，使用用了10.2节中公式式(c)的梁的挠挠曲线近近似微分分方程，，而该方方程是在在材料服服从胡克克定律即即在线弹弹性范围围以内才才成立的的。所以，欧欧拉公式式的应用用也有其其适用的的范围，，即其临临界应力力不能超超过材料料的比例例极限，，故10.4临界应力力与欧拉拉公式应应用范围围可得上式中比比例极限限及及弹性性模量E均是只与与材料有有关的参参量，可可令(10.5)则(10.6)10.4临界应力与欧欧拉公式应用用范围上式即为欧拉拉公式的适用用范围。也就就是说，只有有当压杆的实实际柔度大大于或等于于与材料的比比例极限所所对应的的柔度值时时，欧拉拉公式才适用用。仅仅与材料的的力学性能有有关，不同的的材料有不同同的值。。以Q235低碳钢为例，，，，，，代入式式(12.6)得这表明用Q235钢制成的压杆杆，只有当其其柔度时时，才才能应用欧拉拉公式(10.2)、公式(10.4)计算其临界力力、临界应力力。将的的压杆称为为大柔度杆(slendercolumn)或长细杆，前面所提到到的细长压杆杆均为这类压压杆。10.4临界应力与欧欧拉公式应用用范围三.超过比例极限限时压杆的临临界应力当压杆的柔度度值时时，说说明压杆横截截面上的应力力已超过了材材料的比例极限，，这时欧拉拉公式已不适适用。在这种种情况下，压压杆的临界应应力在工程计算中中常采用建立立在实验基础础上的经验公公式来计算，，其中有在机机械工程中常用用的直线型经经验公式和在在钢结构中常常用的抛物线线型经验公式。直线经验公式式其一般表达式式为(10.7)10.4临界应力与欧欧拉公式应用用范围上式表明，压压杆的临界应应力与其柔度度成线性关系系。式中，a、b为与材料性质质有关的常数数，其单位为为MPa。表10-2中给出了几种种常见材料的的a、b值，供查用。。我们知道，压压杆的柔度越越小，其临界界应力就越大大。以由塑性性材料制成的的压杆为例，，当其临界应应力达到材料料的屈服极限限时，其已属属于强度问题题了。所以，，直线经验公公式也有一个个适用范围，，即由经验公公式算出的临临界应力，不不能超过压杆杆材料的压缩缩屈服极限应应力。即10.4临界应力与欧欧拉公式应用用范围材料Q235钢3041.1210061.44602.57100605773.7410060铬钼钢9805.35540硬铝3722.1450铸铁3321.4580木材390.250表10-2几种常见材料料的直线公式式系数a，b及柔度，，10.4临界应力与欧欧拉公式应用用范围由上式可得上式中，a、b、均为只只与材料力学学性能有关的的常数，可令令(10.7)则(10.8)式中，是是对应于材料料屈服极限时时的柔柔度值。10.4临界应力与欧欧拉公式应用用范围例如Q235钢的屈服极限限，，常数数、、，则几种常见的材材料的值可由由表10-2中查得。10.4临界应力与欧欧拉公式应用用范围可见，当压杆杆的实际柔度度与与时时，才能能用直线经验验公式(10.7)计算其临界应应力，故直线线经验公式的的适用范围为为。。当压杆柔度值值时时，其临临界应力将达达到或超过材材料的屈服极极限，其已属属于强度问题题，而不会出出现失稳现象象。若将这类类压杆也按稳稳定形式处理理，则材料的的临界应力可可表表示为综上所述，在在计算压杆的的临界应力时时应根据其柔柔度值来选择择相应的计算算公式。如由由塑性材料制制成的压杆的的临界应力与与其柔度的关关系曲线及相相应的计算公公式可用图10.7来表示，称其其为临界应力总图图(totaldiagramofcriticalstress)10.4临界应力与欧欧拉公式应用用范围图10.7直线线型型临临界界应应力力总总图图由图图知知，，可可将将压压杆杆分分为为三三大大类类。。当时时，，称称为为细细长长杆杆，，或或大大柔柔度度杆杆；；可可用用欧欧拉拉公公式式(10.4)计算算其其临临界界应应力力。。(2)当时时，，称称为为中中长长杆杆，，或或中中柔柔度度杆杆；；可可用用直直线线经经验验公公式式(10.7)计算算其其临临界界应应力力。。(3)当时时，，称称为为短短粗粗杆杆，，或或小小柔柔度度杆杆；；其其临临界界应应力力就就为为材材料料的的屈屈服服极极限限，，属属强强度度问问题题。。10.4临界界应应力力与与欧欧拉拉公公式式应应用用范范围围2.抛物物线线型型经经验验公公式式其一一般般表表达达式式为为(10.10)上式式表表明明，，压压杆杆的的临临界界应应力力与与其其柔柔度度成成二二次次抛抛物物线线关关系系。。式式中中，，a1、b1为与与材材料料性性质质有有关关的的常常数数。。而而在在钢钢结结构构中中，，常常用用如如下下公公式式10.4临界界应应力力与与欧欧拉拉公公式式应应用用范范围围(10.11)式中中，，、、c为与与材材料料有有关关的的常常量量。。其其中中c是细细长长压压杆杆和和非非细细长长压压杆杆的的分分界界值值。。由于于初初曲曲率率、、压压力力的的偏偏心心及及残残余余应应力力等等因因素素的的影影响响，，工工程程中中的的实实际际受受压压杆杆件件不不可可能能处处于于理理想想中中心心受受压压直直杆杆的的状状态态，，所所以以在在实实用用上上并并不不是是以以比比例例极极限限所所对对应应的的柔柔度度值值为为分分界界点点，，而而是是以以与与材材料料相相关关的的经经验验值值c为分分界界值值。。例如如Q235钢的的，，，，各各种种常常用用材材料料的的、c值可可由由相相关关手手册册查查得得。。所所以以，，当当压压杆杆的的柔柔度度值值时时，，其其临临界界应应力力可可用用经经验验公公式式(10.11)计算算。。其其临临界界应应力力总总图图如如图图10.8所示示。。根根据据压压杆杆的的柔柔度度值值c可将将压压杆杆分分为为两两大大类类：：(1)当时时，，称称为为细细长长杆杆，，可可用用欧欧拉拉公公式式(10.4)计算算其其临临界界应应力力。。(2)当时时，，称称为为非非细细长长杆杆，，可可用用抛抛物物线线经经验验公公式式(10.11)计算算其其临临界界应应力力。。10.4临界界应应力力与与欧欧拉拉公公式式应应用用范范围围对于于非非细细长长压压杆杆，，除除以以上上两两种种经经验验公公式式以以外外，，其其临临界界应应力力的的计计算算还还有有很很多多不不同同的的观观点点，，如如折折减减弹弹性性模模量量理理论论等等，，可可参参阅阅有有关关的的书书籍籍。。【例10.3】】一两两端端铰铰支支的的空空心心圆圆管管，，其其外外径径D=60mm，内内径径d=45mm，材材料料的的，，，，其其直直线线经经验验公公式式为为。。试求求：：(1)可应应用用欧欧拉拉公公式式计计算算该该压压杆杆临临界界应应力力的的最最小小长长度度；；(2)当压压杆杆长长度度为为时时，，其其临临界界应应力力的的值值。。分析析：：应应用用欧欧拉拉公公式式的的条条件件是是压压杆杆必必须须为为大大柔柔度度杆杆，，所所以以根根据据条条件件即可可确确定定。。10.4临界界应应力力与与欧欧拉拉公公式式应应用用范范围围解：：(1)由公公式式(10.3)可知知压压杆杆的的柔柔度度为为且惯惯性性半半径径由欧欧拉拉公公式式的的应应用用条条件件且由由两两端端铰铰支支可可知知长长度度系系数数，，则则10.4临界界应应力力与与欧欧拉拉公公式式应应用用范范围围所以以压压杆杆的的最最小小长长度度为为(2)当压压杆杆长长度度时时，，其其柔柔度度值值为为因为为，，所以以压压杆杆为为中中长长杆杆，，应应用用直直线线经经验验公公式式可得得10.4临界界应应力力与与欧欧拉拉公公式式应应用用范范围围10.5压杆的稳定定校核将作为压杆杆具有稳定定性的极限限应力，则则可得压杆杆的稳定条条件压杆的临界界应力就是是压杆具有有稳定性的的极限应力力。但由于于压杆初曲曲率、压力力的偏心、、材料的不不均匀以及及支座的缺缺陷等因素素对临界压压力的影响响非常大，，所以，需需将由欧拉拉公式或经经验公式计计算出的临临界应力除除以以一个大于于1的稳定安全全系数nst，可得压杆杆的稳定许许用应力或以荷载表表示(10.12)(10.13)在应用时，，也可将上上述稳定条条件表示为为安全系数数法或(10.14)上式中为为实际际稳定安全全系数，为为给定定的稳定安安全系数。。另外须指出出，压杆的的稳定性是是对其整体体而言的，，故当其截截面有局部部削弱(如开孔、开开槽)时，可不考考虑其对稳稳定性的影影响。但对对削弱的截截面需作强强度校核。。在钢结构中，，常用折减系系数法对压杆杆稳定性进行行计算，即(10.15)10.5压杆的稳定校校核式中称称为折折减系数，它它是压杆稳定定许用应力与与材料料的强度许用用应力的的比值，实实际是压压杆柔度的的函数数，对应不同同的的的值值可由钢钢结构的相关关资料中查得得。【例10.4】在例10.1中，若已知矩矩形截面的高高h=60mm，宽b=25mm，压杆长度l=1.5m。压杆的材料料为Q235钢，规定的稳稳定安全系数数，，当当压杆受到F=90kN的压力作用时时，试校核压压杆的稳定性性。分析：欲校核核该压杆的稳稳定性，须先先确定压杆的的柔度值，以以此确定计算算临界应力的的公式，然后后即可由稳定定性条件对压压杆进行校核核。由于压杆杆在xoy和xoz平面内的柔度度值不同，所所以须分别计计算并取一较较大的柔度值值进行稳定性性校核。10.5压杆的稳定校校核解：(1)计算柔度。压杆若在xoy面内失稳，由由例10.1及图10.5可知，在该平平面内压杆可可视为两端铰铰支，即长度度系数，，此此时横截面绕绕z轴转动，所以以惯性半径为为所以柔度而若在xoz面内失稳，则则压杆可视为为两端固定，，即长度系数数，此时横截截面绕y轴转动，则惯惯性半径为10.5压杆的稳定校校核所以柔度比较两个方向向的柔度值，，因为，，故压杆杆必先在xoz平面内失稳，，所以应以来来计算压杆的的临界应力。。(2)计算临界压力力。查表10-2可知，Q235钢的，，，，所所以，，说明明压杆为中柔柔度杆，应由由直线经验公公式进行计算算。由Q235钢的经验公式式可得10.5压杆的稳定校校核(3)稳定性校核。。由稳定性条件件式(10.12)，且压杆的许许用临界应力力为则所以，压杆的的稳定性满足足要求。10.5压杆的稳定校校核在上例中还可可用安全系数数法对压杆进进行稳定性校校核，即由稳定性条件件式(10.14)可知，压杆是是稳定的。另另外，亦可采采用式(10.13)或式(10.15)对压杆进行稳稳定校核，可可自行分析计计算。10.5压杆的稳定校校核【例10.5】一两端铰支的的圆截面压杆杆，长度l=2m，材料的弹性性模量E=200GPa，=200GPa，最大的轴向向压力，规定定的稳定安全全系数nst=4，试按稳定条条件设计压杆杆的直径d。分析：因压杆杆的直径d为所求量，所所以无法确定定杆件的柔度度，也就不能能确定临界应应力的计算公公式。因此，，只能采用试试算法。即可可先假设可应应用欧拉公式式计算，待求求出直径后，，再求出柔度度并验证是否否满足欧拉公公式的应用条条件。解：由欧拉公公式(10.2)，且长度系数数，，所以以10.5压杆的稳定校校核由式(10.15)安全系数法所以压杆的惯惯性半径解得则柔度值为10.5压杆的稳定校校核因为，，所以应应用欧拉公式式计算是正确确的，可d=43mm。且由式(10.5)知10.5压杆的稳定校校核【例10.6】一两端固定的的压杆长l=7m，其横截面由由两个10号槽钢组成，，已知材料的的E=200GPa，，，且材材料的经验公公式为，规定稳定安安全系数。。试求当当两个槽钢靠靠紧(如图10.9(a)所示)和离开相距a=40mm放置(图10.9(b))时，钢杆的许许可载荷F。图10.9例10.5图10.5压杆的稳定校校核分析：压杆的的许可载荷取取决于杆件的的临界力。所所以，需先求求出压杆的柔柔度值并选择择相应的临界界应力计算公公式即可求解解。解：由型钢表表可知10号槽钢的参数数：A=1247cm，，，，。。(1)当截面为图10-9(b)两槽钢靠紧放放置时，可知知所以截面的最最小惯性半径径为10.5压杆的稳定校校核由图10.9(a)可知，压杆在在各方向的支支承均为两端端固定，故长长度系数均为为。。所以可知压杆为大大柔度杆，可可用欧拉公式式计算其临界界应力则10.5压杆的稳定校校核由稳定性条件件式(10.13)可得许可载荷荷为(2)当截面为图10.9(c)两槽钢离开一一定距离放置置时，需计算算两个方向的的惯性矩并以以此判断压杆杆可能失稳的的方向。10.5压杆的稳定校校核由稳定性条件件式(10.13)可得许可载荷荷为(2)当截面为图10.9(c)两槽钢离开一一定距离放置置时，需计算算两个方向的的惯性矩并以以此判断压杆杆可能失稳的的方向。10.5压杆的稳定校校核因为，，且且在两方向的的长度系数均均为，所以压压杆应首先绕绕y轴失稳。由柔度公式(10.12)压杆为非细长长杆，临界应应力可由经验验公式计算10.5压杆的稳定校校核由式(10-13)可得许可载荷荷为比较以上两种种情况可知，，将两槽钢离离开一定距离离的截面形式式可使压杆的的稳定性明显显增强，承载载能力大大提提高。在条件件许可的情况况下，最好能能使，以便使使压杆在两个个方向有相等等的抵抗失稳稳的能力。这这也是设计压压杆的合理截截面形状的基基本原则。10.5压杆的稳定校校核所谓提高压杆杆的稳定性，，就是要提高高压杆的临界界应力。由计计算临界应力力的欧拉公式式(10.4)可知，欲提高高压杆的临界界应力可从以以下两方面考考虑。10.6提高压杆稳定定性的措施合理的选用材材料对于大柔度压压杆，其临界界应力与材料料的弹性模量量E成正比，所以以选用E值大的材料可可提高压杆的的稳定性。但在工程实际际中，一般压压杆均是由钢钢材制成的，，由于各种类类型的钢材的的弹性模量E值均在200～240GPa之间，差别不不是很大。故故用高强度钢钢代替普通钢钢做成压杆，，对提高其稳稳定性意义不不大。而对于于中、小柔度度杆，由经验验公式可知，，其临界应力力与材料强度度有关，所以以选用高强度度钢将有利于于压杆的稳定定性。2.减小压杆的柔柔度由临界应力公公式可知，压压杆的柔度越越小，其临界界应力越大。。所以，减小柔度是提提高压杆稳定定性的主要途途径。由式(10.3)的柔度计算公公式可知，对于减减小压杆柔度度可从三方面面考虑：(1)选择合理的截截面形状，增增大截面的惯惯性矩。在压杆横截面面面积A一定时，应尽尽可能使材料料远离截面形形心，使其惯惯性矩I增大。这样可可使其惯性半半径增大，则则柔度值将减减小。如图10.10(a)所示，当面积积相同时，空空心圆截面要要比实心圆合合理10.6提高压杆稳定定性的措施图10.10(b)中由四个等边边角钢组成的的截面，分散散布置形式的的组合截面要要比集中布置置形式的组合合截面合理。。但也不能为了了增加截面的的惯性矩而无无限制地加大大圆环截面的