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文档简介
高等数学一、罗尔(Rolle)中值定理机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理,费马定理是它的预备定理,罗尔定理是它的特例,柯西定理是它的推广。中值定理且存在证:
设则费马目录上页下页返回结束一.预备定理——费马(Fermat)定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束xO
yaABby=f(x)几何解释:
如果连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线平行于x轴。二.罗尔(Rolle)定理C机动目录上页下页返回结束证明：f(x)在区间[a,b]上连续,必有最大值M和最小值m(2)上述函数中，求满足罗尔定理条件的机动目录上页下页返回结束例1:(1)下面函数中，在[-1,1]上满足罗尔定理条件的是注意:1)定理条件不全具备,结论不一定成立.例如：机动目录上页下页返回结束2)定理条件非必要，只是充分的.(a)闭区间内连续.(b)开区间内可导.(c)端点处函数值相等.8例2:不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解：
因为f(1)=f(2)=f(3)=0,f(x)在[1,2],[2,3]上满足罗尔定理的三个条件，所以在(1,2)内至少存在一点x1,使f
(x1)=0,x1是
f(x)的一个零点。同理，在(2,3)内至少存在一点x2,使f
(x2)=0,x2也是f
(x)的一个零点。
f
(x)
是二次多项式,只能有两个零点,分别在区间(1,2)及(2,3)内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。机动目录上页下页返回结束1.填空题设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上.方程机动目录上页下页返回结束2.验证罗尔定理对函数在区间上的正确性。有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1的正根设机动目录上页下页返回结束有且仅有一个小于1的正实根.2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!机动目录上页下页返回结束且在内可导,
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