导学案：幂函数的概念

幂函数学习目标重点难点1．能记住幂函数的概念，会判断一个函数是否是幂函数；2．能画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\f(1,x2)的图象，会分析它们各自的性质；重点：幂函数的定义以及幂函数的图象与性质；难点：当α＞0和α＜0时，幂函数y＝xα的性质及其应用．疑点：幂函数与指数函数的比较.1．幂函数的概念一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作(α次的)幂函数．预习交流1幂函数与指数函数有何区别？提示：幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)中，底数是常数，指数是自变量．预习交流2函数y＝eq\f(1,x)与y＝eq\r(x)是否是幂函数？提示：是．y＝eq\f(1,x)与y＝eq\r(x)的解析式经改写，均可化为幂函数y＝xα的形式，y＝eq\f(1,x)＝x－1，y＝eq\r(x)＝.2．幂函数的图象六个常见幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)，y＝eq\f(1,x2)在同一直角坐标系下的图象如下图：预习交流3从上面的图象分析，哪些函数是奇函数？哪些函数是偶函数？哪些函数在(0，＋∞)上单调递增？哪些函数在(0，＋∞)上单调递减？提示：y＝x，y＝x3，y＝eq\f(1,x)是奇函数，y＝x2，y＝eq\f(1,x2)是偶函数，y＝eq\r(x)是非奇非偶函数；y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)在(0，＋∞)上都是递增的，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\f(1,x2)在(0，＋∞)上是递减的．3．幂函数的性质(1)当α＞0时，幂函数y＝xα在区间[0，＋∞)上有如下性质：①都经过两个点(0,0)和(1,1)，即0α＝0,1α＝1；②都是递增函数；③幂函数y＝xα与直线y＝x有如下关系：0＜x＜1x＞1α＞1在y＝x的下方在y＝x的上方0＜α＜1在y＝x的上方在y＝x的下方(2)当α＜0时，幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上有如下性质：①图象都经过(1,1)点，即1α＝1；②都是递减函数；③图象向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近．预习交流4幂函数的图象能否出现在第四象限？提示：对幂函数y＝xα而言，当x＞0时，必有y＞0，故幂函数图象不过第四象限．一、幂函数的概念已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n思路分析：根据幂函数的定义，应有m2＋2m－2＝1，2n－3＝0，从而可求m，n解：∵函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n由幂函数定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).1．下列函数中是幂函数的是()A．y＝x2xB．y＝2xC．D．y＝3x＋2答案：C2．幂函数f(x)的图象经过点(8,4)，则f(x)＝________.答案：解析：∵f(x)是幂函数，∴设f(x)＝xα.又∵f(x)的图象过点(8,4)，∴8α＝4，α＝eq\f(2,3).∴f(x)＝.1．形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：①系数为1，②指数为一常数，③后面不加任何项．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．2．由于幂函数的解析式中只含有一个参数α，因此只需一个独立的条件即可确定其解析式，当已知幂函数经过某一点时，可采用待定系数法求出解析式．二、幂函数的图象函数y1＝x5，y2＝eq\f(1,x)，y3＝x4，y4＝x－2，的图象分别是下列图象①②③④⑤中之一，则函数y1，y2，y3，y4，y5的图象依次是__________．思路分析：根据幂函数的性质进行分析判断．答案：⑤①②④③解析：从函数的奇偶性分析，函数y1，y2是奇函数，可能对应图象①，⑤；y3，y4是偶函数，可能对应图象②，④；y5不具有奇偶性，只能对应图象③.从函数的单调性分析，函数y1在区间[0，＋∞)上是增函数，对应图象⑤，函数y2在区间(0，＋∞)上是减函数，对应图象①，函数y3在区间[0，＋∞)上是增函数，对应图象②，函数y4在区间(0，＋∞)上是减函数，对应图象④.所以函数y1，y2，y3，y4，y5的图象依次是⑤①②④③.如图，图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为()．A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案：B幂函数的图象和性质可类比五个常见幂函数的图象和性质记忆：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－