新高中人教B版数学必修五课时作业111正弦定理

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)课时目标1.熟记正弦定理的内容.2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．ABCπ1．在△ABC中，A＋B＋C＝________，2＋2＋2＝2.π，则a＝________，b＝_____________________________.2．在Rt△ABC中，C＝2cc3．一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的__________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________．4．正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即_______，这个比值是______________________．一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶3∶22．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为()A.3＋1B．23＋1C．26D．2＋232223．在△ABC中，sinA＝sinB＋sinC，则△ABC为()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形4．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为()A．A>BB．A<BC．A≥BD．A，B的大小关系不能够确定5．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B等于()A．45°或135°B．60°C．45°D．135°6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若是c＝3a，B＝30°，那么角C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°二、填空题7．在△ABC中，AC＝6，BC＝2，B＝60°，则C＝___________________________.18．在△ABC中，若tanA＝3，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.2π9．在△ABC中，b＝1，c＝3，C＝3，则a＝________.10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.三、解答题11．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．12．在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．a14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求b的取值范围．1．利用正弦定理能够解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．比方：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．a＝bsinAbsinA<a<ba<bsinAa≥bA为锐角一解(直角)两解(一锐角，一钝角)无解一解(锐角)a≤ba≤b为直角或钝角一解(锐角)无解§1.1正弦定理和余弦定理1．1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π2.sinAsinB3.元素解三角形a＝b＝c三角形外接圆的直径4.sinAsinBsinC2R作业设计1．Da＝b，得4＝b，∴b＝26.]2．C[由正弦定理sinAsinBsin45°sin60°3．A[sin2A＝sin2B＋sin2CR)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．]4．A[由sinA>sinB2RsinA>2RsinBa>bA>B.]a＝b得sinB＝bsinA2sin60°25．C[由sinA＝3＝sinBa2.a>b，∴A>B，B<60°.∴B＝45°.]6．A[∵c＝3a，∴sinC＝3sinA＝3sin(180－°30°－C)＝3sin(30＋°C)132sinC＋2cosC，即sinC＝－

3cosC.∴tanC＝－

3.又

C∈(0°，180°)，∴C＝120°.]7．75°剖析由正弦定理得2＝6，∴sinA＝2sinAsin60°2.BC＝2<AC＝6，∴A为锐角．∴A＝45°.C＝75°.8.102剖析∵tanA＝1，A∈(0°，180°)，∴sinA＝10310.由正弦定理知BC＝AB，sinAsinC∴AB＝BCsinC＝1×sin150°10sinA10＝2.109．1剖析由正弦定理，得3＝1，2πsinBsin31∴sinB＝2.∵C为钝角，π∴B必为锐角，∴B＝，6π∴A＝6.∴a＝b＝1.10．30°剖析∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosA，sin60＝°2sinA，化简得：sinA＝33，∴A＝30°.3cosA，∴tanA＝3abc11．解∵sinA＝sinB＝sinC，22×2asinB22∴b＝2sin45°＝sin30＝1＝4.sinA°2C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，asinC22sin105°22sin75°∴c＝sinA＝sin30°＝1＝2＋23.212．解a＝23，b＝6，a<b，A＝30°<90°.又由于bsinA＝6sin30＝°3，a>bsinA，因此本题有两解，由正弦定理得：sinB＝bsinA6sin30°3＝23＝，故B＝60°或120°.a2当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23.因此B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.π13.6剖析∵sinB＋cosB＝π2sin(＋B)＝2.4π∴sin(4＋B)＝1.π又0<B<π，∴B＝.42由正弦定理，得sinA＝asinB2×21＝2＝.b2π又a<b，∴A<B，∴A＝.614．解在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，B<90°，即2B<90°，∴30°<B<45°.180°－3B<90°，由正弦定理知：a＝sinA＝sin2B＝2cosB∈(2，3)，bsinBsinB故a的取值范围是(2，3)．b正弦定理(二)课时目标1.熟记正弦定理的有关变形公式.2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．a＝b＝c＝2R的常有变形：1．正弦定理：sinAsinBsinC(1)sinA∶sinB∶sinC＝________；a＝b＝c＝a＋b＋c＝______；(2)sinAsinBsinCsinA＋sinB＋sinC(3)a＝__________，b＝__________，c＝__________；(4)sinA＝________，sinB＝________，sinC＝____________.2．三角形面积公式：S＝__________＝____________＝______________.一、选择题1．在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形abcD．等腰三角形2．在△ABC中，若cosA＝cosB＝cosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3，a＝10，则边长c的取值范围是()3．在△ABC中，sinA＝415，＋∞B．(10，＋∞)A.240C．(0,10)D.0，34．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形必然是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶66．已知三角形面积为1，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()4A．1B．21C.2D．4二、填空题7．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝1，S△ABC＝43，则b＝________.38．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c＝________.ab2c9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则sinA＋2sinB＋sinC________.a＋b＋c10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则＝sinA＋sinB＋sinC________，c＝________.三、解答题a－ccosB＝sinB11．在△ABC中，求证：b－ccosAsinA.2212．在△ABC中，已知atanB＝btanA，试判断△ABC的形状．能力提升13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为()A．45°B．60°C．75°D．90°Bπ14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝4，cos2＝255，求△ABC的面积S.1．在△ABC中，有以下结论：(1)A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；(3)A＋BCπ2＋＝；22(4)sinA＋B＝cosC，cosA＋B＝sinC，tanA＋B＝122222C.tan22．借助正弦定理能够进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.1正弦定理(二)答案知识梳理1．(1)a∶b∶c(2)2R1bcsinA2casinB作业设计1．D2．B[由正弦定理知：

(3)2RsinA2RsinB2RsinC(4)abc112R2R2R2.absinC22sinA＝sinB＝sinC，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.]cosAcosBcosCc＝a＝40，∴c＝40403．D[∵sinCsinA33sinC．∴0<c≤3.]4．A[由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，sin(B＋C)＝2sinBcosC，sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，sin(B－C)＝0，∴B＝C.]5．B[∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，b＋cc＋aa＋b∴4＝5＝6.令b＋c＝c＋a＝a＋b＝k(k>0)，4567a＝2kb＋c＝4k5则c＋a＝5k，解得b＝2k.a＋b＝6k3c＝2k∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]6．A[设三角形外接圆半径为21abcabc△4R42＝1，∴abc＝1.]47．23剖析∵cosC＝1，∴sinC＝22，∴1absinC＝43，∴b＝23.3328．2剖析由正弦定理a＝b，得3＝1，sinAsinBsin60°sinBsinB＝12，故B＝30°或150°.由a>b，得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.9．7剖析∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴a＝b＝c＝2R＝2，sinAsinBsinCa＋b＋2c＝2＋1＋4＝7.sinA2sinBsinC10．126剖析a＋b＋c＝a＝63＝12.sinA＋sinB＋sinCsinA3211S△ABC＝2absinC＝2×63×12sinC＝183，∴sinC＝1，∴c＝a＝12，∴c＝6.2sinCsinAabc11．证明由于在△ABC中，sinA＝sinB＝sinC＝2R，因此左边＝2RsinA－2RsinCcosB＝B＋C－sinCcosB＝sinBcosC＝sinB＝右2RsinB－2RsinCcosAA＋C－sinCcosAsinAcosCsinA边．因此等式建立，即a－ccosB＝sinBb－ccosAsinA.12．解设三角形外接圆半径为22R，则atanB＝btanAa2sinB＝b2sinAcosBcosA4R2sin2AsinB4R2sin2BsinAcosB＝cosAsinAcosA＝sinBcosBsin2A＝sin2B2A＝2B或2A＋2B＝ππA＝B或A＋B＝2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．13．C[设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，∴sinC＝sin(120°－A)＝sin120cos°A－cos120sin°A＝3＋1＝3＋1＝3＋1，sinAsinAsinA2tanA2222tanA＝1，A＝45°，C＝75°.]2B－1＝3，14．解cosB＝2cos25故B为锐角，sinB＝4.53π72因此sinA＝sin(π－B－C)＝sin4－B＝10.由正弦定理得c＝asinC＝10，sinA7111048因此S△ABC＝acsinB＝×2××＝.22757余弦定理(一)课时目标1.熟记余弦定理及其推论.2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的______等于其他两边的______的和减去这两边与它们的____的余弦的积的______．即a2＝______________，b2＝__________________，c2＝_______.2．余弦定理的推论cosA＝______________________；cosB＝______________________；cosC＝______.3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝______；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝______；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝______.一、选择题1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.3B．3C.5D．52．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()ππA.3B.6ππC.4D.123．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B.2C．2D．44．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()1322A.4B.4C.4D.32A＝c－b(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状5．在△ABC中，sin22c为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形6．在△ABC中，已知面积S＝1(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()4A．135°B．45°C．60°D．120°二、填空题7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.9．三角形三边长为a，b，a2＋ab＋b2(a>0，b>0)，则最大角为________．π10．在△ABC中，BC＝1，B＝3，当△ABC的面积等于3时，tanC＝________.三、解答题11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．能力提升13．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．14．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理能够解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理能够看作是勾股定理的推行，勾股定理能够看作是余弦定理的特例．1．1.2余弦定理(一)答案知识梳理1．平方平方夹角两倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c22.2bc2ca2ab3．(1)90°(2)60°(3)135°作业设计1．A2222．B[∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理cosC＝a＋b－c2ab＝72＋32－13232×7×43＝2.π∴C＝.]6222c2222a＋b－c＋a－b＝2a3．C[bcosC＋ccosB＝b·2ab＋c·2ac2a＝a＝2.]2222224．B[∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cosB＝a＋c－b＝a＋4a－2a＝3.]2ac2a·2a45．B[∵sin2A＝1－cosA＝c－b，∴cosA＝b＝b2＋c2－a2a2＋b2＝c2，222cc2bc吻合勾股定理．故△ABC为直角三角形．]6．B12221222222[∵S＝(a＋b－c)＝absinC，∴a＋b－c＝2absinC，∴c＝a＋b－2absinC.42由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°.]7．120°8．30°剖析∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×cos60°＝12，∴c＝23.由正弦定理a＝c1sinAsinC得，sinA＝.2a<c，∴A<60°，A＝30°.9．120°剖析易知：a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，设最大角为θ，则cosθ＝a2＋b2－a2＋ab＋b22＝－1，∴θ＝120°.2ab210．－231剖析S△ABC＝2acsinB＝3，c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝13，cosC＝a2＋b2－c2＝－1，sinC＝12，2ab1313∴tanC＝－12＝－23.2222222，设中线长为11．解由条件知：cosA＝AB＋AC－BC＝9＋8－7＝x，由余弦定2·AB·AC2×9×832AC22AC222理知：x＝2＋AB－2··ABcosA＝4＋9－2×4×9×＝49，23∴x＝7.因此所求中线长为7.112．解(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－2，又∵C∈(0°，180°)，C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，a＋b＝23，∴ab＝2.AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，AB＝10.△＝132213.3剖析∵cosC＝BC2＋AC2－AB2＝2，2×BC×AC2sinC＝22.AD＝AC·sinC＝3.14．解由余弦定理知b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2cosA＝2bc，cosB＝2ac，cosC＝，2ab代入已知条件得b2＋c2－a2a2＋c2－b2c2－a2－b2a·2bc＋b·＋c·＝0，2ac2ab通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，张开整理得(a2－b2)2＝c4.a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.依照勾股定理知△ABC是直角三角形．余弦定理(二)课时目标1.熟练掌握正弦定理、余弦定理.2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a＝sinA

bsinB

＝

csinC

＝______.(2)a＝________，b＝________，c＝________.(3)sinA＝______，sinB＝______，sinC＝____________________________________.(4)sinA∶sinB∶sinC＝________.2．余弦定理及其推论(1)a2＝________________.(2)cosA＝________________.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为________；c2>a2＋b2?C为________；c2<a2＋b2?C为________．3．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：(1)A＋B＋C＝____，A＋B＝__________.2(2)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________.(3)sinA＋B＝________，cosA＋B＝__________.22一、选择题1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状必然是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为()A．30°B．60°C．90°D．120°4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则()A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能够确定6．若是将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定二、填空题2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.7．在△ABC中，边a，b的长是方程x8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．9．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则△ABC外接圆的面积是________．三、解答题a2－b211．在△ABC中，求证：A－B.c2＝sinC3→→12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB=,且AB·BC＝－21.5(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.能力提升13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是()πB．0<C<πA．0<C≤26ππππC.<C<D.<C≤62632314．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝ac且cosB＝.1＋1的值；4(1)求tanAtanC→→3(2)设BA·BC＝，求a＋c的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的6个元素中要已知三个(最少有一边)才能求解，常有种类及其解法见下表：已知条件应用一般解法定理一边和两角正弦由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解(如a，B，C)定理时只有一解.两边和夹角余弦由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解.(如a，b，C)定理三边(a，b，c)

正弦定理余弦定理正弦

由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解.定原因正弦定理求出角B；由两边和其中一边的对余弦用正弦定理或余弦定理求角如(a，b，A)定理2.依照所给条件确定三角形的形状，主要有两种路子(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理推行边、角变换．

A＋B＋C＝180°，求出角C；再利c.可有两解、一解或无解.1．1.2余弦定理(二)答案知识梳理abc1．(1)2R(2)2RsinA2RsinB2RsinC(3)2R2R2R22b2＋c2－a2(4)a∶b∶c2.(1)b＋c－2bccosA(2)2bc(3)直角钝角锐角πC(2)sinC－cosC－tanC(3)cosCsinC3.(1)π－2222作业设计1．C[∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，a2＋b2－c2＝－ab，即a2＋b2－c2＝－1，2ab2cosC＝－1，∴∠C＝120°.]22．C[∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]3.B[∵a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，不如设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，22－721则cosC＝3＋5＝－.2×3×52C＝120°.∴最小外角为60°.]4．D[∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.]5．A[在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.]6．A[设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x22(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．]7.19剖析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，c＝19.8．2<a<8剖析∵2a－1>0，∴a>1，最大边为2a＋1.2222∵三角形为钝角三角形，∴a＋(2a－1)<(2a＋1)，a>2，∴2<a<8.9．12剖析11AB·AC·sin60＝°23，S△ABC＝AB·AC·sinA＝22AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosAAB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.13π10.3剖析133，S△ABC＝bcsinA＝4c＝2c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4cos60°＝13，∴a＝13.2R＝a＝13＝239，sinA332∴R＝39213π3.∴S外接圆＝πR＝3.sinAcosB－cosAsinB＝sinAsinB11．证明右边＝sinCsinC·cosB－sinC·cosA222aa＋c－b＝·2acc

222222bb＋c－a＝a＋c－bb－·2bc2c2－c

22222＋c－aa－b＝左边．2＝22cca2－b2A－B.因此2＝sinCc12.解→→→→＝21.（1）∵AB·BC＝－21，BA·BC→→→→BA·BC＝|BA||BC·|·cosB＝accosB＝21.ac＝35，∵cosB＝3，∴sinB＝4.55114∴S△ABC＝acsinB＝×35×＝14.225(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝42.由正弦定理：c＝bsinCsinB.csinB＝54＝2∴sinC＝4×2.b25∵c<b且B为锐角，∴C必然是锐角．∴C＝45°.13．A[方法一(应用正弦定理)∵AB＝BC，∴1＝2sinCsinAsinCsinAsinC＝12sinA，∵0<sinA≤1，1∴0<sinC≤2.AB<BC，∴C<A，∴C为锐角，π0<C≤6.方法二(应用数形结合)以下列图，以B为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和πA2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝6，π0<C≤6.]332714．解(1)由cosB＝4，得sinB＝1－4＝4.由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC.11cosAcosCsinCcosA＋cosCsinA于是tanA＋tanC＝sinA＋sinC＝sinAsinC＝sinB＝1＝47＝27.sinBsinB→→33(2)由BA·BC＝得ca·cosB＝，22由cosB＝34，可得ca＝2，即b2＝2.由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB＝5，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.

A＋C2sinB§1.2应用举例(一)课时目标1.认识数学建模的思想.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们依照测量需要合适确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方向角：指从正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方向角为α.3．计算不能直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P在点Q的北偏西A．南偏西45°10′C．南偏东45°10′

45°10方′向上，则点Q在点P的()B．南偏西44°50′D．南偏东44°50′2．已知两灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．103nmile106B.3nmileC．52nmileD．56nmile4．以下列图，设定一点C，测出两点的距离为(

A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B)A．502mB．503mC．252mD.252m25．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(6＋2)海里/小时B．20(6－2)海里/小时C．20(6＋3)海里/小时D．20(6－3)海里/小时6．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距近来时，它们所航行的时间是()15015A.7分钟B.7小时C．21.5分钟D．2.15分钟二、填空题7．如图，A、B两点间的距离为________．8．如图，A、N两点之间的距离为________．9．以下列图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为______．10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.三、解答题11．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126nmile，在看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83nmile，货轮由A处向正北航行到D再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：

A处处时，(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．12．如图，为测量河对岸

A、B两点的距离，在河的这边测出

CD

的长为

32

km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．能力提升13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向搬动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的连续时间为(A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时

)14．以下列图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？1．解三角形应用问题的基本思路是：画图解三角形检验实责问题――→数学问题――→数学问题的解――→实责问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有阻挡物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要依照实质需要采用合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2应用举例(一)答案知识梳理2．顺时针作业设计1．C2．B[∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理得AB＝3a.]BC＝AB3．D[在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：sinAsinB∴BC＝10解得BC＝56.]sin60°sin45°4．AAC＝AB，[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACBsin∠ABC2AB＝AC·sin∠ACB＝50×2＝502(m)．]sin∠ABC125．B[由题意，∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.由正弦定理得MN＝MSsin30°sin105.°∴MN＝MSsin30°10＝10(6－2)．sin105＝6＋2°4则v货＝20(6－2)海里/小时．]6．A[设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距ykm，则∠DBC＝180°－60°＝120°.y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋10025x－52－25＝28(x－x)＋100＝2814＋10077∴当x＝515014(小时)＝7(分钟)时，y2有最小值．∴y最小．]7．32－28．4039．60m剖析在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.AC＝AB＝120m.作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．由正弦定理得AC＝CD，sin∠ADCsin∠CAD120＝CD，sin90°sin30°CD＝60(m)∴河的宽度为60m.10.

36剖析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得，BC＝AB，sin∠CABsin∠ACB∴BC＝1·sin15＝°6－2(km)．sin6023°设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75＝°6－26＋2(km)．23·4＝3611．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝ABsinBsin∠ADB2126×2＝24(nmile)．32在△ADC中，由余弦定理得，CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°，解得CD＝83≈14(nmile)．即A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离约为14nmile.12．解在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，BCCD由正弦定理得＝，则BC＝CDsin30°6sin45＝(km)．°4在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形．3∴AC＝CD＝2(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB22＋BC236－2×3623＝AC－2AC·BC·cos45°＝＋162×4×＝，428∴AB＝64(km)．答河对岸A、B两点间距离为64km.13．B[设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40·cos45°＝302.化简得：4t2－82t＋7＝0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝7.4从而|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝1.]14．解以下列图，连接A1B2，由已知A2B2＝102，20A1A2＝302×＝102，60A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，A1B2＝A1A2＝102.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，B1B22＝A1B12＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45＝°202＋(102)2－2×20×102×2＝200.2∴B1B2＝102.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)．答乙船每小时航行302海里．§1.2应用举例(二)课时目标1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题理及三角形面积公式解决三角形中的几何胸襟问题．

.2.利用正、余弦定1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线____方时叫仰角，目标视线在水平线____方时叫俯角．(以下列图)2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为________．一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为()A．α>βB．α＝βC．α<βD．α＋β＝90°2．设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是()40A．203m，33mB．103m,203mC．10(3－2)m,203m20D.23m，33m3．如图，为测一树的高度，在地面上采用A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．30＋303mB．30＋153mC．15＋303mD．15＋33m4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为()A．2h米B.2h米C.3h米D．22h米5．在某个地址测得某山岳仰角为θ，对着山岳在平行地面上前进600m后测仰角为原来的2倍，连续在平行地面上前进2003m后，测得山岳的仰角为原来的4倍，则该山岳的高度是()A．200mB．300mC．400mD．1003m6．平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形面积是()A．16B．17.5C．18D．18.53二、填空题7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为103，则其周长为________．9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10nmile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9nmile的速度向一小岛凑近，舰艇时速21nmile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．三、解答题11．以下列图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．能力提升13．以下列图，为认识某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．14．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．1．测量底部不能到达的建筑物的高度问题．由于底部不能到达，这类问题不能够直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，尔后转变为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依照需要求出所求的角．§1.2应用举例(二)答案知识梳理11．上下2.2absinC作业设计1．B2．A[h甲＝20tan60＝°203(m)．h乙＝20tan60403(m)．]－°20tan30＝°3160×＝303．A[在△PAB中，由正弦定理可得60＝PB，PB＝2，－sin30°sin15°sin15°h＝PBsin45＝°(30＋303)m.]A[以下列图，BC＝3h，AC＝h，AB＝3h2＋h2＝2h.]5．B[以下列图，600·sin2θ＝2003·sin4θ，cos2θ＝23，∴θ＝15°，∴h＝2003·sin4θ＝300(m)．]6．A[设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cosα＝3或a＝4，b＝5，cosα＝3，55SABCD＝absinα＝16.]7．北偏东30°3a剖析以下列图，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°，由正弦定理知BC＝AC，sin∠CABsinB∴1＝3，sin∠CABsin120°sin∠CAB＝1，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，2BC＝AB＝a，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·－1＝3a2，∴AC＝3a.28．20剖析设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则S＝1AB·AC·sinA＝103k2＝103.2∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：222·AC·cosA＝82＋521BC＝AB＋AC－2AB－2×8×5×＝49.2BC＝7，∴周长为AB＋BC＋CA＝20.27π9.5剖析不如设三角形三边为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：222222＝7，cosA＝b＋c－a＝12＋12－62bc2×12×128sinA＝1－72＝15.88由1(a＋b＋c)·r＝1bcsinA得r＝315.225内切圆227π∴S＝πr＝5.210.3剖析设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2或t＝－52×10×9tcos120，°解得t＝312(舍)．11．解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.依照正弦定理得：AC＝BC，sin∠ABCsin∠BAC即AC＝BC，－αα－β∴AC＝BCcosα＝hcosαα－βα－β.hcosαsinβ在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝α－β.hcosαsinβ即山高CD为α－β.12．解连接BD，则四边形面积11S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC.22A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.1S＝2(AB·AD＋BC·CD)·sinA＝16sinA.由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cosC＝52－48cosC，20－16cosA＝52－48cosC.1又cosC＝－cosA，∴cosA＝－2.∴A＝120°.∴四边形ABCD的面积S＝16sinA＝83.13．解作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298(m)，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130(m)，EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得DE2＋EF2－DF2＝1302＋1502－102×298＝16cos∠DEF＝2DE·EF2×130×15065.即∠DEF的余弦值为1665.14．解以下列图：CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°∵AB＝30，∴BC＝30，30BD＝＝303.tan30°在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，CD＝30，即两船相距30m.复习课解三角形课时目标1.掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形胸襟问题．2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实责问题．一、选择题1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对2．在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C.－1，0D.1，＋∞224．以下列图，D、C、B三点在地面同素来线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于()A.asinαsinβB.asinαsinβα－βα－βC.asinαcosβD.acosαcosβα－βα－β5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为()A．25B．51C．493D．496．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°二、填空题5x2－7x－6＝0的根，则7．三角形两条边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦值是方程此三角形的面积是2________cm.8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，