弹性力学讲义第2章(p)课件

弹性力学讲义

第二章平面问题的基本理论——byChenping弹性力学讲义第二章平面问题的基本理论——byCh1第二章平面问题的基本理论

本章主要内容平面应力和平面应变问题的概念平衡微分方程、几何方程、物理方程的建立边界条件和圣维南原理按位移和按应力求解平面问题。

第二章平面问题的基本理论本章主要内容2平面应力问题

平面应变问题

问题简化平面问题[特殊形状+特殊外力（约束）]空间问题（空间物体+空间力系）§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应力问题平面应变问题问题简化平面问题[特殊形状+3§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应力问题

几何形状—等厚度薄板面力体力外力—平行于板面并且不沿厚度变化例如深梁,以及平板坝的平板支墩等§2-1平面应力问题与平面应变问题平面应力问题几何形状4应力、应变和位移

应力

附1应变位移下面讨论平面问题的应力，应变和位移特点应力、应变和位移应力附1应变位移下面讨论平面问题的5平面应力问题

薄板厚度只剩平行于xy面的三个应力分量:

由于板很薄,外力又不沿厚度变化

切应力互等

§2-1平面应力问题与平面应变问题

薄板上下面

平面应力问题薄板厚度只剩平行于xy面的三个应力分量:由6

只有平面应力分量存在且仅为x，y的函数的弹性力学问题。§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应力问题——非独立变量只有平面应力分量7平面应变问题

几何形状—柱形体

很长

面力、体力--在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化内在因素和外来作用都不沿长度变化。

如挡土墙,涵洞或隧道,压力圆柱管,辊轴§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应变问题几何形状—柱形体很长面力、体力-8涵洞挡土墙或重力坝压力圆柱管长圆柱形辊轴涵洞挡土墙或重力坝压力圆柱管长圆柱形辊轴9平面应变问题

柱形体很长§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应变问题（二）平面应变问题（一）有限长度，轴向变形被限制无限长度，轴向变形也完全受到限制平面应变问题柱形体很长§2-1平面应力问题与平面应10平面应变问题

柱形体很长任一横截面都可以看作是对称面因此，只剩下平行于xy

面的三个形变分量！§2-1平面应力问题与平面应变问题

位移应变应力平面位移问题

平面应变问题柱形体很长任一横截面都可以看作是11平面应变问题——只有平面应变分量存在，

，，且仅为x，y

的函数的弹性力学问题。§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应变问题——§2-1平面应力问题与平面应变问题12平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在地基上，力学工作者想把它近似地简化为平面问题处理，问应如何考虑？2.平面问题的求解只需考虑xy

面上的各个分量，原因是另外一个方向上任何分量都为零。（对错判断）平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在13§2-2平衡微分方程

在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:

静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式,也就是平面问题的平衡微分方程。表示区域内任一点（x,y）的微分体的平衡条件

§2-2平衡微分方程在弹性力学里分析问题,要从三方面来考14§2-2平衡微分方程

从平面问题中任取微小的正平行六面体

x方向

dx

y方向

dyz方向设为1各面应力均匀分布，作用在截面中心体力也均匀分布，作用在体积中心§2-2平衡微分方程从平面问题中任取微小的正平行六面体15平均正应力或切应力的增量可用泰勒级数表示为：略去二阶及更高阶微量§2-2平衡微分方程

简化为平均正应力或切应力的增量可用泰勒级数表示为：略去二阶及更高阶16静力平衡微分方程公式推导考虑了正负x,y面上应力增量公式推导以正的物理量表示应力和体力应乘以其面积和体积，得出合力连续性、小变形假设静力平衡微分方程公式推导考虑了正负x,y面上应力增量17静力平衡微分方程公式推导过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：

§2-2平衡微分方程

上式，引用§1-3，第(5)个基本假定——小变形假定！静力平衡微分方程公式推导过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：18过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：

§2-2平衡微分方程

静力平衡微分方程公式推导移项过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：§219§2-2平衡微分方程

切应力互等定律命dx及dy趋于零

化简为静力平衡微分方程公式推导（2-1）§2-2平衡微分方程切应力互等定律命dx及dy趋于零化20以

x轴为投影轴,列出投影的平衡方程

§2-2平衡微分方程

静力平衡微分方程公式推导以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程§2-2平衡微21以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程

§2-2平衡微分方程

上式约简后，得平衡方程:由 得相似的微分方程：

平面问题的平衡微分方程

静力平衡微分方程公式推导（2-2）以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程§2-2平衡微分方22对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点：平衡微分方程表示任一点(x,

y)的平衡条件，(x,

y)属于平面域A，所以也代表A中所有点的平衡条件。式(2-2)第一式中所有的各项都是x向的力，第二式均是y向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点：235.

对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。由于，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程(2-2)中含有3个应力未知函数。弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。

5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。24(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。

例题分析1

(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为例题分25解：弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为解：弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为26弹性力学讲义第2章(p)课件27§2-3几何方程刚体位移

考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量与位移分量之间的关系式,也就是平面问题中的几何方程。

§2-3几何方程刚体位移考虑平面问题的几何学方面28一点的变形§2-3几何方程刚体位移

取任意一点Px方向线段PA=dx

y方向线段PB=dy一点的变形§2-3几何方程刚体位移取任意一点Px方29线段PA正应变

一点的应变位移关系——正应变PB的正应变

§2-3几何方程刚体位移

线段PA正应变一点的应变位移关系——正应变PB的正应变§30试证明图中y方向的位移v

所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。问题试证明图中y方向的位移v所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。31一点的应变位移关系——切应变求线段PA与PB之间的直角的改变,也就是切应变

,用位移分量来表示。

切应变

一点的应变位移关系——切应变求线段PA与PB之间的直角的改变32平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式,即平面问题的几何方程为:位移分量完全确定时,应变分量即完全确定

§2-3几何方程刚体位移

反之,当应变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。（加三个适当的约束条件可以确定）

平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式,即平面问题的33当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：试命应变分量等于零,即

求位移§2-3几何方程刚体位移

当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：试命应变分34这一方程的左边是y的函数,而右边是x的函数。因此,只可能两边都等于同一常数ω。

,§2-3几何方程刚体位移

当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：这是“应变为零”时的位移,也就是所谓“与变形无关的位移”,因而必然是刚体位移。

这一方程的左边是y的函数,而右边是x的函数。因此,只可能两35刚体位移根据平面运动的原理可以证明——uo及vo分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移,而ω为物体绕z轴的刚体转动。

应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移

刚体位移根据平面运动的原理可以证明——uo及vo分别36刚体位移应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移

uo代表物体沿x方向的刚体平移vo代表物体沿y方向的刚体平移（1）（2）刚体位移应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移37当只有ω不为零时

（3）说明P点的位移是ω乘以该点的半径，任意点都这样，整个平面绕OZ轴旋转一个角度刚体位移应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移

当只有ω不为零时（3）说明P点的位移是ω乘以该点的半径，任38刚体位移既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移,可见,当物体发生一定的应变时,由于约束条件的不同,它可能具有不同的刚体位移,因而它的位移并不是完全确定的。在平面问题中,常数u0,v0,ω的任意性就反映位移的不确定性,而为了完全确定位移,就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。

刚体位移既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移,可39§2-4

物理方程

在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:

静力学方面、几何学方面和物理学方面。平面问题的物理学方面§2-4物理方程在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑40§2-5物理方程

在完全弹性的各向同性体内,应变分量与应力分量之间的关系,就是材料力学中的R.Hooke定律:

E——弹性模量

G——切变模量

——泊松比(侧向收缩系数)广义胡克定律§2-5物理方程在完全弹性的各向同性体内,应变分量与应41§2-4

物理方程

平面应力问题:

平面应变问题:

§2-4物理方程平面应力问题:平面应变问题:42§2-4

物理方程

平面应变问题:

平面应力问题:

剪切模量转换形式同样是不变的平面应变问题:

平面应力问题:

§2-4物理方程平面应变问题:平面应力问题:剪切模43思考题：1.在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力），但发现混凝土结构的某一方向已经出现裂缝（即超过抗拉极限应变值），试问为什么会发生这种现象？

2.试解释：在自重作用下为什么钢圆环（平面应力问题）总比钢圆筒（平面应变问题）的变形大？

思考题：1.在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力）44§2-5

边界条件

在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:

静力学方面、几何学方面和物理学方面。平面问题有8个基本方程——8个未知函数(3个应力分量；3个应变分量；2个位移分量)。因此，在适当的边界条件下，从基本方程中求解未知函数是可能的。§2-5边界条件在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑45边界条件弹性力学问题分为位移边界问题

应力边界问题

混合边界问题§2-5

边界条件

边界条件§2-5边界条件46§2-5边界条件

位移边界问题、应力边界问题、混合边界问题

位移边界问题——物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是:在边界上有,

其中,和在边界上是坐标的己知函数,即：§2-5边界条件位移边界问题、应力边界问题、混合边界问题47§2-5边界条件

位移边界问题、应力边界问题、混合边界问题

应力边界问题——物体在全部边界上所受的面力是已知的,也就是说,面力分量和在边界上是坐标的已知函数。

§2-5边界条件位移边界问题、应力边界问题、混合边界问题48应力边界条件——根据面力分量与边界上的应力分量之间的关系式,可以把面力己知的条件转换成为应力方面的已知条件。斜面AB与物体的边界重合

，

AB长PB长PA长§2-5边界条件

应力边界条件——根据面力分量与边界上的应力分量之间的关系式,49应力边界问题由平衡条件

得

应力边界条件§2-5边界条件

应力边界问题由平衡条件得应力边界条件§2-50应力边界问题应力边界条件§2-5边界条件

当边界垂直于某一坐标轴时,应力边界条件的形式将得到大大的简化。

在垂直于y轴的边界上,l=0,m=±1在垂直于x轴的边界上,l=1,m=0,应力边界条件简化为应力边界问题应力边界条件§2-5边界条件当边界垂直51混合边界问题+§2-5边界条件

混合边界问题+§2-5边界条件52（2-1）试列出图1所示问题的边界条件。

例题分析

答：图1的边界条件为:左边

斜边：（2-1）试列出图1所示问题的边界条件。例题分析答：图53（2-2）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受P力的作用（或均布拉应力作用），其余边界上均无面力作用。试证明凸角A点处为零应力状态。

例题分析

APP（2-2）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界54§2-6

圣维南原理

求解弹力问题时,使应力、应变和位移分量完全满足基本方程,并不困难。但是,要使得边界条件也得到完全满足,却往往发生很大的困难(因此,弹性力学问题在数学上被称为边值问题)。另一方面,在很多的工程结构计算中,都会遇到这样的情况:在物体的一小部分边界上,仅仅知道物体所受的面力的合力,而这个面力的分布方式并不明确,因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件。问题提出§2-6圣维南原理求解弹力问题时,使应力、应变和位移分55如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以忽略不计。圣维南原理（Saint-Venant）(1855提出)§2-6

圣维南原理

如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力56例如,设有柱形构件,在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P

圣维南原理说明虚线划出部分的应力分布有显著的改变

端部做静力等效变换应力分布改变忽略不计§2-6

圣维南原理

例如,设有柱形构件,在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的57圣维南原理应用举例圣维南原理只能在次要边界上应用！

左右端小边界上无法精确满足连续应力边界条件（a）该式表示精确满足边界条件的要求§2-6

圣维南原理

圣维南原理应用举例圣维南原理只能在次要边界上应用！左右端小58圣维南原理应用举例（b）在右端小边界上，使应力主矢量等于面力主矢量，应力对某点的主矩等于面力对同一点的主矩数值相同，方向一致右端小边界圣维南原理应用举例（b）在右端小边界上，使应力主矢量等于面力59（c）圣维南原理应用举例在x=l小边界上，三个积分边界条件是：式(a)式(b)的比较：(1)式(a)是精确的，而式(b)是近似的；(2)

式(a)有两个条件，一般为两个函数方程；式(b)有三个积分条件，均为代数方程。(3)

在求解时,式(a)难以满足,而式(b)易于满足。当小边界上的条件(a)难以满足时,便可以用式(b)来代替。

（c）圣维南原理应用举例在x=l小边界上，三个积分边界条件是60例：试问图2所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？例：试问图2所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚61例题解:

(a)对于图(a)的问题,在主要边界y=±h/2

应精确满足下列边界条件：次要边界(b)在主要边界x=0,b,应精确满足下列边界条件:在小边界

y=0试列出图(a)(b)的边界条件。例题解:(a)对于图(a)的问题,在主要边界y=±h62§2-7

按位移求解平面问题弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求解,按应力求解和混合求解。

平面问题的基本方程平面应力平面应变平衡微分方程+几何方程+位移边条+应力边条物理方程§2-7按位移求解平面问题弹性力学里求解问题,有三种63§2-7

按位移求解平面问题按位移求解——

位移应变应力位移分量为基本未知函数(只包含位移分量的微分方程和边界条件)求出位移分量以后,再用几何方程求出应变分量,从而用物理方程求出应力分量。

弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求解,按应力求解和混合求解。

§2-7按位移求解平面问题按位移求解——位移应变64从平面应力物理方程的三式中求解应力分量（应变分量的函数）§2-7

按位移求解平面问题平面应力问题按位移求解步骤将几何方程代入变成应力与位移的关系，最后将应力与位移的关系代入平衡微分方程得到按位移求解的基本微分方程。从平面应力物理方程的三式中求解应力分量（应变分量的函数）§65平面应力问题位移解法拉密方程(Lame

equation)代入得到代入平衡方程平面应力问题位移解法拉密方程(Lameequation)代66§2-7

按位移求解平面问题平面应力问题代入得到平衡微分方程§2-7按位移求解平面问题平面应力问题代入得到平衡微分方程67平面应力问题由另一平衡方程得相似的方程接上页公式平面应力问题由另一平衡方程得相似的方程接上页公式68§2-7

按位移求解平面问题平面应力问题拉密方程(Lame

equation)在平面应力问题中的简化形式。

（2-12）§2-7按位移求解平面问题平面应力问题拉密方程(Lame69

位移解法边界条件将应力分量与位移关系式代入应力边界条件式

代入位移解法边界条件将应力分量与位移关系式代入应力边界条件式70位移表示的应力边界条件：

位移解法边界条件（2-13）（在Sσ上）位移边界条件（在Su上）位移表示的应力边界条件：位移解法边界条件（2-13）（在S71平面应变问题对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将

平面应变问题对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将72例题2-1求解：一维问题例题2-1求解：一维问题73边界条件解答为：求解得边界条件解答为：求解得74关于位移求解平面问题的特点一般情况,按位移求解平面问题,须处理联立的两个二阶偏微分方程,缺点是无法简化为处理一个单独微分方程的问题。从而不能得出很多有用解答。

但原则上,按位移求解可以适用于任何平面问题——不论体力是不是常量,问题是位移边界问题还是应力边界问题或混合边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。

在有限单元法中,按位移求解也是比较简单而普遍适用的。

关于位移求解平面问题的特点一般情况,按位移求解平面问题,须处75按应力求解——

应力应变位移应力分量为基本未知函数(只包含应力分量的微分方程和边界条件)求出应力分量以后,再用物理方程求出应变分量,从而用几何方程求出位移分量。

弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求解,按应力求解和混合求解。

§2-8

按应力求解平面问题相容方程按应力求解——应力应变位移应力分量为基本未76平面应力问题应力解法平衡方程包含三个应力分量，但仅两个方程，需要补充一个含应力分量的方程补充应力方程变形协调方程（保证位移单值，三个应变分量之间应满足的关系）得到应力相容方程得到平面应力问题应力解平面应变问题解法类似！§2-8

按应力求解平面问题相容方程平面应力问题应力解法平衡方程包含三个应力分量，但仅两个方程，77变形协调方程或相容方程

平面应力问题应力解法

要使得满足几何方程的位移存在且是单值的,应变分量之间必须满足一定的条件

变形协调方程或相容方程平面应力问题应力解法要使得满足78将对y

偏导数两次，将对x

偏导数两次，将分别对x

和y

偏导数两次变形协调方程或相容方程

平面应力问题应力解法将对y偏导数两次，变形协调方程或相容方程平面应79变形协调方程或相容方程(Saint-Venant)

平面应力问题应变分量εx，εy，γxy必须满足这个方程,才能保证位移分量u和v的存在。

如果任意选取函数εx，εy和γxy而不能满足这个方程,那么,由三个几何方程中的任何两个求出的位移分量,将与第三个几何方程不能相容。这就表示,变形以后的物体就不再是连续的,而将发生某些部分互相脱离或互相侵入的情况。

变形协调方程或相容方程(Saint-Venant)平面应力80不相容举例相容方程几何意义不相容举例相容方程几何意义81对于多连通物体：我们总可作适当的截面使它变成单连通物体，则上述的结论也完全适用。具体地说，如果应变分量满足应变协调方程，则在此被割开以后的区域里，一定能求得单值连续的函数。但对求得的位移分量，当x，y点分别从截面两侧趋向于截面上某一点时，一般说它们将趋向于不同的值。为使所考察的多连通物体在变形以后仍保持为连续体，则必须加上补充条件。acbd++--因此，对于多连通物体，应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件,只有加上补充条件,条件才是充分的。

对多连通物体相容方程适用单连通物体对于多连通物体：我们总可作适当的截面使它变成单连通物体，则82解答：（1）相容条件将形变分量代入应变协调条件（相容方程）其中所以满足相容方程，符合连续条件。例题

已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。解答：（1）相容条件将形变分量代入应变协调条件（相容方程）其83

（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为

（3）平衡微分方程其中：若满足平衡微分方程，必须有：（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为（384将平面应力问题物理方程代入相容方程将上述方程与平衡微分方程联立可求出三个应力分量

用应力表示的相容方程（平面应力问题）将平面应力问题物理方程代入相容方程将上述方程与平衡微分方程联85将平衡微分方程写成

将前一方程对x求导,后一方程对y求导,然后相加,并注意到τyx=τxy得

代入用应力表示的相容方程（平面应力问题）将平衡微分方程写成将前一方程对x求导,后一方程对y求86

87平面应变问题

对于平面应变问题,进行同样的推演,可以导出一个与此相似的方程

平面应变问题对于平面应变问题,进行同样的推演,可以导出88

相容方程平面问题平面应力问题平面应变问题

相容方程平面问题平面应力问题平面应变问题89§2-9

常体力的情况下的简化拉普拉斯(Laplace)微分方程,即调和方程

在很多的工程问题中,体力是常量,也就是说,体力分量

fx和

fy在整个弹性体内是常量,不随坐标而变。例如重力和平行移动时的惯性力,就是常量的体力。

§2-9常体力的情况下的简化拉普拉斯(Laplace)微90按应力求解应力边界问题时,在常体力的情况下

在边界上满足应力边界条件。在多连体中,上列应力分量还应当满足位移单值条件。

相容方程平衡微分方程应满足§2-10应力函数,逆解法与半逆解法按应力求解应力边界问题时,在常体力的情况下在边界上满91齐次微分方程通解特解（其中的三组特解）§2-10应力函数,逆解法与半逆解法平衡微分方程——非齐次微分方程组

=通解+特解

齐次微分方程通解特解（其中的三组特解）§2-10应力函数,92若设函数

f=f(x，y)，则有假如函数C和D满足下列关系式那么，对照上式，一定存在某一函数f，使得数学补充根据微分方程理论，偏导数具有相容性：若设函数f=f(x，y)，则有假如函数C和D满足下列关93求齐次微分方程组通解：

根据全微分条件,这就一定存在某一个函数

一定存在某一个函数比较两式§2-10应力函数,逆解法与半逆解法求齐次微分方程组通解：根94比较得到：

根据全微分条件,这就一定存在某一个函数

即得通解

比较得到：根据全微分条件,这就一定存在某一个函95不论是什么样的函数,上式应力分量总能满足平衡微分方程。函数称为平面问题的应力函数,也称为艾瑞(B.Airy)应力函数。

同时也应满足相容方程

平衡微分方程——非齐次微分方程组=通解+特解

删去不论是什么样的函数,上式应力分量总能满足平衡微分96

展开应力函数是重调和函数

应力分量在边界上应当满足应力边界条件;在多连体的情况下,这些应力分量还须满足位移单值条件。

展开应力函数是重调和函数应力分量在边界97

逆解法——就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数

φ,再求出应力分量,然后根据应力边界条件来考察,在各种形状的弹性体上,这些应力分量对应于什么样的面力,从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。

应力函数的求法一§2-10应力函数，逆解法与半逆解法

逆解法——就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数98半逆解法——就是针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和受力情况,假设部分或全部应力分量为某种相对简单些的函数,从而推出应力函数φ，然后来考察,这个应力函数是否满足相容方程,以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量,是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足,自然也就得出正确的解答;如果某一方面不能满足,就要另作假设,重新考察。应力函数的求法二§2-10应力函数,逆解法与半逆解法半逆解法——就是针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和99思考题2.对于按应力函数求解方法和按位移求解的方法，试比较其未知函数，求解的方程及其物理意义，求解的难易程度及局限性？1.在常体力、应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料和两类平面问题的σx，σy和τxy均相同。试问其余的应力以及应变和位移是否相同？思考题2.对于按应力函数求解方法和按位移求解的方法，试比较其100§2-11

平面问题中一点的应力状态在平面问题中,如果已知任一点P处的应力分量,

,,就可以求得经过该点的平行于z轴而倾斜于x轴和y轴的任何斜面上的应力。

§2-11平面问题中一点的应力状态在平面问题中,如101设AB的长度为ds

PB的长度为lds

PA的长度为mds1.AB面外法线n方向余弦表示：2.由平衡条件1.任一斜面上的应力计算设AB的长度为ds1.AB面外法线n方向余弦表示：2.102正应力

（2-21）（2-22）正应力（2-21）（2-22）103斜面上的切应力

（2-23）求经过P点的任一斜面上的正应力和切应力公式或表示为斜面上的切应力（2-23）求经过P点的任一斜面上的正应力和104设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向(即主应力的方向)称为P点的一个应力主向。2.主应力、应力主向的计算设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力105主应力

a.主应力计算（2-24）主应力a.主应力计算（2-24）106b.主应力方向计算设与x轴的夹角为设与x轴的夹角为b.主应力方向计算设与x轴的夹角为设与x轴的夹107说明与方向相互垂直如果已经求得任一点的两个主应力,以及与之对应的应力主向,就极易求得这一点的最大应力与最小应力。为了便于分析,将x轴和y轴分别放在两个主应力方向,于是就有

b.主应力方向计算说明与方向相互垂直如果已经求得任一点的两108的最大为1，最小0说明两个主应力包含了最大与最小的正应力！

将x

轴和y

轴分别放在两个主应力方向代入c.求最大、最小主应力计算的最大为1，最小0说明两个主应力包含了最大与最小的正应109c.求最大、最小切应力计算当

为最大或最小c.求最大、最小切应力计算当为最大或最小110最大、最小切应力发生在与x轴及y轴（即应力主向）成450的斜面上c.求最大、最小切应力计算最大、最小切应力发生在与x轴及y轴（即应力主向）成450的斜111问题：平面问题中，(a)已知一点的应力为，那么任一方向的正应力n

为

n

为

;（b）已知那么

问题：112本章内容小结

1.平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。它们的特征是平面应力问题:(1)σz=τzx=0=τzy=0,只有平面应力σx,σy和τxy

存在;(2)应力和应变均只是

x,y

的函数。平面应变问题:(1)εz=γzx=γzy=0,只有平面应变εz,εz

和γxy存在:(2)应力、应变和位移只是

x,y的函数。本章内容小结1.平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。113平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板,而平面应变问题对应的弹性体通常为常截面长柱体。这两类平面问题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都完全相同,只有物理方程的系数不同。如果将平面应力问题的物理方程作E→E/(1-ν2)，ν→ν/(1-ν)的变换,便可得到平面应变问题的物理方程。两者的求解方法及解答也只须进行同样的弹性系数的变换。

平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板,而平面应变问题1142.平面问题的基本方程和边界条件(平面应力问题)

平面问题中共有八个未知函数它们必须满足区域内的基本方程:(1)平衡微分方程式2.平面问题的基本方程和边界条件(平面应力问题)(1)115(2)

几何方程(3)

物理方程(2)几何方程(3)物理方程116(4)边界条件:

(在Sσ上)①应力边界条件②位移边界条件(在Su上)(4)边界条件:(在Sσ上)①应力边界条件②位移边界1173.按位移求解平面问题(平面应力问题),位移分量u和v必须满足下列全部条件：（1）用位移表示的平衡微分方程（2）用位移表示的应力边界条件

(在Sσ上)3.按位移求解平面问题(平面应力问题),位移分量u和v必须满118（3）位移边界条件(在Su上)4.按应力求解的平面问题(平面应力问题),应力分量σx,σy和τxy必须满足下列全部条件：（1）平衡微分方程

（3）位移边界条件(在Su上)4.按应力求解的平面问题(平面119（2）相容方程（3）应力边界条件（假设全部为应力边界条件，S=Sσ）(在Sσ上)（4）若为多连体，还需满足位移单值条件。（2）相容方程（3）应力边界条件（假设全部为应力边界条件，S120由应力函数求解时所用公式由应力函数求解时所用公式121平面问题公式小结A静力学方程式2.边界条件

1.平衡微分方程式平面问题公式小结A静力学方程式2.边界条件1.平衡微122B几何方程2.相容方程用应变表示的相容方程

1.位移与应变关系B几何方程2.相容方程1.位移与应变关系123用应力表示的相容方程（平面应变情况）

如体力与坐标无关（例如重力）,则

用应力表示的相容方程〈平面应为情况)

用应力表示的相容方程（平面应变情况）如体力与坐标无关（例如124C物理方程1.

平面应力问题

2.

平面应变问题

C物理方程1.平面应力问题2.平面应变问题125将

用,用代入平面应力问题公式,得平面应变问题的公式归纳起来,平面问题有八个未知数,可以用两个平衡微分方程和三个几何方程及三个物理方程〈共八个方程〉来求解,同时满足静力边界条件和相容方程。3.平面应力问题与平面应变问题之间的变换公式将用,用126D由应力函数求解时所用公式应力函数表示的相容方程为

D由应力函数求解时所用公式127为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求做到：

(1)清楚地了解上述有关问题的提出和分析的方法；

(2)自己动手推导公式，以加深理解；(3)对上述内容进行总结，掌握其要点。

为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求做到1281.两类平面问题的定义。2.平衡微分方程、几何方程和物理方程的建立（在平面区域内的）。3.位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应用（在平面边界上的）。4.按位移求解方法和按应力求解方法。5.关于一点应力状态的分析。在学习本章时，要求理解和掌握下面的主要内容：1.两类平面问题的定义。在学习本章时，要求理解和掌握下面的129弹性力学讲义

第二章平面问题的基本理论——byChenping弹性力学讲义第二章平面问题的基本理论——byCh130第二章平面问题的基本理论

本章主要内容平面应力和平面应变问题的概念平衡微分方程、几何方程、物理方程的建立边界条件和圣维南原理按位移和按应力求解平面问题。

第二章平面问题的基本理论本章主要内容131平面应力问题

平面应变问题

问题简化平面问题[特殊形状+特殊外力（约束）]空间问题（空间物体+空间力系）§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应力问题平面应变问题问题简化平面问题[特殊形状+132§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应力问题

几何形状—等厚度薄板面力体力外力—平行于板面并且不沿厚度变化例如深梁,以及平板坝的平板支墩等§2-1平面应力问题与平面应变问题平面应力问题几何形状133应力、应变和位移

应力

附1应变位移下面讨论平面问题的应力，应变和位移特点应力、应变和位移应力附1应变位移下面讨论平面问题的134平面应力问题

薄板厚度只剩平行于xy面的三个应力分量:

由于板很薄,外力又不沿厚度变化

切应力互等

§2-1平面应力问题与平面应变问题

薄板上下面

平面应力问题薄板厚度只剩平行于xy面的三个应力分量:由135

只有平面应力分量存在且仅为x，y的函数的弹性力学问题。§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应力问题——非独立变量只有平面应力分量136平面应变问题

几何形状—柱形体

很长

面力、体力--在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化内在因素和外来作用都不沿长度变化。

如挡土墙,涵洞或隧道,压力圆柱管,辊轴§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应变问题几何形状—柱形体很长面力、体力-137涵洞挡土墙或重力坝压力圆柱管长圆柱形辊轴涵洞挡土墙或重力坝压力圆柱管长圆柱形辊轴138平面应变问题

柱形体很长§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应变问题（二）平面应变问题（一）有限长度，轴向变形被限制无限长度，轴向变形也完全受到限制平面应变问题柱形体很长§2-1平面应力问题与平面应139平面应变问题

柱形体很长任一横截面都可以看作是对称面因此，只剩下平行于xy

面的三个形变分量！§2-1平面应力问题与平面应变问题

位移应变应力平面位移问题

平面应变问题柱形体很长任一横截面都可以看作是140平面应变问题——只有平面应变分量存在，

，，且仅为x，y

的函数的弹性力学问题。§2-1平面应力问题与平面应变问题

平面应变问题——§2-1平面应力问题与平面应变问题141平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在地基上，力学工作者想把它近似地简化为平面问题处理，问应如何考虑？2.平面问题的求解只需考虑xy

面上的各个分量，原因是另外一个方向上任何分量都为零。（对错判断）平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在142§2-2平衡微分方程

在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:

静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式,也就是平面问题的平衡微分方程。表示区域内任一点（x,y）的微分体的平衡条件

§2-2平衡微分方程在弹性力学里分析问题,要从三方面来考143§2-2平衡微分方程

从平面问题中任取微小的正平行六面体

x方向

dx

y方向

dyz方向设为1各面应力均匀分布，作用在截面中心体力也均匀分布，作用在体积中心§2-2平衡微分方程从平面问题中任取微小的正平行六面体144平均正应力或切应力的增量可用泰勒级数表示为：略去二阶及更高阶微量§2-2平衡微分方程

简化为平均正应力或切应力的增量可用泰勒级数表示为：略去二阶及更高阶145静力平衡微分方程公式推导考虑了正负x,y面上应力增量公式推导以正的物理量表示应力和体力应乘以其面积和体积，得出合力连续性、小变形假设静力平衡微分方程公式推导考虑了正负x,y面上应力增量146静力平衡微分方程公式推导过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：

§2-2平衡微分方程

上式，引用§1-3，第(5)个基本假定——小变形假定！静力平衡微分方程公式推导过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：147过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：

§2-2平衡微分方程

静力平衡微分方程公式推导移项过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：§2148§2-2平衡微分方程

切应力互等定律命dx及dy趋于零

化简为静力平衡微分方程公式推导（2-1）§2-2平衡微分方程切应力互等定律命dx及dy趋于零化149以

x轴为投影轴,列出投影的平衡方程

§2-2平衡微分方程

静力平衡微分方程公式推导以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程§2-2平衡微150以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程

§2-2平衡微分方程

上式约简后，得平衡方程:由 得相似的微分方程：

平面问题的平衡微分方程

静力平衡微分方程公式推导（2-2）以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程§2-2平衡微分方151对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点：平衡微分方程表示任一点(x,

y)的平衡条件，(x,

y)属于平面域A，所以也代表A中所有点的平衡条件。式(2-2)第一式中所有的各项都是x向的力，第二式均是y向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点：1525.

对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。由于，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程(2-2)中含有3个应力未知函数。弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。

5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。153(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。

例题分析1

(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为例题分154解：弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为解：弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为155弹性力学讲义第2章(p)课件156§2-3几何方程刚体位移

考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量与位移分量之间的关系式,也就是平面问题中的几何方程。

§2-3几何方程刚体位移考虑平面问题的几何学方面157一点的变形§2-3几何方程刚体位移

取任意一点Px方向线段PA=dx

y方向线段PB=dy一点的变形§2-3几何方程刚体位移取任意一点Px方158线段PA正应变

一点的应变位移关系——正应变PB的正应变

§2-3几何方程刚体位移

线段PA正应变一点的应变位移关系——正应变PB的正应变§159试证明图中y方向的位移v

所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。问题试证明图中y方向的位移v所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。160一点的应变位移关系——切应变求线段PA与PB之间的直角的改变,也就是切应变

,用位移分量来表示。

切应变

一点的应变位移关系——切应变求线段PA与PB之间的直角的改变161平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式,即平面问题的几何方程为:位移分量完全确定时,应变分量即完全确定

§2-3几何方程刚体位移

反之,当应变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。（加三个适当的约束条件可以确定）

平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式,即平面问题的162当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：试命应变分量等于零,即

求位移§2-3几何方程刚体位移

当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：试命应变分163这一方程的左边是y的函数,而右边是x的函数。因此,只可能两边都等于同一常数ω。

,§2-3几何方程刚体位移

当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：这是“应变为零”时的位移,也就是所谓“与变形无关的位移”,因而必然是刚体位移。

这一方程的左边是y的函数,而右边是x的函数。因此,只可能两164刚体位移根据平面运动的原理可以证明——uo及vo分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移,而ω为物体绕z轴的刚体转动。

应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移

刚体位移根据平面运动的原理可以证明——uo及vo分别165刚体位移应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移

uo代表物体沿x方向的刚体平移vo代表物体沿y方向的刚体平移（1）（2）刚体位移应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移166当只有ω不为零时

（3）说明P点的位移是ω乘以该点的半径，任意点都这样，整个平面绕OZ轴旋转一个角度刚体位移应变分量等于零时的位移§2-3几何方程刚体位移

当只有ω不为零时（3）说明P点的位移是ω乘以该点的半径，任167刚体位移既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移,可见,当物体发生一定的应变时,由于约束条件的不同,它可能具有不同的刚体位移,因而它的位移并不是完全确定的。在平面问题中,常数u0,v0,ω的任意性就反映位移的不确定性,而为了完全确定位移,就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。

刚体位移既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移,可168§2-4

物理方程

在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:

静力学方面、几何学方面和物理学方面。平面问题的物理学方面§2-4物理方程在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑169§2-5物理方程

在完全弹性的各向同性体内,应变分量与应力分量之间的关系,就是材料力学中的R.Hooke定律:

E——弹性模量

G——切变模量

——泊松比(侧向收缩系数)广义胡克定律§2-5物理方程在完全弹性的各向同性体内,应变分量与应170§2-4

物理方程

平面应力问题:

平面应变问题:

§2-4物理方程平面应力问题:平面应变问题:171§2-4

物理方程

平面应变问题:

平面应力问题:

剪切模量转换形式同样是不变的平面应变问题:

平面应力问题:

§2-4物理方程平面应变问题:平面应力问题:剪切模172思考题：1.在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力），但发现混凝土结构的某一方向已经出现裂缝（即超过抗拉极限应变值），试问为什么会发生这种现象？

2.试解释：在自重作用下为什么钢圆环（平面应力问题）总比钢圆筒（平面应变问题）的变形大？

思考题：1.在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力）173§2-5

边界条件

在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:

静力学方面、几何学方面和物理学方面。平面问题有8个基本方程——8个未知函数(3个应力分量；3个应变分量；2个位移分量)。因此，在适当的边界条件下，从基本方程中求解未知函数是可能的。§2-5边界条件在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑174边界条件弹性力学问题分为位移边界问题

应力边界问题

混合边界问题§2-5

边界条件

边界条件§2-5边界条件175§2-5边界条件

位移边界问题、应力边界问题、混合边界问题

位移边界问题——物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是:在边界上有,

其中,和在边界上是坐标的己知函数,即：§2-5边界条件位移边界问题、应力边界问题、混合边界问题176§2-5边界条件

位移边界问题、应力边界问题、混合边界问题

应力边界问题——物体在全部边界上所受的面力是已知的,也就是说,面力分量和在边界上是坐标的已知函数。

§2-5边界条件位移边界问题、应力边界问题、混合边界问题177应力边界条件——根据面力分量与边界上的应力分量之间的关系式,可以把面力己知的条件转换成为应力方面的已知条件。斜面AB与物体的边界重合

，

AB长PB长PA长§2-5边界条件

应力边界条件——根据面力分量与边界上的应力分量之间的关系式,178应力边界问题由平衡条件

得

应力边界条件§2-5边界条件

应力边界问题由平衡条件得应力边界条件§2-179应力边界问题应力边界条件§2-5边界条件

当边界垂直于某一坐标轴时,应力边界条件的形式将得到大大的简化。

在垂直于y轴的边界上,l=0,m=±1在垂直于x轴的边界上,l=1,m=0,应力边界条件简化为应力边界问题应力边界条件§2-5边界条件当边界垂直180混合边界问题+§2-5边界条件

混合边界问题+§2-5边界条件181（2-1）试列出图1所示问题的边界条件。

例题分析

答：图1的边界条件为:左边

斜边：（2-1）试列出图1所示问题的边界条件。例题分析答：图182（2-2）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受P力的作用（或均布拉应力作用），其余边界上均无面力作用。试证明凸角A点处为零应力状态。

例题分析

APP（2-2）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界183§2-6

圣维南原理

求解弹力问题时,使应力、应变和位移分量完全满足基本方程,并不困难。但是,要使得边界条件也得到完全满足,却往往发生很大的困难(因此,弹性力学问题在数学上被称为边值问题)。另一方面,在很多的工程结构计算中,都会遇到这样的情况:在物体的一小部分边界上,仅仅知道物体所受的面力的合力,而这个面力的分布方式并不明确,因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件。问题提出§2-6圣维南原理求解弹力问题时,使应力、应变和位移分184如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以忽略不计。圣维南原理（Saint-Venant）(1855提出)§2-6

圣维南原理

如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力185例如,设有柱形构件,在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P

圣维南原理说明虚线划出部分的应力分布有显著的改变

端部做静力等效变换应力分布改变忽略不计§2-6

圣维南原理

例如,设有柱形构件,在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的186圣维南原理应用举例圣维南原理只能在次要边界上应用！

左右端小边界上无法精确满足连续应力边界条件（a）该式表示精确满足边界条件的要求§2-6

圣维南原理

圣维南原理应用举例圣维南原理只能在次要边界上应用！左右端小187圣维南原理应用举例（b）在右端小边界上，使应力主矢量等于面力主矢量，应力对某点的主矩等于面力对同一点的主矩数值相同，方向一致右端小边界圣维南原理应用举例（b）在右端小边界上，使应力主矢量等于面力188（c）圣维南原理应用举例在x=l小边界上，三个积分边界条件是：式(a)式(b)的比较：(1)式(a)是精确的，而式(b)是近似的；(2)

式(a)有两个条件，一般为两个函数方程；式(b)有三个积分条件，均为代数方程。(3)

在求解时,式(a)难以满足,而式(b)易于满足。当小边界上的条件(a)难以满足时,便可以用式(b)来代替。

（c）圣维南原理应用举例在x=l小边界上，三个积分边界条件是189例：试问图2所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？例：试问图2所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚190例题解:

(a)对于图(a)的问题,在主要边界y=±h/2

应精确满足下列边界条件：次要边界(b)在主要边界x=0,b,应精确满足下列边界条件:在小边界

y=0试列出图(a)(b)的边界条件。例题解:(a)对于图(a)的问题,在主要边界y=±h191§2-7

按位移求解平面问题弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求解,按应力求解和混合求解。

平面问题的基本方程平面应力平面应变平衡微分方程+几何方程+位移边条+应力边条物理方程§2-7按位移求解平面问题弹性力学里求解问题,有三种192§2-7

按位移求解平面问题按位移求解——

位移应变应力位移分量为基本未知函数(只包含位移分量的微分方程和边界条件)求出位移分量以后,再用几何方程求出应变分量,从而用物理方程求出应力分量。

弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求解,按应力求解和混合求解。

§2-7按位移求解平面问题按位移求解——位移应变193从平面应力物理方程的三式中求解应力分量（应变分量的函数）§2-7

按位移求解平面问题平面应力问题按位移求解步骤将几何方程代入变成应力与位移的关系，最后将应力与位移的关系代入平衡微分方程得到按位移求解的基本微分方程。从平面应力物理方程的三式中求解应力分量（应变分量的函数）§194平面应力问题位移解法拉密方程(Lame

equation)代入得到代入平衡方程平面应力问题位移解法拉密方程(Lameequation)代195§2-7

按位移求解平面问题平面应力问题代入得到平衡微分方程§2-7按位移求解平面问题平面应力问题代入得到平衡微分方程196平面应力问题由另一平衡方程得相似的方程接上页公式平面应力问题由另一平衡方程得相似的方程接上页公式197§2-7

按位移求解平面问题平面应力问题拉密方程(Lame

equation)在平面应力问题中的简化形式。

（2-12）§2-7按位移求解平面问题平面应力问题拉密方程(Lame198

位移解法边界条件将应力分量与位移关系式代入应力边界条件式

代入位移解法边界条件将应力分量与位移关系式代入应力边界条件式199位移表示的应力边界条件：

位移解法边界条件（2-13）（在Sσ上）位移边界条件（在Su上）位移表示的应力边界条件：位移解法边界条件（2-13）（在S200平面应变问题对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将

平面应变问题对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将201例题2-1求解：一维问题例题2-1求解：一维问题202边界条件解答为：求解得边界条件解答为：求解得203关于位移求解平面问题的特点一般情况,按位移求解平面问题,须处理联立的两个二阶偏微分方程,缺点是无法简化为处理一个单独微分方程的问题。从而不能得出很多有用解答。

但原则上,按位移求解可以适用于任何平面问题——不论体力是不是常量,问题是位移边界问题还是应力边界问题或混合边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。

在有限单元法中,按位移求解也是比较简单而普遍适用的。

关于位移求解平面问题的特点一般情况,按位移求解平面问题,须处204按应力求解——

应力应变位移应力分量为基本未知函数(只包含应力分量的微分方程和边界条件)求出应力分量以后,再用物理方程求出应变分量,从而用几何方程求出位移分量。

弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求解,按应力求解和混合求解。

§2-8

按应力求解平面问题相容方程按应力求解——应力应变位移应力分量为基本未205平面应力问题应力解法平衡方程包含三个应力分量，但仅两个方程，需要补充一个含应力分量的方程补充应力方程变形协调方程（保证位移单值，三个应变分量之间应满足的关系）得到应力相容方程得到平面应力问题应力解平面应变问题解法类似！§2-8

按应力求解平面问题相容方程平面应力问题应力解法平衡方程包含三个应力分量，但仅两个方程，206变形协调方程或相容方程

平面应力问题应力解法

要使得满足几何方程的位移存在且是单值的,应变分量之间必须满足一定的条件

变形协调方程或相容方程平面应力问题应力解法要使得满足207将对y

偏导数两次，将对x

偏导数两次，将分别