误差的基本性质与处理解析课件

第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差第二节系统误差第三节粗大误差第四节测量结果数据处理实例第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差第二节教学目标：1、阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。2、掌握在随机误差的数据处理中，等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，使我们能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。教学目标：1、阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差三类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施掌握等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法重点与难点三类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施重点

当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（测量列），每个测量值都含有大小、符号不同的误差，误差的出现没有确定的规律。误差来源主要有：

零部件变形及其不稳定，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。一、随机误差产生的原因第一节随机误差①测量装置的因素②环境方面的因素③人为方面的因素当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列随机误差具有统计规律，多数都服从正态分布，首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：二、正态分布及其特性第一节随机误差通过对某工件直径重复测量N=150次的测量点列图，说明随机误差的分布特性7.0857.3357.585随机误差具有统计规律，多数都服从正态分布，首先来分析服（1）分组数=11，组距=0.05mm；（2）依次定各组的频数ni

,频率f=ni/N（3）以数据为横坐标，频率为纵坐标，在横坐标上划出等分的子区间，划出各子区间的直方柱，即为所求统计直方图。77.17.27.37.47.57.60510152025fl第一节随机误差直方图（1）分组数=11，组距=0.05mm；77.17.27.3把各直方柱顶部中点用直线连接起来，便得到一条折线。当测量样本数N无限增加，分组间隔趋于零，图中直方图折线变成一条光滑的曲线。这就是用实验方法由样本得到的概率密度分布曲线。77.17.27.37.47.57.60510152025概率尺寸第一节随机误差把各直方柱顶部中点用直线连接起来，便得到一条折线。当测量样将纵坐标平移到平均值处，即为随机误差的正态分布：式中：σ——标准差它的数学期望为它的方差为平均误差为此外由可解得或然误差为：第一节随机误差将纵坐标平移到平均值处，它的数学期望为它的方差为平均误差为此第一节随机误差

对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；

单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；

有界性：随机误差δ只是出现在一个有限的区间内

抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零。服从正态分布的随机误差具有四个基本特性：第一节随机误差对称性：绝对值相等的正误差与负误差出

对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，为减小随机误差，应以算术平均值作为最后的测量结果。

(一)算术平均值的意义

设为n次测量所得的值，则算术平均值为:

三、算术平均值第一节随机误差对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此算数平均值与真值Lo的关系：即由正态分布随机误差的抵偿性可知，因此

结论

当测量次数无限增大时，算术平均值趋于真值。但实际上都是有限次测量，因此认为算术平均值最接近于真值。第一节随机误差算数平均值与真值Lo的关系：第一节随机误差第一节随机误差例如：10.2653，10.2656，10.2648，10.2651计算算术平均值时。任选一个接所有测得值的数

作为参考值，计算每个测得值与的差值：（二）算术平均值的计算校核第一节随机误差例如：10.2653，10.2656，10第一节随机误差2.当求得的为四舍五入的非准确数时，残余误差的重要性质是其代数和为零。这一性质算术平均值及其残余误差的计算是否正确。1.当求得的为非凑整的准确数时，残差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，当n为奇数时，式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。测得值与算数平均值的差值称为残余误差（残差）第一节随机误差2.当求得的为四舍五入的非准确数时，残四、测量的标准差由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，而是围绕算术平均值有一定的分散，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，应该用一个数值作为其不可靠性的评定标准。1、随机误差的评定指标——

为什么用σ来作为评定随机误差的尺度？可以从高斯（正态）分布的分布密度推知：（一）标准差的基本含义第一节随机误差四、测量的标准差由于随机误差的存在，等精度测

不同形状的分布曲线所表征的含义是不同的。曲线越陡，随机误差的分布就越集中，表明测量精度就越高。根据可得由此可知，当σ↑，↓曲线就平坦，随机误差的分布就分散，测量精度低。第一节随机误差不同形状的分布曲线所表征的含义是不同的。曲线越陡

特别注意：标准差σ不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，σ的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差δ都不相同，一般都不等于σ，但却认为这些测得值具有相同的精度。因为都属于同样一个标准差σ的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。第一节随机误差特别注意：标准差σ不是测量列中任何一个具体测量值

2、或然误差ρ将整个测量列的n个随机误差分为个数相等的两半。其中一半随机误差的数值落在-ρ~+ρ范围内，而另一半落在-ρ~+ρ范围以外。

第一节随机误差2、或然误差ρ第一节随机误差

3、算术平均误差θ

测量列算术平均误差θ的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示：

由概率积分可以得到θ与σ的关系：第一节随机误差3、算术平均误差θ第一节随机误差目前世界各国大多趋于采用σ作为评定随机误差的尺度。这是因为：①σ的平方恰好是随机变量的数字特征方差，又恰好是高斯误差方程中的一个参数。所以采用σ，正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合；②σ对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度；③极限误差与标准偏差的关系简单：；④公式推导和计算比较简单。第一节随机误差目前世界各国大多趋于采用σ作为评定随机误差的尺度。（二）标准差的计算方法

1、等精度测量列单次测量标准偏差(贝塞尔(Bessel)公式)根据方差的定义：可以推出当被测量的真值为未知时，在有限次测量情况下，可用残余误差代替真误差计算

第一节随机误差（二）标准差的计算方法根据方差的定义：

设有n个等精度测得值

将式相加得②将②式两边平方得当n充分大时，因此有③将①式平方后再相加，④

①

第一节随机误差

①

设有n个等精度测得值将式相加得③、④联立消去

第一节随机误差由定义③、④联立消去第一节随机误差由定义

2、多次测量的测量列算术平均值的标准差

在多次测量中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。

假定在相同条件下对同一量值作100次重复测量，每4个值求出一个算术平均值，可得到25各算数平均值。由于随机误差的存在，这些算术平均值也不相同，它们围绕真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性。算术平均值通常也服从正态分布，其不可靠性的评定标准算术平均值的标准差表示。第一节随机误差2、多次测量的测量列算术平均值的标准差第一节随机由式(2-8)已知算术平均值为取方差得因故有第一节随机误差由式(2-8)已知算术平均值为第一节随机误差当n愈大，越小，因此增加测量次数可以提高测量精度，但测量精度是与n的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图可知,当n>10以后，减小很慢。一般情况下取n=10以内较为适宜。所以，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。第一节随机误差当n愈大，越小，因此增加测量次数可以提高测

3、标准差的其它算法

(1)

别捷尔斯法

第一节随机误差3、标准差的其它算法(1)别捷尔斯法第一节（2）极差法为简便迅速算出标准差时，可不需先求算术平均值计算标准差——极差法若等精度多次测得值服从正态分布，则最大与最小值之差称为极差按极差法标准差的计算公式为：dn值第一节随机误差由极差的分布函数知：（2）极差法为简便迅速算出标准差时，可不需先求算（3）最大误差法

1/Kn值极差法和最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握。当时，效果较好。第一节随机误差（3）最大误差法1/Kn值极差法和最大误差法简单、迅速、【例1】用游标卡尺对一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和租大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求算术平均值及其标准差。列表计算：第一节随机误差解(1)按贝氏公式【例1】用游标卡尺对一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和(2)按别捷尔斯法（3）按极差法（4）按最大误差法

第一节随机误差计算标准差时，有效数字一般取2位即可，此题为便于比较，多取了一位。(2)按别捷尔斯法（3）按极差法（4）按最大误差法第一节（三）标准差计算方法的比较第一节随机误差（三）标准差计算方法的比较第一节随机误差

五、测量的极限误差

测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为p，并使差值（1-p）可予忽略。

由于测量列每个测得值的随机误差各不相同，故用所有测得值的随机误差都不可能超过的最大误差作为极限误差。极限误差包括单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差第一节随机误差五、测量的极限误差由于测量列每个测得值的由概率论可知，正态分布曲线下的面积等于所有随机误差出现的概率总和，即随机误差落在（-∞～﹢∞）之间概率为1（一）单次测量的极限误差测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概率论知识，正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率。第一节随机误差由概率论可知，正态分布曲线下的面积等于所有随机误差出随机误差落在（δ～+δ）之间时

作代换得当t=1时，δ＝±1σP＝0.6826

t=2时，δ＝±2σP＝0.9544

t=3时，δ＝±3σP＝0.9973∴δlim＝±3σ第一节随机误差y正态分布表随机误差落在（δ～+δ）之间时作代换得当t=1时，（二）算术平均值的极限误差对被测几何量进行m组测量（每组皆测量n次），则有m个不相同的算术平均值，仍属于正态分布。用算数平均值作结果，随机误差必然减少，它的极限误差又是多大呢？算术平均值的标准差与测量列单次测量值的标准偏差σ关系为：

第一节随机误差（二）算术平均值的极限误差对被测几何量进行m组测量（每组用算

实际测量中，当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student”distribution)或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即极限误差可表示为式中的为置信系数，具体数值见附录3；为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n为测量次数；为n次测量的算术平均值标准差。第一节随机误差实际测量中，当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏第一节随机误差【例2】用某量具测量工件得到数据如下数据（假定已消除系统误差和租大误差）：75.01，75.04，75.03，75.00，75.03，（1）由以往统计资料知测量的标准差为0.012，试以第一次和算术平均值表示测量结果；（2）若未知标准差，试确定测量结果。解(1)第一次结果：算术平均值：算术平均值的标准差：测量结果为：第一节随机误差【例2】用某量具测量工件得到数据如下数据（第一节随机误差(2)由于标准差未知，按5次测得值求标准差：残差：-0.012，+0.018，+0.008，-0.022，+0.008因测量次数较少，按t分布计算，取α=0.01,ν=5-1=4,得ｔα＝4.6,则测量结果为：第一节随机误差(2)由于标准差未知，按5次测得值求标准差

六、不等精度测量

①在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量。②对于精密科学实验而言，为了得到准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，由不同的人进行测量。这是人为地改变测量条件而进行的不等精度测量。③对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精心研究和精密测量，得到了不同的测量结果。我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意的准确的测量结果。这也是不等精度测量。

第一节随机误差六、不等精度测量第一节随机误差

（一）权的概念

在等精度测量中，虽然各个测量值不尽相同，但具有相同的精度；在不等精度测量中，各个数值精度不同，应让精度高的测量值在最后测量结果中占有的比重大些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值P称为该测量结果的“权”。

“权”——用来衡量不同精度的数据在数据处理中所占的比重的数值，代号Pi权可以理解为当该测得值与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。第一节随机误差（一）权的概念第一节随机误差

（二）权的确定方法测量结果的权说明了测量的可靠程度，因此可根据这一原则来确定权的大小。

（1）当已知测量次数n,且测量条件和测量者水平皆相同，取P＝n

当用同一台仪器进行不同次数测量时，则重复测量次数愈多，其平均值可靠程度也愈大，因此可由测量的次数来确定权的大小。注意：测量条件和测量者水平必须相同。

第一节随机误差（二）权的确定方法第一节随机误差（2）当已知标准差σ时，取假定同一个被测量有3组不等精度的测量结果．各组的测量次数分别为n1，n2，n3，且单次测量精度皆相同，其标准差均为σ，则各组算术平均值的标准差为：第一节随机误差或已知标准差时，取（2）当已知标准差σ时，取假定同一个被测量有3组不等精结论：每组或每次测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。由此即可确定相应权的大小。

（3）取与精度有关的其它参数，如工人等级，仪器精度等。第一节随机误差权的特点：

权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数；权数同时增大或减小，不影响最终结果。通常将各组的权数予以约简，以使用简单的数值来表示权。结论：每组或每次测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。由此

(三)加权算术平均值计算公式：我们以同一台仪器上的多组测量推导该公式，在同一台仪器上三组测量：第一测量：次数平均值标准差权第二测量：次数平均值标准差权第三测量：次数平均值标准差权第一节随机误差(三)加权算术平均值计算公式：我们以同一台【例2】：在三台仪器上对同一尺寸进行检测，单次测量标准差、测量次数和算术平均值分别为：第一节随机误差求加权算术平均值。解：【例2】：在三台仪器上对同一尺寸进行检测，单次测量标准差、测故P1=1P2=4P3=16

(四)单位权权数P＝l称为单位权。在等精度测量中取可得→→由此得，等精度测得值的方差的权为权P＝1

第一节随机误差故P1=1P2=4P3=16(四在不等精度测量中，各个测量结果的精度不等，权数也不相同，不能应用等精度测量的计算公式。为了计算需要，可将不等精度测量列转化为等精度测量列，从而等精度测量的计算公式来处理不等精度测量结果。单位权化：使权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列。

可以证明：单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为l。

第一节随机误差在不等精度测量中，各个测量结果的精度不等，权数也不相第一节随机误差例如，将不等精度测量的各组测量结果皆乘以自身权数的平方根，此时得到的新值z的权数就为1。证明：设取方差由此可知：单位权化以后得到的新值的权数为1，这样可以把不等精度的各组测量结果转化为等精度测量列。第一节随机误差例如，将不等精度测量的各组测量结果皆乘第一节随机误差（五）加权算术平均值的标准差1．当已知单位权测得值的标准差或各组测得值的标准差时，可用标准差计算。设相同条件下对同一个被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果，由：第一节随机误差（五）加权算术平均值的标准差1．当已知权第一节随机误差2．当未知单位权测得值的标准差和各组测得值的标准差时，可用贝塞尔公式计算。设有m组测得值的平均值分别为残差为：单位权化带入标准差公式得权第一节随机误差2．当未知单位权测得值的标准差和各组测得值应用上述两个公式计算时，当已知首先考虑采用第一个公式。注意，第二种方法m应尽量大计算结果才可靠。第一节随机误差应用上述两个公式计算时，当已知首先考虑采用第第一节随机误差【例3】：在三台仪器上对同一尺寸进行检测，单次测量标准差、测量次数和算术平均值分别为：求加权算术平均值及标准差。解：第一节随机误差【例3】：在三台仪器上对同一尺寸进行检测，单【例4】：工作基准米尺在三天内与国家基准器比较，得到平均长度为999.9425（3次测量），999.9416（2次测量），999.9419（5次测量），求测量结果及标准差。解：确定权：算术平均值：各组残余误差：第一节随机误差【例4】：工作基准米尺在三天内与国家基准器比较，得到平均长度第一节随机误差七、随机误差的其他分布正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分布规律。下面介绍几种常见的非正态分布。(一)均匀分布在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主要特点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，故又称矩形分布或等概率分布。第一节随机误差七、随机误差的其他分布正态分布是随机均匀分布的分布密度和分布函数分别为：数学期望为：标准差：方差为：极限误差：第一节随机误差均匀分布的分布密度和分布函数分别为：数(二)反正弦分布反正弦分布的其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。例如仪器度盘偏心引起的角度测量误差；电子测量中谐振的振幅误差等均属反正弦分布。数学期望为：标准差：方差为：极限误差：第一节随机误差(二)反正弦分布数学期望为：标准差：方差为：极限误（三）三角形分布数学期望为：标准差：方差为：极限误差：第一节随机误差（三）三角形分布数学期望为：标准差：方差为：极限误差：第当两个服从均匀分布且误差限相同的随机误差求和时，服从三角形分布，又称辛普逊分布。例如整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次服从相同的均匀分布；进行两次测量过程时数据揍整的误差；用代替法检定标准法码、标准电阻时，两次调零不准所引起的误差等。如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，则其和的分布规律是梯形分布。

在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、截尾正态分布、偏态分布、双峰正态分布及二点分布等，在此不做一一叙述。第一节随机误差当两个服从均匀分布且误差限相同的随机误差求和时，服从系统误差的产生原因系统误差的特征与分类系统误差的发现方法系统误差的减小和消除方法第二节系统误差系统误差的产生原因第二节系统误差研究系统误差的重要意义测量结果的精度，不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响，在某些情况下的系统误差数值还较大，而且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，因此系统误差比随机误差具有更大的危险性。因此研究系统误差的特征与规律性，设法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。系统误差是指某种测量方法和装置，在测量之前就已存在确定的误差，并始终以必然性规律影响测量结果的正确度，如果这种影响显著，就要影响测量结果的准确度。第二节系统误差研究系统误差的重要意义测量结果的精度，不仅取决于随机一、系统误差产生的原因

系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，主要来源于：①测量装置②环境因素③测量方法④测量人员校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、制造和安装的不正确等。测量温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。第二节系统误差一、系统误差产生的原因校准后发现的偏差、仪器设计原二、系统误差的特征及对测量结果的影响

系统误差是在同一条件下重复测量同一被测量时，误差的绝对值和符号均保持不变，或者条件改变时，误差按一定规律变化。以上是系统误差的定义，也是系统误差的特征，表明系统误差要么不变，要么服从一定的规律，一般没有相消性。因此对系统误差，不能用重复测量取平均值来减小，只能设法发现它的规律，然后加以消除。第二节系统误差二、系统误差的特征及对测量结果的影响系统误差是在同一根据系统误差在测量过程中的不同变化特性，可分为不变系统误差和变化系统误差两大类。1．不变的系统误差（定值系统误差）（一）系统误差的特征在整个测量过程中，误差的绝对值和符号均保持不变。即如千分尺的调零误差，量块或其它标准件尺寸的偏差等，均为不变系统误差。它对每一测量值的影响均为一个常量，属于最常见的一类系统误差。0第二节系统误差根据系统误差在测量过程中的不同变化特性，可分为不变系

变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，其种类较多，又可分为以下几种：

①线性变化的系统误差在整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。例如，量块中心长度随温度的变化：2、变化系统误差第二节系统误差变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向

②周期变化的系统误差

在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。例如，仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏心量e，则指针在任一转角处引起的读数误差为。此误差变化规律符合正弦曲线规律，当指针在0和180时误差为零，而在90和270时误差绝对值达最大。第二节系统误差②周期变化的系统误差例如，仪表指针的回转中心

③复杂规律变化的系统误差

在整个测量过程中，随某因素变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系统误差。

例如，微安表的指针偏转角与偏转力距间不严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差就属于复杂规律变化的系统误差。这些复杂规律一般可用代数多项式、三角多项式或其它正交函数多项式来描述。第二节系统误差③复杂规律变化的系统误差例如，微安表的指针偏转（二）系统误差对测量结果的影响1．不变系统误差对测量结果的影响，设不含系统误差的测得值为含有系统误差的测得值为对平均值的影响为:对残差的影响：可见平均值中含有不变的系统误差,对残差无影响。由此可知，不变的系统误差不影响正态分布曲线的形状，而仅使曲线平移。第二节系统误差（二）系统误差对测量结果的影响1．不变系统误差对测量结果的2．变化系统误差的影响:设不含系统误差的测得值为含有系统误差的测得值为对平均值的影响为对残差的影响：

可见平均值中含有不变的系统误差的平均值，残差中包含有系统误差的残差。不仅影响正态分布曲线的形状，而且仅使曲线平移。

第二节系统误差2．变化系统误差的影响:设不含系统误差的测得值为含有系统误差三、系统误差的发现方法系统误差的数值往往比较大，必须消除系统误差的影响，才能有效地提高测量精度。为了消除或减小系统误差，首先要发现它。产生系统误差的因素是复杂的，还难于查明所有的系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。发现系统误差必须根据具体测量过程和测量仪器进行全面的详细的分析，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法。第二节系统误差三、系统误差的发现方法系针对不同性质的系统误差，可按照两类方法加以识别：

①用于发现测量列组内的系统误差:包括实验对比法、残余误差观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法；②用于发现各测量列之间的系统误差：包括计算数据比较法、秩和检验法、和t检验法。第二节系统误差针对不同性质的系统误差，可按照两类方法加以识别：第二节

1、实验对比法（一）测量列组内的系统误差发现方法通过改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，即不等精度测量，以发现系统误差。

这种方法适用于发现不变的系统误差。

例如量块按公称尺寸使用时，在测量结果中就存在由于量块的尺寸偏差而产生的不变的系统误差，只有用另一块高一级精度的量块进行对比时才能发现它。又如千分尺和比较仪对比测量。第二节系统误差1、实验对比法（一）测量列组内的系统误差发现方法该方法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律或误差曲线来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。2、残余误差观察法

方法：根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作因进行观察，可以判断有无系统误差。

这种方法适于发现有规律变化的系统误差。不能发现测量列中含有的不变系统误差。第二节系统误差该方法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化

3、残余误差校核法(有两种方法)①前后分组校核法（马列科夫准则）将测量列中前一半残余误差相加得后一半残余误差相得怀疑存在系统误差认为存在系统误差含有线性系统误差的测得值，平均值是在测量顺序的中间附近，前后残余误差的代数和往往大小相等，符号相反，差值将明显不接近于零。令

该方法常用于发现线性系统误差。第二节系统误差3、残余误差校核法(有两种方法)①前后分组校核法（马列②序差检验法（阿卑－赫梅特准则)序差：如果存在周期性变化的系统误差，则相邻两个残余误差的差值也将出现周期性的正负号变化。因此由差值可以判断是否存在周期性系统误差。但是这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用效果。否则，其变化将主要取决于随机误差。

第二节系统误差②序差检验法（阿卑－赫梅特准则)序差：如果存在周期性则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫阿卑——赫梅特准则（Abbe-Helmert准则），它能有效地发现周期性系统误差。序差平方和为：若随机误差占主要成分，则有第二节系统误差则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫阿卑——4、不同公式计算标准差比较法对等精度测量，可用不同分式计算标准差，通过比较以发现系统误差。按贝塞尔公式：按别捷尔斯公式：则怀疑测量列中存在系统误差。在判断含有系统误差时，违反“准则”时就可以直接判定，而在遵守“准则”时，不能得出“不含系统误差”的结论，因为每个准则均有局限性，不具有“通用性”。第二节系统误差4、不同公式计算标准差比较法对等精度测量，可用不同则任意两组结果间不存在系统误差的标志是：(二)测量列组间的系统误差发现方法而任意两组结果之差为：1、计算数据比较法

对同一量进行多组测量得到很多数据，算术平均值和标准差为：

通过多组数据计算比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。其标准差为：第二节系统误差则任意两组结果间不存在系统误差的标志是

2、秩和检验法

对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。

（1）两组的测量次数均小于10

即

将它们混和以后，从1开始，按从小到大的顺序重新排列，每个值的序号称为“秩”。

将测量次数较少那一组数据在混合后的序号（即秩）相加，得到的序号之和即为秩和T。

第二节系统误差2、秩和检验法（1）两组的测量次数均小于102）当，秩和T近似服从正态分布此时T-和T+可由正态分布算出。

选取概率，由正态分布分表查得t，

，

设按表2-10查出由秩和检验界限则认为无系统误差。当两组数据中有相同的数值时，则其秩应取平均值。，则不存在明显系统误差。得第二节系统误差2）当，秩和T近似服从正态分解：将两组数据混合排列成下表

查表2-10得

【例5】：对某量测得两组数据如下，判断两组间有无系统误差。

xi:14.7,14.8,15.2,15.6;yi：14.6,15.0,15.1

计算秩和T=1+4+5=10因

故无根据怀疑两组间存在系统误差。注意：若两组数据中有相同的数值，则两个数据的秩均取平均值。第二节系统误差解：将两组数据混合排列成下表查表2-10得【例5

3、t检验法

当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大但样本数不是太少（最好不少于20）时，可用t检验法判断两组间是否存在系统误差。

设独立测得两组数据为：令变量变量t是服从自由度为t分布变量。其中

取显著性水平α，根据自由度由t分布表查出，若，则无两组间没有系统误差。

第二节系统误差3、t检验法当两组测量数据服从正态分布，【例6】对某量测得两组数据为：

x：1.9，0.8，1.1，0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4

y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0

解查t分布表得两组数据间无系统误差第二节系统误差【例6】对某量测得两组数据为：解查t分布表得两组数据间无系

四、系统误差的减小和消除

（一）消误差源法

用排除误差源的方法消除系统误差是最理想的方法。它要求测量人员，对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上加以消除或减弱到可忽略的程度。由于具体条件不同，在分析查找误差源时，并无一成不变的方法，但以下几方面是应予考虑的：所用基准件、标准件（如量块、刻尺、光波容器等）是否准确可靠；第二节系统误差四、系统误差的减小和消除第二节系统误差所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书；仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理；所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等；注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中第二节系统误差所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周（二）加修正值法

这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。采用加修正值的方法消除系统误差，关键在确定修正值或修正函数的规律对恒定系统误差，可采用检定方法，对已知基准量重复测量取其均值，即为其修正值。第二节系统误差（二）加修正值法这种方法是预先将如量块的标称尺寸为30mm，经检定后实际偏差为－1.2μm，，则该量块的实际尺寸为：30+(-0.0012)=29.9988mm,修正值为－0.0012由此可知：修正值＝实际偏差

若按标称尺寸使用，就要产生系统误差。由于修正值本身也包含有一定误差，因此用修正值消除系统误差的方法，不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量系统误差，对这种残留的系统误差则应按随机误差进行处理。第二节系统误差如量块的标称尺寸为30mm，经检定后实际偏差为－1(三)不变系统误差消除法

1．代替法

方法：将被测量测量后，不改变测量条件，用一个标准量代替被测量，并对标准量进行测量，求出被测量与标准量的差值，即

差值＝测被测量读数－测标准量读数

＝（被测量＋Δ）－(标准量+Δ)

被测量＝标准量+差值例：用千分尺测量一工件，读数为30.25，今用千分尺测量30.25的标准量块，读数为30.24，问工件的实际尺寸是多大？差值ΔL＝30.25-30.24＝0.01则：L＝30.25+0.01＝30.26第二节系统误差(三)不变系统误差消除法1．代替法方法：将被测量测量后

2．抵捎法当两次读数时出现的系统误差大小相等，符号相反时，取两次测得值的平均值，作为测量结果，即可消除系统误差。例如，在工具显微镜上测量螺纹螺距，测量方向与螺纹轴线倾斜，左右螺距误差大小相等，方向相反。第二节系统误差2．抵捎法例如，在工具显微镜上测量螺纹螺距，测量方这种方法是根据误差产生原因，交换被测量与标准量，以除系统误差。3．交换法例如：在等臂天平上称量物体重量x,为消除臂长不等的误差，方法如下：将被测量x放于左边，调平衡后，得将被测量x放于右边，调平衡后，得

两式相乘：xPxP′由此可消除天平两臂不等造成的系统误差第二节系统误差这种方法是根据误差产生原因，交换被测量与标准量，以(四)变化系统误差的消除1、线性系统误差消除法——对称平均法对称法是消除线性系统误差的有效方法，当误差随时间的变化而线性变化时，若选定某时刻为中点，则对称此点的系统误差算术平均值皆相等。即第二节系统误差(四)变化系统误差的消除1、线性系统误差消除法——对称平均法对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。取两次读数平均值则有

例如仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心，皆可用半周期法予以剔除。

2、周期性系统误差的消除方法——半周期平均法第二节系统误差对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值3、消除复杂规律变化系统误差的方法通过构造合适的数学模型，进行实验回归统计，对复杂规律变化的系统误差进行补偿和修正。采用组合测量等方法，使系统误差以尽可能多的组合方式出现于被测量中，使之具有偶然误差的抵偿性，即以系统误差随机化的方式消除其影响，这种方法叫组合测量法。如用于检定线纹尺的组合定标法和度盘测量中的定角组合测量法以及力学计量中检定砝码的组合测量法等。第二节系统误差3、消除复杂规律变化系统误差的方法通过构造合适的数学第三节粗大误差在一系列重复测量数据中，如有个别数据与其它的有明显差异，则很可能含有粗大误差。根据随机误差理论，出现大误差的概率虽然小，但也是可能的。因此，如果不恰当剔除含大误差的数据，会造成测量精密度偏高的假象。反之如果对混有粗大误差的数据，即异常值，未加剔除，必然会造成测量精密度偏低的后果。以上两种情况还都严重影响对的估计。因此，对数据中异常值的正确判断与处理，是获得客观的测量结果的一个重要方法。第三节粗大误差在一系列重复测量数据中，如有个

一、粗大误差产生的原因产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为：

测量者缺乏经验，责任感不强，操作不当，测量时不细心、不耐心，造成错误的读数或记录。测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）。①测量人员的主观原因②客观外界条件的原因第三节粗大误差一、粗大误差产生的原因测量者缺乏经验，责任感不强，操

在测量过程中，如果发现有个别可疑的数据确实存在粗大误差，则有理由从测量数据列中加以剔除。这种从技术上和物理上找出产生异常值的原因，是发现和剔除粗大大误差的首要方法。

在测量完成后，若不能确知数据中是否含有粗大误差，这时可采用统计的方法进行判别。统计方法的基本思想是，给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它是粗大误差，该数据应予以剔除。二、判别粗大误差的准则第三节粗大误差在测量过程中，如果发现有个别可疑的数据确实存在粗（一）准则这是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因此该准则只是一个近似的准则。根据正态分布，测量的随机误差超过的概率不足0.3%，因此当某一残差时，则可认为该数据含有粗大误差，应予以剔除。f.第三节粗大误差（一）准则这是最常用也是最简单的判别粗大误差利用贝塞尔公式容易说明：在n≤10的情形，用准则剔除粗误差往往失败。为此，在测量次数较少时，最好不要选用该准则。下表是准则的“弃真”概率，从表中看出准则犯“弃真”错误的概率随n的增大而减小，最后稳定于0.3%。第三节粗大误差利用贝塞尔公式容易说明：在n≤10的情形，用例：对某量进行15次等精度测量，测得值如下表，设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。第三节粗大误差例：对某量进行15次等精度测量，测得值如下表，设这些测由表可得根据准则，第八测得值的残余误差为：含有粗大误差,故将此测得值剔除。再根据剩下的14个测得值重新计算，得：无粗大误差第三节粗大误差由表可得根据准则，第八测得值的残余误差为：含有粗大(二)罗曼诺夫斯基准则

罗曼诺夫斯基准则又称

t检验准则，其特点是：首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别租大误差较为合理。设有等精度独立测量列：剔除，计算将可疑数据若含有粗大误差。K——t分布系数，取定显著度查表2-12。（一般为0.05）第三节粗大误差(二)罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则又称t检（三）格拉布斯准则1950年格拉布斯（Grubbs）根据顺序统计量的某种分布规律提出一种判别粗大误差的准则。1974年我国有人用电子计算机做过统计模拟试验与其它几个准则相比，对样本中仅混入一个异常值的情况，用格拉布斯准则检验的功率最高。设对某量作多次等精度独立测量，，当平均值服从正态分布时，计算得第三节粗大误差（三）格拉布斯准则设对某量作多次等精度独立测量，将测得值按大小排序：取

给定n和置信概率P，即显著度具有某种理论分布。可由表2－13查出临界值或时含有粗大误差。第三节粗大误差将测得值按大小排序：取给定n和置信概率P，即显著度具有某（四）狄克松准则

1950年狄克松（Dixon）提出另一种无需估算和的方法，它是根据测量数据按大小排列后的顺序差来判别是否存在粗大误差。有人指出，用Dixon准则判断样本数据中混有一个以上异常值的情形效果较好。以下介绍一种狄克松双侧检验准则。设正态测量总体的一个样本，将按大小顺序排列成顺序统计量，即第三节粗大误差（四）狄克松准则1950年狄克松（Dixon）提构造检验高端异常值和低端异常值的统计量，分别为以下几种情形：第三节粗大误差构造检验高端异常值和低端异常值的求出上述统计量后，选定显著性水平，查表2-14与它的临界值比较。当测量的统计值大于临界值时，则认为或含有粗大误差。第三节粗大误差求出上述统计量后，选定显著性水平，以上介绍了四种粗大误差的判别准则，根据前人的实践经验，建议按如下几点考虑去具体应用：

①大样本情况（n>50）用3σ准则最简单方便，虽然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需要查表，故在要求不高时经常使用；30<n≤50情形，用格拉布斯准则效果较好；3≤n<30情形，用格拉布斯准则适于剔除一个异常值，用狄克逊准则适于剔除一个以上异常值。当测量次数比较小时，也可根据情况采用罗曼诺夫斯基准则。

第三节粗大误差以上介绍了四种粗大误差的判别准则，根据前人的实践经验

②在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的σ只是偏大一点，这样较为安全。另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它对平均值的影响。第三节粗大误差②在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断

三、防止与消除粗大误差的方法

对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量结果者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可以防止粗大误差产生的。在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中含有粗大误差，可采用不等精度测量和互相之间进行校核的方法。例如对某一测量值，可由两位测量者进行测量、读数和记录；或者用两种不同仪器、或两种不同测量方法进行测量。第三节粗大误差三、防止与消除粗大误差的方法第三节粗大误差

以上三节分别讨论了三类测量误差，它们的特点各异，因而处理的方法也有较大差别。现简单归纳如下：①随机误差具有抵偿性，这是它最本质的特性，算术均值和标准差是表示测量结果的两个主要统计量；系统误差则违背抵偿性，因而会影响算术均值，变化的系统误差还影响标准差；粗大误差则存在于个别的可疑数据中，也会影响算术均值和标准差。

总结以上三节分别讨论了三类测量误差，它们的特点各异②随机误差服从统计规律，是无法消除的，但通过适当增加测量次数可提高测量精度；系统误差则是有确定性规律，在掌握这个规律后，可以采取适当的措施消除或减小它；粗大误差既违背统计规律，又违背确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。

③为处理一组测量数据，往往先找出个别可疑数据，经统计判断确认无粗大误差后，再用适当的方法检验数据中是否含有明显的系统误差，如确认已无系统误差，最后处理随机误差，统计算术平均值、标准差及极限误差，以正确的表达方式给出测量结果。总结②随机误差服从统计规律，是无法消除的，但通过适当增加误差的基本性质与处理解析课件误差的基本性质与处理解析课件误差的基本性质与处理解析课件误差的基本性质与处理解析课件误差的基本性质与处理解析课件调零误差调零误差误差的基本性质与处理解析课件误差的基本性质与处理解析课件误差的基本性质与处理解析课件误差的基本性质与处理解析课件误差的基本性质与处理解析课件第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差第二节系统误差第三节粗大误差第四节测量结果数据处理实例第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差第二节教学目标：1、阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。2、掌握在随机误差的数据处理中，等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，使我们能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。教学目标：1、阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差三类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施掌握等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法重点与难点三类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施重点

当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（测量列），每个测量值都含有大小、符号不同的误差，误差的出现没有确定的规律。误差来源主要有：

零部件变形及其不稳定，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。一、随机误差产生的原因第一节随机误差①测量装置的因素②环境方面的因素③人为方面的因素当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列随机误差具有统计规律，多数都服从正态分布，首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：二、正态分布及其特性第一节随机误差通过对某工件直径重复测量N=150次的测量点列图，说明随机误差的分布特性7.0857.3357.585随机误差具有统计规律，多数都服从正态分布，首先来分析服（1）分组数=11，组距=0.05mm；（2）依次定各组的频数ni

,频率f=ni/N（3）以数据为横坐标，频率为纵坐标，在横坐标上划出等分的子区间，划出各子区间的直方柱，即为所求统计直方图。77.17.27.37.47.57.60510152025fl第一节随机误差直方图（1）分组数=11，组距=0.05mm；77.17.27.3把各直方柱顶部中点用直线连接起来，便得到一条折线。当测量样本数N无限增加，分组间隔趋于零，图中直方图折线变成一条光滑的曲线。这就是用实验方法由样本得到的概率密度分布曲线。77.17.27.37.47.57.60510152025概率尺寸第一节随机误差把各直方柱顶部中点用直线连接起来，便得到一条折线。当测量样将纵坐标平移到平均值处，即为随机误差的正态分布：式中：σ——标准差它的数学期望为它的方差为平均误差为此外由可解得或然误差为：第一节随机误差将纵坐标平移到平均值处，它的数学期望为它的方差为平均误差为此第一节随机误差

对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；

单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；

有界性：随机误差δ只是出现在一个有限的区间内

抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零。服从正态分布的随机误差具有四个基本特性：第一节随机误差对称性：绝对值相等的正误差与负误差出

对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，为减小随机误差，应以算术平均值作为最后的测量结果。

(一)算术平均值的意义

设为n次测量所得的值，则算术平均值为:

三、算术平均值第一节随机误差对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此算数平均值与真值Lo的关系：即由正态分布随机误差的抵偿性可知，因此

结论

当测量次数无限增大时，算术平均值趋于真值。但实际上都是有限次测量，因此认为算术平均值最接近于真值。第一节随机误差算数平均值与真值Lo的关系：第一节随机误差第一节随机误差例如：10.2653，10.2656，10.2648，10.2651计算算术平均值时。任选一个接所有测得值的数

作为参考值，计算每个测得值与的差值：（二）算术平均值的计算校核第一节随机误差例如：10.2653，10.2656，10第一节随机误差2.当求得的为四舍五入的非准确数时，残余误差的重要性质是其代数和为零。这一性质算术平均值及其残余误差的计算是否正确。1.当求得的为非凑整的准确数时，残差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，当n为奇数时，式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。测得值与算数平均值的差值称为残余误差（残差）第一节随机误差2.当求得的为四舍五入的非准确数时，残四、测量的标准差由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，而是围绕算术平均值有一定的分散，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，应该用一个数值作为其不可靠性的评定标准。1、随机误差的评定指标——

为什么用σ来作为评定随机误差的尺度？可以从高斯（正态）分布的分布密度推知：（一）标准差的基本含义第一节随机误差四、测量的标准差由于随机误差的存在，等精度测

不同形状的分布曲线所表征的含义是不同的。曲线越陡，随机误差的分布就越集中，表明测量精度就越高。根据可得由此可知，当σ↑，↓曲线就平坦，随机误差的分布就分散，测量精度低。第一节随机误差不同形状的分布曲线所表征的含义是不同的。曲线越陡

特别注意：标准差σ不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，σ的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差δ都不相同，一般都不等于σ，但却认为这些测得值具有相同的精度。因为都属于同样一个标准差σ的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。第一节随机误差特别注意：标准差σ不是测量列中任何一个具体测量值

2、或然误差ρ将整个测量列的n个随机误差分为个数相等的两半。其中一半随机误差的数值落在-ρ~+ρ范围内，而另一半落在-ρ~+ρ范围以外。

第一节随机误差2、或然误差ρ第一节随机误差

3、算术平均误差θ

测量列算术平均误差θ的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示：

由概率积分可以得到θ与σ的关系：第一节随机误差3、算术平均误差θ第一节随机误差目前世界各国大多趋于采用σ作为评定随机误差的尺度。这是因为：①σ的平方恰好是随机变量的数字特征方差，又恰好是高斯误差方程中的一个参数。所以采用σ，正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合；②σ对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度；③极限误差与标准偏差的关系简单：；④公式推导和计算比较简单。第一节随机误差目前世界各国大多趋于采用σ作为评定随机误差的尺度。（二）标准差的计算方法

1、等精度测量列单次测量标准偏差(贝塞尔(Bessel)公式)根据方差的定义：可以推出当被测量的真值为未知时，在有限次测量情况下，可用残余误差代替真误差计算

第一节随机误差（二）标准差的计算方法根据方差的定义：

设有n个等精度测得值

将式相加得②将②式两边平方得当n充分大时，因此有③将①式平方后再相加，④

①

第一节随机误差

①

设有n个等精度测得值将式相加得③、④联立消去

第一节随机误差由定义③、④联立消去第一节随机误差由定义

2、多次测量的测量列算术平均值的标准差

在多次测量中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。

假定在相同条件下对同一量值作100次重复测量，每4个值求出一个算术平均值，可得到25各算数平均值。由于随机误差的存在，这些算术平均值也不相同，它们围绕真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性。算术平均值通常也服从正态分布，其不可靠性的评定标准算术平均值的标准差表示。第一节随机误差2、多次测量的测量列算术平均值的标准差第一节随机由式(2-8)已知算术平均值为取方差得因故有第一节随机误差由式(2-8)已知算术平均值为第一节随机误差当n愈大，越小，因此增加测量次数可以提高测量精度，但测量精度是与n的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图可知,当n>10以后，减小很慢。一般情况下取n=10以内较为适宜。所以，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。第一节随机误差当n愈大，越小，因此增加测量次数可以提高测

3、标准差的其它算法

(1)

别捷尔斯法

第一节随机误差3、标准差的其它算法(1)别捷尔斯法第一节（2）极差法为简便迅速算出标准差时，可不需先求算术平均值计算标准差——极差法若等精度多次测得值服从正态分布，则最大与最小值之差称为极差按极差法标准差的计算公式为：dn值第一节随机误差由极差的分布函数知：（2）极差法为简便迅速算出标准差时，可不需先求算（3）最大误差法

1/Kn值极差法和最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握。当时，效果较好。第一节随机误差（3）最大误差法1/Kn值极差法和最大误差法简单、迅速、【例1】用游标卡尺对一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和租大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求算术平均值及其标准差。列表计算：第一节随机误差解(1)按贝氏公式【例1】用游标卡尺对一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和(2)按别捷尔斯法（3）按极差法（4）按最大误差法

第一节随机误差计算标准差时，有效数字一般取2位即可，此题为便于比较，多取了一位。(2)按别捷尔斯法（3）按极差法（4）按最大误差法第一节（三）标准差计算方法的比较第一节随机误差（三）标准差计算方法的比较第一节随机误差

五、测量的极限误差

测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为p，并使差值（1-p）可予忽略。

由于测量列每个测得值的随机误差各不相同，故用所有测得值的随机误差都不可能超过的最大误差作为极限误差。极限误差包括单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差第一节随机误差五、测量的极限误差由于测量列每个测得值的由概率论可知，正态分布曲线下的面积等于所有随机误差出现的概率总和，即随机误差落在（-∞～﹢∞）之间概率为1（一）单次测量的极限误差测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概率论知识，正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率。第一节随机误差由概率论可知，正态分布曲线下的面积等于所有随机误差出随机误差落在（δ～+δ）之间时

作代换得当t=1时，δ＝±1σP＝0.6826

t=2时，δ＝±2σP＝0.9544

t=3时，δ＝±3σP＝0.9973∴δlim＝±3σ第一节随机误差y正态分布表随机误差落在（δ～+δ）之间时作代换得当t=1时，（二）算术平均值的极限误差对被测几何量进行m组测量（每组皆测量n次），则有m个不相同的算术平均值，仍属于正态分布。用算数平均值作结果，随机误差必然减少，它的极限误差又是多大呢？算术平均值的标准差与测量列单次测量值的标准偏差σ关系为：

第一节随机误差（二）算术平均值的极限误差对被测几何量进行m组测量（每组用算

实际测量中，当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student”distribution)或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即极限误差可表示为式中的为置信系数，具体数值见附录3；为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n为测量次数；为n次测量的算术平均值标准差。第一节随机误差实际测量中，当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏第一节随机误差【例2】用某量具测量工件得到数据如下数据（假定已消除系统误差和租大误差）：75.01，75.04，75.03，75.00，75.03，（1）由以往统计资料知测量的标准差为0.012，试以第一次和算术平均值表示测量结果；（2）若未知标准差，试确定测量结果。解(1)第一次结果：算术平均值：算术平均值的标准差：测量结果为：第一节随机误差【例2】用某量具测量工件得到数据如下数据（第一节随机误差(2)由于标准差未知，按5次测得值求标准差：残差：-0.012，+0.018，+0.008，-0.022，+0.008因测量次数较少，按t分布计算，取α=0.01,ν=5-1=4,得ｔα＝4.6,则测量结果为：第一节随机误差(2)由于标准差未知，按5次测得值求标准差

六、不等精度测量

①在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量。②对于精密科学实验而言，为了得到准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不