有限元-第1讲-绪论课件

张洪伟有限元分析及应用第1章绪论*张洪伟有限元分析及应用*1课程目标了解什么是有限单元法、有限单元法的基本思想。了解有限元软件的基本结构和有限元法当前的进展情况。学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理等概念。能从较高层次(数力原理)上理解有限元方法的实质，掌握有限元分析的工具，并具备初步处理工程问题的能力。能够对有限元分析结果的有效性和准确性进行评估。*课程目标了解什么是有限单元法、有限单元法的基本思想。了解有限2内容安排第1章绪论第2章有限元法基本理论第3章弹性力学平面问题有限元法第4章轴对称问题与空间问题有限元法第5章等参数单元和数值积分第6章杆系结构的有限元法第7章结构动力学有限元法第8章非线性问题的有限元法

理论学习软件应用*内容安排第1章绪论理论学习*3主要参考书籍胡于进,王璋奇编著.有限元分析及应用.北京：北京：清华大学出版社,2009曾攀.有限元分析及应用.北京：清华大学出版社,2004王勖成,邵敏编著.有限单元法基本原理和数值方法.北京:清华大学出版社,1997朱伯芳著.有限单元法原理与应用（第2版）.北京:中国水利水电出版社,1998TedBelytschko著,庄茁（译）.连续体和结构的非线性有限元.北京:清华大学出版社,2002*主要参考书籍胡于进,王璋奇编著.有限元分析及应用.北京：北4预备知识线性代数数值分析材料力学弹性力学弹塑性力学*预备知识线性代数*5物理问题的数学描述有限元方法的产生12内容提要3有限元法的特点4有限元法的应用*物理问题的数学描述有限元方法的产生12内容提要3有限元法的特关于CAE技术CAE（计算机辅助工程分析）有限差分法有限元法有限体积法无网格法*关于CAE技术CAE（计算机辅助工程分析）*7有限差分方法有限差分方法(FDM)

将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。最早的数值分析方法，使用结构化网格，不需要域积分，建模、计算简单。适于分析几何形状简单的问题，商业软件很少。在流体力学领域，至今仍处于支配地位。*有限差分方法有限差分方法(FDM)将求解域划分为差分网格，8

有限元法：CAE的最主要方法，求解问题包罗万象，几乎涵盖各个学科及各个工程领域。技术最成熟，商业软件十分丰富。有限单元法*有限元法：CAE的最主要方法，求解问题包罗万象，几乎涵盖各9有限体积法有限体积法（FVM）又称为控制体积法：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。*有限体积法有限体积法（FVM）又称为控制体积法：将计算区域划10无网格数值方法无网格方法：一种新的数值方法。到目前为止已出现了多种无网格数值方法，其中光滑质点动力学法（SPH）是提出最早发展较突出的一种方法。由于SPH法不用网格，没有网格畸变问题，所以能在拉格朗日格式下处理大变形问题。

*无网格数值方法无网格方法：一种新的数值方法。到目前为止已出现11Taylor杆冲击子弹侵彻分析*Taylor杆冲击子弹侵彻分析*12两类典型的工程问题

第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。

平面桁架结构，由6个承受轴向力的“杆单元”组成。1889年建成的Effiel铁塔，由18036个部件组成*两类典型的工程问题 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的13

第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。热传导问题的控制方程与换热边界条件如下：物理问题的数学描述* 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和14两类问题的对比第一类问题的研究对象称为离散系统。离散系统是可解的，但是求解复杂的离散系统，要依靠计算机技术。第二类问题的研究对象称为连续系统。可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件，通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解。对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法来求解。*两类问题的对比第一类问题的研究对象称为离散系统。离散系统是可15物理问题的数学描述科学和工程问题的微分方程表示：（在域V内）*物理问题的数学描述科学和工程问题的微分方程表示：（在域V内）16未知场函数u在域V的边界S上应满足边界条件：（在边界S上）未知函数u可以是标量场或向量场。A、B是表示对于独立变量（如空间坐标、时间坐标）的微分算子。微分方程数应和未知场函数的数目相等。以微分方程形式提出问题的方法叫做定解问题的微分方程提法*未知场函数u在域V的边界S上应满足边界条件：（在边界S上）17由于上两式分别在域V内和边界S上的每一点都必须为零，所以对于任意的函数向量V和，恒有：微分方程的等效积分形式

*由于上两式分别在域V内和边界S上的每一点都必须为零，所以对于18积分形式对于所有的V和都成立等效于满足微分方程和边界条件，称为

微分方程的等效积分形式。

*积分形式对于所有的V和都成立等效于满足微分方程和边界条件19有限元法形成的背景

基本方程的数学求解，工程师和数学家开始寻找一种近似的求解方法，在这个过程中，他们从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（FiniteElementMethod)。

结构分析的有限元方法是由一批工业界和学术界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。

*有限元法形成的背景 基本方程的数学求解，工程师和数学家开始寻20

有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于飞机结构分析中的矩阵位移法。注：

20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，在这一背景下，逐渐在工程中产生了矩阵分析法。*有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接21**22工程师方面思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。对于不同结构的杆系、不同的载荷，求解时都能得到统一的矩阵公式。从固体力学的角度看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连续系统在结构上存在相似性，可以把结构分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。*工程师方面思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法的发展和工程师23TurnerMJ,CloughRW,MartinHCandToppLJ,Stiffnessanddeflectionanalysisofcomplexstructures,JournalofAeronauticalSciences,1956,23:805-824.文中系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达法，把这种解法称为刚性法(Stiffness)，一般认为这是工程学界上有限元法的开端。M.J.Turner*TurnerMJ,CloughRW,Martin24Clough,R.W.,“TheFiniteElementMethodinPlaneStressAnalysis,”Proc.2ndASCEConferenceonElectronicComputation,Pittsburgh,PA,Sept.8-9,1960.处理平面弹性问题时，有限元法(FiniteElementMethod)的名称也第一次被正式提出。RayW.Clough*Clough,R.W.,“TheFiniteElem25数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。数学家方面*数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原26CourantR,Variationalmethodsforthesolutionofproblemsofequilibriumandvibrations,BulletinofAmericanMathematicalSociety,1943,49,1-23在应用数学界第一篇有限元论文，使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解，由于当时计算机尚未出现，这篇论文并没有引起应有的注意。RichardCourant*CourantR,Variationalmethods27Argyris,J.H.,EnergyTheoremsandStructuralAnalysis,AircraftEngineering,vol.26,Oct-Nov.1954,pp.347-356Argyris,J.H.,andS.Kelsey,EnergyTheoremsandStructuralAnalysis,Butterworth,London,UK,1960.JohnH.Argyris1954-1955年，德国斯图加特大学的Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文，为有限元研究奠定了重要的基础。*Argyris,J.H.,EnergyTheorems28GilbertStrangGeorgeFix1964年贝赛林(Besseling，J.F.)等人证明有限元法实际上是基于变分原理的瑞利—里兹法的另一种形式，从而在理论上为有限元法奠定了数学基础。1973年麻省理工大学的两位应用数学家确立了有限元法，给有限元法提供了坚实的数学基础，从数学上严格地证明了随着网格密度的加大，预测的有限元分析结果确实收敛。*GilbertStrangGeorgeFix1964年29O.C.ZienkiewiczYauKaiCheung张佑启ZienkiewiczOCandCheungYK,TheFiniteElementMethodinStructuralandContinuumMechanics,London:McGraw-Hill1967.

第一本有关有限元分析的专著*O.C.ZienkiewiczYauKaiCheung301969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题，Oden于1972年出版了第一本关于处理非线性连续体的专著。这一时期的理论研究是比较超前的。*1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加31中国科学家也独立地作出了重要的贡献陈伯屏（结构矩阵方法）钱令希（余能原理）钱伟长、胡海昌（广义变分原理）冯康（有限元理论）冯康钱令希钱伟长胡海昌我国力学工作者的贡献*中国科学家也独立地作出了重要的贡献冯康钱令希钱伟长胡海昌我国32变分原理和里兹法设u是未知函数，F和E是u及其偏导数的函数，V是求解域，S是V的边界，则如下积分形式∏称为未知函数u的泛函，∏随函数u的变化而变化，即它是未知函数的函数。*变分原理和里兹法设u是未知函数，F和E是u及其偏导数的函数，33变分法所研究的是如何求得使泛函∏取驻值的函数u，以及驻值点的性质（极大值、极小值或驻值）。泛函∏取驻值的条件是，对于函数u的微小变化δu，泛函的变分（即变化量）δ∏等于零，即许多物理问题可以表达为泛函的极值问题，采用变分法求解，这种求解方法称为变分原理。*变分法所研究的是如何求得使泛函∏取驻值的函数u，以及驻值点的34Ritz法

设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探函数表示其中a是待定参数，N是已知函数。将上式代入泛函∏的表达式，得到用试探函数和待定参数表示的泛函。泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并令所得的方程等于零，即*Ritz法设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探函数表35这是与待定参数a的个数相等的线性方程组，用以求解a。这种求泛函近似解的直接方法叫做Ritz法。*这是与待定参数a的个数相等的线性方程组，用以求解a。这种求泛36试探函数的选择条件：

一般选择多项式形式，定义于整个求解域上；应满足未知函数本身需满足的强制边界条件（例如位移边界条件）；应满足完全性和连续性要求。*试探函数的选择条件：*37加权残值（余量）法

微分方程和边界条件所表达的物理问题的精确解往往难以求得，可用近似函数来表示未知的场函数：待定参数试探函数（基函数、形函数）其中*加权残值（余量）法微分方程和边界条件所表达的物理问题的精确38通常在近似函数取有限项的情况下，近似解不能精确满足微分方程和全部边界条件，而会产生余量（残差）：*通常在近似函数取有限项的情况下，近似解不能精确满足微分方程和39用n个给定的函数向量Wj和来代替等效积分式中的V和，可得

上式的意义是：通过选择待定系数ai，强迫余量在某种平均意义上等于零。式中Wj和称为权函数。令上式等于零可得到一组求解方程，用以确定待定系数ai，从而得到原问题的近似解。采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

*用n个给定的函数向量Wj和来代替等效积分式中的V和40任何独立的完全函数集都可以用来作为权函数，对于Galerkin法来说，取近似解的试探函数作为权函数，即则近似积分式成为在很多情况下，采用Galerkin法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，因此用加权余量法建立有限元格式时都采用此法。*任何独立的完全函数集都可以用来作为权函数，对于Galerki411.2有限元分析的基本原理和思路有限元方法是求解数学物理问题的一种数值计算方法，起源于固体力学，然后迅速扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他物理领域。有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。*1.2有限元分析的基本原理和思路有限元方法是求解数学物理问42真实系统有限元模型有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。节点具有一定的自由度。齿轮有限元模型*真实系统有限元模型有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之43自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs

结构 位移热

温度电 电位流体压力磁 磁位

分析对象 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ*自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DO44基本思路：分割-组合将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化）用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析）将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（整体分析）

这种分割-组合思想古而有之，如求圆面积。*基本思路：分割-组合将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化45圆面积*圆面积*46有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的，在发展初期，许多学术权威对该方法的学术价值有所鄙视，国际著名刊物JournalofAppliedMechanics许多年来拒绝刊登有关有限元方法的文章，其理由是没有新的科学实质。现在完全不同了，由于有限元方法在科学研究和工程分析中的地位，有关有限元方法的研究已经成为数值计算的主流。涉及有限元方法的杂志有几十种之多。*有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的，在发展初期47有限元方法的主要研究内容：计算方法：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方法。高精度单元复杂材料模型多物理场耦合目标：提高计算效率和计算精度*有限元方法的主要研究内容：*481.3有限元分析主要应用领域结构分析热分析电磁分析流体分析

耦合场分析-多物理场*1.3有限元分析主要应用领域结构分析*49结构分析结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域。结构这个术语是一个广义的概念，它包括土木工程结构，如桥梁和建筑物；汽车结构，如车身骨架；海洋结构，如船舶结构；航空结构，如飞机机身等；同时还包括机械零部件，如活塞，传动轴等等。结构分析中计算得出的基本未知量（节点自由度）是位移，其他的一些未知量，如应变，应力，和反力可通过节点位移导出。*结构分析结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域。结构这50结构分析-分类静力分析-用于静态载荷.可以考虑结构的线性及非线性行为，例如:大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.

动力分析

-动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起着重要作用时结构或构件动力学特性的技术。“动力学特性”可能指的是下面的一种或几种类型:振动特性-（结构振动方式和振动频率）周期（振动）载荷的效应随时间变化载荷的效应屈曲分析

-用于计算屈曲载荷和确定屈曲模态。包括线性（特征值）和非线性屈曲分析。*结构分析-分类静力分析-用于静态载荷.可以考虑结构的线51静力分析转向机构支架的强度分析（MSC/Nastran）*静力分析转向机构支架的强度分析（MSC/Nastran）*52动力分析（五种类型）模态分析-

计算线性结构的自振频率及振形.谱分析

是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变(也叫作

响应谱或

PSD).整机模态分析*动力分析（五种类型）模态分析-计算线性结构的自振频率及振53关于模态分析模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术：自然频率振型振型参与系数（即在特定方向上某个振型在多大程度上参与了振动）模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内容。模态分析的作用：使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如扬声器）；

汽车尾气排气管装配体的固有频率与发动机的固有频率相同时，就可能会被震散。有助于在其它动力分析中估算求解控制参数（如时间步长）。*关于模态分析模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术：*54谐响应分析-确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支座、固定装置和部件；受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、飞机机翼、桥和塔等。瞬态动力学分析-确定结构对随时间任意变化的载荷的响应.可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为.显式动力分析-计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.显式求解冲击、碰撞、复杂金属成形等问题，是目前求解这类问题最有效的方法.*谐响应分析-确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.55车辆安全性*车辆安全性*56热分析热分析在许多工程应用中扮演重要角色，如内燃机、涡轮机、换热器、管路系统、电子元件等。热分析之后往往进行结构分析,计算由于热膨胀或收缩不均匀引起的应力.热相关问题相变(熔化及凝固),内热源(例如电阻发热等)三种热传递方式(热传导、热对流、热辐射)稳态传热：系统的温度场不随时间变化瞬态传热：系统的温度场随时间明显变化热分析计算物体的稳态或瞬态温度分布，以及热量的获取或损失、热梯度、热通量等.*热分析热分析在许多工程应用中扮演重要角色，如内燃机、涡轮机、57工件淬火3.06min时的温度、组织分布(NSHT3D)*工件淬火3.06min时的温度、组织分布(NSHT3D58潜水艇内外壁面温度及温度分布(Ansys)*潜水艇内外壁面温度及温度分布(Ansys)*59发动机瞬态热仿真电熨斗瞬态热仿真铸造成型：温度变化和气泡金属反挤压成型：温度分布和变化*发动机瞬态热仿真电熨斗瞬态热仿真铸造成型：温度变化和气泡金属60电磁分析磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、磁力、磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等.磁场可由电流、永磁体、外加磁场等产生.磁场分析

用于计算磁场.*电磁分析磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、磁力、61磁场分析的类型:静磁场分析

-计算直流电（DC)或永磁体产生的磁场.交变磁场分析-计算由于交流电(AC)产生的磁场.瞬态磁场分析-计算随时间随机变化的电流或外界引起的磁场.电磁接触：磁悬浮列车仿真*磁场分析的类型:电磁接触：磁悬浮列车仿真*62电场分析

用于计算电阻或电容系统的电场.典型的物理量有电流密度、电荷密度、电场及电阻热等.高频电磁场分析用于微波及RF无源组件，波导、雷达系统、同轴连接器等分析.*电场分析用于计算电阻或电容系统的电场.典型的物理量有63流体分析

流体分析

用于确定流体的流动及热行为.可以处理不可压缩或可压缩流体、层流及湍流，以及多组份流等.作用于气动翼(叶)型上的升力和阻力超音速喷管中的流场弯管中流体的复杂的三维流动导流管分析压力速度*流体分析流体分析用于确定流体的流动及热行为.可以处理64超音速飞行压力分布汽车气动分析高速导弹气动*超音速飞行压力分布汽车气动分析高速导弹气动*65耦合场分析耦合场分析

考虑两个或多个物理场之间的相互作用。如果两个物理场之间相互影响，单独求解一个物理场是不可能得到正确结果的，因此你需要一个能够将两个物理场组合到一起求解的分析软件。例如：

在压电力分析中，需要同时求解电压分布（电场分析）和应变（结构分析）.其他需要耦合场分析的典型情况有：热—应力分析流体—结构相互作用感应加热（电磁—热）,感应振荡两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，加热后的变形情况*耦合场分析耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。如661.4常用有限元分析软件介绍有限元法得以飞速发展的一个重要原因就是在工程实际中提出了一大批重要问题需要进行分析：航空、机械制造、土木工程、冶金、核能、地震、气象…从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限单元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。*1.4常用有限元分析软件介绍有限元法得以飞速发展的一个重要67常用大型通用有限元软件

ADINA、ABAQUS、ANSYS、MSC/Marc、MSC/Nastran一些专用有限元软件LS_DYNA、PAM-CRASH、MSC/Dytran(碰撞）Autoform、DYNAFORM、、PAM-STAMP（冲压）、

DEFORM(体积成形)、SysWeld（焊接）MOLDFLOW(注塑)、ProCast(铸造)*常用大型通用有限元软件*68ADINAAutomaticdynamicincrementalnonlinearanalysis1975年K.J.Bathe(Wilson的学生)在美国MIT创办ADINA公司大型通用非线性分析软件

(注：20世纪60年代美国加州大学Wilson教授主持开发了第一个大型通用结构分析程序SAP)*ADINAAutomaticdynamicincreme69ADINA

/*ADINA

/*70ABAQUS1978年，三位著名学者Hibbitt,Karlsson和Sorensen成立HKS公司，推出有限元产品为ABAQUS。总部位于美国的罗德岛州（RhodeIsland）。国际上最先进的大型通用有限元分析软件之一。特别是它的非线性力学分析功能具有世界领先水平。两个主要分析模块：ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit国内清华大学工程力学系提供技术支持和服务。(公司)*ABAQUS1978年，三位著名学者Hibbitt,Kar71ABAQUS

/*ABAQUS

/72ANSYS,Inc.ANSYS系列产品的开发商总部在美国匹兹堡*ANSYS,Inc.*ANSYS——

1970年，JohnA.Swanson博士成立了Swanson分析系统有限公司——ANSYS通用有限元软件的开发商。他曾工作于威斯丁豪斯电子有限公司。后来Swanson将大部分SASI的所有权出售给了TAAssociates公司，之后公司改名为ANSYS并面向公众。

在近些年里，ANSYS改进了有限元软件，把范围进一步地扩大到了CFD模拟领域，连续收购了三家最主要的CFD软件开发商：ICEMCFD，CFD软件的前后处理器，由ICEMCFD工程部（伯克利的首都航空公司）开发；英国的CFX公司（最初是AEA科技公司的一部分，英国的Harwell，加拿大的沃特卢、安大略）；FLUENT公司（黎巴嫩，NH）——CFD市场的领导者。*ANSYS——*74MSC/Nastran1963年，R.MacNeal博士和R.Schwendler创办MSC公司1964年，MSC承担美国航空航天局（NASA）项目，主持NASTRAN的开发

1971年，MSC推出专利版MSC/NASTRAN1989年,发布经重大改进的MSC/NASTRAN66*MSC/Nastran1963年，R.MacNeal博士和751994年，MSC公司发布了经重大改进的MSC/NASRANV68版1994年，MSC与PDAE合并,形成了以MSC/NASTRAN为核心的MSC产品系列如：MSC.PATRAN、MSC.THERMAL、MSC.FATIGUE等1997年,MSC/NASTRANV70版

2001年,MSC/NASTRAN2001版航空航天领域的标准化结构分析软件*1994年，MSC公司发布了经重大改进的MSC/NASR76MSC/Marc1967年美国布朗大学力学系的PedroMarcal教授创立Marc公司大型通用非线性分析软件后因经营上的问题，被MSC公司并购*MSC/Marc1967年美国布朗大学力学系的PedroM77MSC中国

/*MSC中国

http://www.mscsoftware.78DYNA3D1976年由LawrenceLivermore国家实验室的JohnHallguist博士发布显式有限元理论和程序的鼻祖，其独特的算法非常适合求解碰撞、爆炸、金属成形等高度非线性问题。目前状况被法国ESI公司商品化为PAMCRASH1989Hallguist推出商业化版本LS-DYNA(3D)Dynaform-PC,Ansys/LS-DYNA*DYNA3D1976年由LawrenceLivermore79崇尚实践知行并重*崇尚实践知行并重*张洪伟有限元分析及应用第1章绪论*张洪伟有限元分析及应用*81课程目标了解什么是有限单元法、有限单元法的基本思想。了解有限元软件的基本结构和有限元法当前的进展情况。学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理等概念。能从较高层次(数力原理)上理解有限元方法的实质，掌握有限元分析的工具，并具备初步处理工程问题的能力。能够对有限元分析结果的有效性和准确性进行评估。*课程目标了解什么是有限单元法、有限单元法的基本思想。了解有限82内容安排第1章绪论第2章有限元法基本理论第3章弹性力学平面问题有限元法第4章轴对称问题与空间问题有限元法第5章等参数单元和数值积分第6章杆系结构的有限元法第7章结构动力学有限元法第8章非线性问题的有限元法

理论学习软件应用*内容安排第1章绪论理论学习*83主要参考书籍胡于进,王璋奇编著.有限元分析及应用.北京：北京：清华大学出版社,2009曾攀.有限元分析及应用.北京：清华大学出版社,2004王勖成,邵敏编著.有限单元法基本原理和数值方法.北京:清华大学出版社,1997朱伯芳著.有限单元法原理与应用（第2版）.北京:中国水利水电出版社,1998TedBelytschko著,庄茁（译）.连续体和结构的非线性有限元.北京:清华大学出版社,2002*主要参考书籍胡于进,王璋奇编著.有限元分析及应用.北京：北84预备知识线性代数数值分析材料力学弹性力学弹塑性力学*预备知识线性代数*85物理问题的数学描述有限元方法的产生12内容提要3有限元法的特点4有限元法的应用*物理问题的数学描述有限元方法的产生12内容提要3有限元法的特关于CAE技术CAE（计算机辅助工程分析）有限差分法有限元法有限体积法无网格法*关于CAE技术CAE（计算机辅助工程分析）*87有限差分方法有限差分方法(FDM)

将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。最早的数值分析方法，使用结构化网格，不需要域积分，建模、计算简单。适于分析几何形状简单的问题，商业软件很少。在流体力学领域，至今仍处于支配地位。*有限差分方法有限差分方法(FDM)将求解域划分为差分网格，88

有限元法：CAE的最主要方法，求解问题包罗万象，几乎涵盖各个学科及各个工程领域。技术最成熟，商业软件十分丰富。有限单元法*有限元法：CAE的最主要方法，求解问题包罗万象，几乎涵盖各89有限体积法有限体积法（FVM）又称为控制体积法：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。*有限体积法有限体积法（FVM）又称为控制体积法：将计算区域划90无网格数值方法无网格方法：一种新的数值方法。到目前为止已出现了多种无网格数值方法，其中光滑质点动力学法（SPH）是提出最早发展较突出的一种方法。由于SPH法不用网格，没有网格畸变问题，所以能在拉格朗日格式下处理大变形问题。

*无网格数值方法无网格方法：一种新的数值方法。到目前为止已出现91Taylor杆冲击子弹侵彻分析*Taylor杆冲击子弹侵彻分析*92两类典型的工程问题

第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。

平面桁架结构，由6个承受轴向力的“杆单元”组成。1889年建成的Effiel铁塔，由18036个部件组成*两类典型的工程问题 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的93

第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。热传导问题的控制方程与换热边界条件如下：物理问题的数学描述* 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和94两类问题的对比第一类问题的研究对象称为离散系统。离散系统是可解的，但是求解复杂的离散系统，要依靠计算机技术。第二类问题的研究对象称为连续系统。可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件，通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解。对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法来求解。*两类问题的对比第一类问题的研究对象称为离散系统。离散系统是可95物理问题的数学描述科学和工程问题的微分方程表示：（在域V内）*物理问题的数学描述科学和工程问题的微分方程表示：（在域V内）96未知场函数u在域V的边界S上应满足边界条件：（在边界S上）未知函数u可以是标量场或向量场。A、B是表示对于独立变量（如空间坐标、时间坐标）的微分算子。微分方程数应和未知场函数的数目相等。以微分方程形式提出问题的方法叫做定解问题的微分方程提法*未知场函数u在域V的边界S上应满足边界条件：（在边界S上）97由于上两式分别在域V内和边界S上的每一点都必须为零，所以对于任意的函数向量V和，恒有：微分方程的等效积分形式

*由于上两式分别在域V内和边界S上的每一点都必须为零，所以对于98积分形式对于所有的V和都成立等效于满足微分方程和边界条件，称为

微分方程的等效积分形式。

*积分形式对于所有的V和都成立等效于满足微分方程和边界条件99有限元法形成的背景

基本方程的数学求解，工程师和数学家开始寻找一种近似的求解方法，在这个过程中，他们从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（FiniteElementMethod)。

结构分析的有限元方法是由一批工业界和学术界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。

*有限元法形成的背景 基本方程的数学求解，工程师和数学家开始寻100

有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于飞机结构分析中的矩阵位移法。注：

20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，在这一背景下，逐渐在工程中产生了矩阵分析法。*有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接101**102工程师方面思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。对于不同结构的杆系、不同的载荷，求解时都能得到统一的矩阵公式。从固体力学的角度看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连续系统在结构上存在相似性，可以把结构分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。*工程师方面思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法的发展和工程师103TurnerMJ,CloughRW,MartinHCandToppLJ,Stiffnessanddeflectionanalysisofcomplexstructures,JournalofAeronauticalSciences,1956,23:805-824.文中系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达法，把这种解法称为刚性法(Stiffness)，一般认为这是工程学界上有限元法的开端。M.J.Turner*TurnerMJ,CloughRW,Martin104Clough,R.W.,“TheFiniteElementMethodinPlaneStressAnalysis,”Proc.2ndASCEConferenceonElectronicComputation,Pittsburgh,PA,Sept.8-9,1960.处理平面弹性问题时，有限元法(FiniteElementMethod)的名称也第一次被正式提出。RayW.Clough*Clough,R.W.,“TheFiniteElem105数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。数学家方面*数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原106CourantR,Variationalmethodsforthesolutionofproblemsofequilibriumandvibrations,BulletinofAmericanMathematicalSociety,1943,49,1-23在应用数学界第一篇有限元论文，使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解，由于当时计算机尚未出现，这篇论文并没有引起应有的注意。RichardCourant*CourantR,Variationalmethods107Argyris,J.H.,EnergyTheoremsandStructuralAnalysis,AircraftEngineering,vol.26,Oct-Nov.1954,pp.347-356Argyris,J.H.,andS.Kelsey,EnergyTheoremsandStructuralAnalysis,Butterworth,London,UK,1960.JohnH.Argyris1954-1955年，德国斯图加特大学的Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文，为有限元研究奠定了重要的基础。*Argyris,J.H.,EnergyTheorems108GilbertStrangGeorgeFix1964年贝赛林(Besseling，J.F.)等人证明有限元法实际上是基于变分原理的瑞利—里兹法的另一种形式，从而在理论上为有限元法奠定了数学基础。1973年麻省理工大学的两位应用数学家确立了有限元法，给有限元法提供了坚实的数学基础，从数学上严格地证明了随着网格密度的加大，预测的有限元分析结果确实收敛。*GilbertStrangGeorgeFix1964年109O.C.ZienkiewiczYauKaiCheung张佑启ZienkiewiczOCandCheungYK,TheFiniteElementMethodinStructuralandContinuumMechanics,London:McGraw-Hill1967.

第一本有关有限元分析的专著*O.C.ZienkiewiczYauKaiCheung1101969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题，Oden于1972年出版了第一本关于处理非线性连续体的专著。这一时期的理论研究是比较超前的。*1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加111中国科学家也独立地作出了重要的贡献陈伯屏（结构矩阵方法）钱令希（余能原理）钱伟长、胡海昌（广义变分原理）冯康（有限元理论）冯康钱令希钱伟长胡海昌我国力学工作者的贡献*中国科学家也独立地作出了重要的贡献冯康钱令希钱伟长胡海昌我国112变分原理和里兹法设u是未知函数，F和E是u及其偏导数的函数，V是求解域，S是V的边界，则如下积分形式∏称为未知函数u的泛函，∏随函数u的变化而变化，即它是未知函数的函数。*变分原理和里兹法设u是未知函数，F和E是u及其偏导数的函数，113变分法所研究的是如何求得使泛函∏取驻值的函数u，以及驻值点的性质（极大值、极小值或驻值）。泛函∏取驻值的条件是，对于函数u的微小变化δu，泛函的变分（即变化量）δ∏等于零，即许多物理问题可以表达为泛函的极值问题，采用变分法求解，这种求解方法称为变分原理。*变分法所研究的是如何求得使泛函∏取驻值的函数u，以及驻值点的114Ritz法

设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探函数表示其中a是待定参数，N是已知函数。将上式代入泛函∏的表达式，得到用试探函数和待定参数表示的泛函。泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并令所得的方程等于零，即*Ritz法设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探函数表115这是与待定参数a的个数相等的线性方程组，用以求解a。这种求泛函近似解的直接方法叫做Ritz法。*这是与待定参数a的个数相等的线性方程组，用以求解a。这种求泛116试探函数的选择条件：

一般选择多项式形式，定义于整个求解域上；应满足未知函数本身需满足的强制边界条件（例如位移边界条件）；应满足完全性和连续性要求。*试探函数的选择条件：*117加权残值（余量）法

微分方程和边界条件所表达的物理问题的精确解往往难以求得，可用近似函数来表示未知的场函数：待定参数试探函数（基函数、形函数）其中*加权残值（余量）法微分方程和边界条件所表达的物理问题的精确118通常在近似函数取有限项的情况下，近似解不能精确满足微分方程和全部边界条件，而会产生余量（残差）：*通常在近似函数取有限项的情况下，近似解不能精确满足微分方程和119用n个给定的函数向量Wj和来代替等效积分式中的V和，可得

上式的意义是：通过选择待定系数ai，强迫余量在某种平均意义上等于零。式中Wj和称为权函数。令上式等于零可得到一组求解方程，用以确定待定系数ai，从而得到原问题的近似解。采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

*用n个给定的函数向量Wj和来代替等效积分式中的V和120任何独立的完全函数集都可以用来作为权函数，对于Galerkin法来说，取近似解的试探函数作为权函数，即则近似积分式成为在很多情况下，采用Galerkin法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，因此用加权余量法建立有限元格式时都采用此法。*任何独立的完全函数集都可以用来作为权函数，对于Galerki1211.2有限元分析的基本原理和思路有限元方法是求解数学物理问题的一种数值计算方法，起源于固体力学，然后迅速扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他物理领域。有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。*1.2有限元分析的基本原理和思路有限元方法是求解数学物理问122真实系统有限元模型有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。节点具有一定的自由度。齿轮有限元模型*真实系统有限元模型有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之123自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs

结构 位移热

温度电 电位流体压力磁 磁位

分析对象 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ*自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DO124基本思路：分割-组合将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化）用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析）将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（整体分析）

这种分割-组合思想古而有之，如求圆面积。*基本思路：分割-组合将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化125圆面积*圆面积*126有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的，在发展初期，许多学术权威对该方法的学术价值有所鄙视，国际著名刊物JournalofAppliedMechanics许多年来拒绝刊登有关有限元方法的文章，其理由是没有新的科学实质。现在完全不同了，由于有限元方法在科学研究和工程分析中的地位，有关有限元方法的研究已经成为数值计算的主流。涉及有限元方法的杂志有几十种之多。*有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的，在发展初期127有限元方法的主要研究内容：计算方法：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方法。高精度单元复杂材料模型多物理场耦合目标：提高计算效率和计算精度*有限元方法的主要研究内容：*1281.3有限元分析主要应用领域结构分析热分析电磁分析流体分析

耦合场分析-多物理场*1.3有限元分析主要应用领域结构分析*129结构分析结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域。结构这个术语是一个广义的概念，它包括土木工程结构，如桥梁和建筑物；汽车结构，如车身骨架；海洋结构，如船舶结构；航空结构，如飞机机身等；同时还包括机械零部件，如活塞，传动轴等等。结构分析中计算得出的基本未知量（节点自由度）是位移，其他的一些未知量，如应变，应力，和反力可通过节点位移导出。*结构分析结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域。结构这130结构分析-分类静力分析-用于静态载荷.可以考虑结构的线性及非线性行为，例如:大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.

动力分析

-动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起着重要作用时结构或构件动力学特性的技术。“动力学特性”可能指的是下面的一种或几种类型:振动特性-（结构振动方式和振动频率）周期（振动）载荷的效应随时间变化载荷的效应屈曲分析

-用于计算屈曲载荷和确定屈曲模态。包括线性（特征值）和非线性屈曲分析。*结构分析-分类静力分析-用于静态载荷.可以考虑结构的线131静力分析转向机构支架的强度分析（MSC/Nastran）*静力分析转向机构支架的强度分析（MSC/Nastran）*132动力分析（五种类型）模态分析-

计算线性结构的自振频率及振形.谱分析

是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变(也叫作

响应谱或

PSD).整机模态分析*动力分析（五种类型）模态分析-计算线性结构的自振频率及振133关于模态分析模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术：自然频率振型振型参与系数（即在特定方向上某个振型在多大程度上参与了振动）模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内容。模态分析的作用：使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如扬声器）；

汽车尾气排气管装配体的固有频率与发动机的固有频率相同时，就可能会被震散。有助于在其它动力分析中估算求解控制参数（如时间步长）。*关于模态分析模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术：*134谐响应分析-确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支座、固定装置和部件；受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、飞机机翼、桥和塔等。瞬态动力学分析-确定结构对随时间任意变化的载荷的响应.可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为.显式动力分析-计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.显式求解冲击、碰撞、复杂金属成形等问题，是目前求解这类问题最有效的方法.*谐响应分析-确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.135车辆安全性*车辆安全性*136热分析热分析在许多工程应用中扮演重要角色，如内燃机、涡轮机、换热器、管路系统、电子元件等。热分析之后往往进行结构分析,计算由于热膨胀或收缩不均匀引起的应力.热相关问题相变(熔化及凝固),内热源(例如电阻发热等)三种热传递方式(热传导、热对流、热辐射)稳态传热：系统的温度场不随时间变化瞬态传热：系统的温度场随时间明显变化热分析计算物体的稳态或瞬态温度分布，以及热量的获取或损失、热梯度、热通量等.*热分析热分析在许多工程应用中扮演重要角色，如内燃机、涡轮机、137工件淬火3.06min时的温度、组织分布(NSHT3D)*工件淬火3.06min时的温度、组织分布(NSHT3D138潜水艇内外壁面温度及温度分布(Ansys)*潜水艇内外壁面温度及温度分布(Ansys)*139发动机瞬态热仿真电熨斗瞬态热仿真铸造成型：温度变化和气泡金属反挤压成型：温度分布和变化*发动机瞬态热仿真电熨斗瞬态热仿真铸造成型：温度变化和气泡金属140电磁分析磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、磁力、磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等.磁场可由电流、永磁体、外加磁场等产生.磁场分析

用于计算磁场.*电磁分析磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、磁力、141磁场分析的类型:静磁场分析

-计算直流电（DC)或永磁体产生的磁场.交变磁场分析-计算由于交流电(AC)产生的磁场.瞬态磁场分析-计算随时间随机变化的电流或外界引起的磁场.电磁接触：磁悬浮列车仿真*磁场分析的类型:电磁接触：磁悬浮列车仿真*142电场分析

用于计算电阻或电容系统的电场.典型的物理量有电流密度、电荷密度、电场及电阻热等.高频电磁场分析用于微波及RF无源组件，波导、雷达系统、同轴连接器等分析.*电场分析用于计算电阻或电容系统的电场.典型的物理量有143流体分析

流体分析

用于确定流体的流动及热行为.可以处理不可压缩或可压缩流体、层流及湍流，以及多组份流等.作用于气动翼(叶)型上的升力和阻力超音速喷管中的流场弯管中流体的复杂的三维流动导流管分析压力速度*流体分析流体分析用于确定流体的流动及热行为.可以处理144超音速飞行压力分布汽车气动分析高速导弹气动*超音速飞行压力分布汽车气动分析高速导弹气动*145耦合场分析耦合场分析

考虑两个或多个物理场之间的相互作用。如果两个物理场之间相互影响，单独求解一个物理场是不可能得到正确结果的，因此你需要一个能够将两个物理场组合到一起求解的分析软件。