离散型随机变量及其分布列课件

概率论与数理统计第二章离散型随机变量概率论与数理统计第二章离散型随机变量一．一维离散型随机变量及分布列

1.定义在样本空间上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量，称作是一维（实值）离散型随机变量．简称为离散型随机变量．

注

要确切了解一个随机变量，首先要判断它的取值范围以及可能取哪些值，其次还要知道它以多大的概率取这些值.§2.2、离散型随机变量及其分布列一．一维离散型随机变量及分布列注要确切了解例1

设盒中有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中任取3个球，求取到的白球数的分布列。解分布表为012

0.10.60.3的可能取值为0，1，2例1设盒中有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中任取3

离散型随机变量的分布列也可以写成表格的形式分布列还可以写成矩阵形式

2.分布律离散型随机变量的分布列也可以写成表格的形式分布列还

离散型随机变量的分布列具有下列性质：

反过来还可以证明，具有性质(1)、(2)的数列必是某个离散型随机变量的分布列.3．分布列的性质

离散型随机变量的分布列具有下列性质

例2

从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令为“取出的5个数字中的最大值”．试求的分布律．从而，即可得的分布律为解的取值为5，6，7，8，9，10．并且例2从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令从而，即例3

设离散型随机变量的分布律为求解例3设离散型随机变量的分布律为求解例4设随机变量的分布律为解由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有所以

试求常数c.例4设随机变量的分布律为解由随机变量的性质，得该4、常见的离散型分布设随机变量只可能取0与1两个值,它的分布列为（2）.两点分布（1）.退化分布若随机变量取常数值C的概率为1,即则称

服从退化分布.则称

服从(0-1)分布或两点分布.记为

~B(1,p).4、常见的离散型分布设随机变量只可能取0与1两例5

“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.

则随机变量

服从(0-1)分布.其分布律为

说明两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.例5“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.（3）.均匀分布如果随机变量

的分布律为例6

抛掷骰子并记出现的点数为随机变量，则有其中

则称随机变量

服从均匀分布.（3）.均匀分布如果随机变量的分布律为例6抛掷（4）.二项分布若

的分布列为则称随机变量服从参数为n,p的二项分布。记为,其中q＝1－p.注：二项分布两点分布（4）.二项分布若的分布列为则称随机变量服从参数例7

在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数

服从B(5,0.6)的二项分布.例7在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击解设击中的次数为，则因此，例8从而，的分布列为解设击中的次数为，则因此，例8从而，的分布列为（5）.普哇松分布

若随机变量的分布列为这种分布称作参数为的普哇松分布，记作（5）.普哇松分布若随机变量的分布列为这种分

设1000辆车通过时出事故的次数为

,则可利用普哇松定理从而所求概率为解例9

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?设1000辆车通过时出事故的次数为二项分布

普哇松分布普哇松分布，

普哇松定理

设则且满足则对任意非负整数k，有二项分布

设1000辆车通过时出事故的次数为

,则可利用普哇松定理从而所求概率为解例10

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?设1000辆车通过时出事故的次数为普哇松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从普哇松分布.普哇松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,普哇松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从普哇松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水（6）.几何分布

若随机变量

的分布律为则称

服从几何分布.记例11

设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目

是一个随机变量,求

的分布律.（6）.几何分布若随机变量的分布律为则称所以

服从几何分布.

说明

几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.解所以服从几何分布.说明几何分布可作7.超几何分布

设

的分布列为

超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明这里则称服从超几何分布.7.超几何分布设的分布列为超5、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的分布列为则的分布函数为5、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的分布列为例12

设服从退化分布，即则的分布函数为例13

设服从两点分布，即求的分布函数

F(x).解例12设服从退化分布，即则的分布函数为例例14

设随机变量

的分布律为：

pk

-123解

当

x1

时，满足0２x３-1x求

的分布函数，当满足

x的

取值为

=-1,

２x３-1x例14设随机变量的分布律为：-1当时，满足x的

取值为

=-1,或

2.

同理当时，-10

123

x1当时，满足x的取值为

从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、一件地取产品.设每次抽取时,所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数

的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.备份题从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、备份题故

的分布律为解(1)所取的可能值是故的分布律为解(1)所取的可能值是(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故

的分布律为

所取的可能值是(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故的分(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.故

的分布律为所取的可能值是(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这

为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?合理配备维修工人问题解设需配备N人，记同一时刻发生故障的设备为，那末，所需解决的问题是确定最小的N，使得为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(由普哇松定理得故有即个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8由普哇松定理得故有即个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维

(人寿保险问题)在保险公司里有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取2000元.问

(1)保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于一万元的概率是多少?

保险公司在1月1日的收入是

250012=30000元，解设

表示这一年内的死亡人数,则(人寿保险问题)在保险公司里有2500个同年龄同

保险公司这一年里付出2000元.假定2000

30000,即

15人时公司亏本.于是,P{公司亏本}=P{

15}=1－P{<14}由泊松定理得P{公司亏本}(2)获利不少于一万元,即30000－2000

10000，即

10.P{获利不少于一万元}=P{

10}..保险公司这一年里付出2000元.假定2000概率论与数理统计第二章离散型随机变量概率论与数理统计第二章离散型随机变量一．一维离散型随机变量及分布列

1.定义在样本空间上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量，称作是一维（实值）离散型随机变量．简称为离散型随机变量．

注

要确切了解一个随机变量，首先要判断它的取值范围以及可能取哪些值，其次还要知道它以多大的概率取这些值.§2.2、离散型随机变量及其分布列一．一维离散型随机变量及分布列注要确切了解例1

设盒中有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中任取3个球，求取到的白球数的分布列。解分布表为012

0.10.60.3的可能取值为0，1，2例1设盒中有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中任取3

离散型随机变量的分布列也可以写成表格的形式分布列还可以写成矩阵形式

2.分布律离散型随机变量的分布列也可以写成表格的形式分布列还

离散型随机变量的分布列具有下列性质：

反过来还可以证明，具有性质(1)、(2)的数列必是某个离散型随机变量的分布列.3．分布列的性质

离散型随机变量的分布列具有下列性质

例2

从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令为“取出的5个数字中的最大值”．试求的分布律．从而，即可得的分布律为解的取值为5，6，7，8，9，10．并且例2从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令从而，即例3

设离散型随机变量的分布律为求解例3设离散型随机变量的分布律为求解例4设随机变量的分布律为解由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有所以

试求常数c.例4设随机变量的分布律为解由随机变量的性质，得该4、常见的离散型分布设随机变量只可能取0与1两个值,它的分布列为（2）.两点分布（1）.退化分布若随机变量取常数值C的概率为1,即则称

服从退化分布.则称

服从(0-1)分布或两点分布.记为

~B(1,p).4、常见的离散型分布设随机变量只可能取0与1两例5

“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.

则随机变量

服从(0-1)分布.其分布律为

说明两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.例5“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.（3）.均匀分布如果随机变量

的分布律为例6

抛掷骰子并记出现的点数为随机变量，则有其中

则称随机变量

服从均匀分布.（3）.均匀分布如果随机变量的分布律为例6抛掷（4）.二项分布若

的分布列为则称随机变量服从参数为n,p的二项分布。记为,其中q＝1－p.注：二项分布两点分布（4）.二项分布若的分布列为则称随机变量服从参数例7

在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数

服从B(5,0.6)的二项分布.例7在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击解设击中的次数为，则因此，例8从而，的分布列为解设击中的次数为，则因此，例8从而，的分布列为（5）.普哇松分布

若随机变量的分布列为这种分布称作参数为的普哇松分布，记作（5）.普哇松分布若随机变量的分布列为这种分

设1000辆车通过时出事故的次数为

,则可利用普哇松定理从而所求概率为解例9

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?设1000辆车通过时出事故的次数为二项分布

普哇松分布普哇松分布，

普哇松定理

设则且满足则对任意非负整数k，有二项分布

设1000辆车通过时出事故的次数为

,则可利用普哇松定理从而所求概率为解例10

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?设1000辆车通过时出事故的次数为普哇松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从普哇松分布.普哇松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,普哇松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从普哇松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水（6）.几何分布

若随机变量

的分布律为则称

服从几何分布.记例11

设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目

是一个随机变量,求

的分布律.（6）.几何分布若随机变量的分布律为则称所以

服从几何分布.

说明

几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.解所以服从几何分布.说明几何分布可作7.超几何分布

设

的分布列为

超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明这里则称服从超几何分布.7.超几何分布设的分布列为超5、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的分布列为则的分布函数为5、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的分布列为例12

设服从退化分布，即则的分布函数为例13

设服从两点分布，即求的分布函数

F(x).解例12设服从退化分布，即则的分布函数为例例14

设随机变量

的分布律为：

pk

-123解

当

x1

时，满足0２x３-1x求

的分布函数，当满足

x的

取值为

=-1,

２x３-1x例14设随机变量的分布律为：-1当时，满足x的

取值为

=-1,或

2.

同理当时，-10

123

x1当时，满足x的取值为

从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、一件地取产品.设每次抽取时,所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数

的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.备份题从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、备份题故

的分布律为解(1)所取的可能值是故的分布律为解(1)所取的可能值是(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故

的分布律为

所取的可能值是(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故的分(3)