信号时频分析-讲义

数字信号处理-信号时频分析讲义数字信号处理-信号时频分析讲义PAGEPAGE19从Fourier分析到小波分析Fourier分析所有客观存在的事物都包含着大量标志其本身所存的时间空间特征的数据，这就是该事物的信息。当人们要了解事物某方面的情况时，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，发电机组运行时的温度信号和振动信号等。对一个给定的信号或过程，如x(t)，我们可以用众多的方法来描述它，x(t)Fourier变换所得到的x(t)的频谱，即ˆ)x(t)的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。 Fourier变换和反Fourier变换作桥梁建立了信号x(t)与其频谱ˆ)之间的一对一映射关系，从时域到频域的映射关系为Fourier变换：x()x(t)edt (1-1)反过来，从频域到时域的映射关系为反 Fourier变换：1x(t)21

x()ed (1-2)Fourier 示一个复杂的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复杂现象提供了一种有效的途径，一些在时域内难以观察的现象和规律，在频域内往往能十分清楚地显示出来。Fourier变换和反Fourier变换属于整体或全局变换，即只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频域表示得到信号的时域表示。也就是说频谱ˆ)的任一频点值都是由时间过程x(t)(-)上的贡献所决定；反之，过程x(t)在某一时刻的状态也是由其频谱ˆ)(-,)上的贡献所决定。也就是说，x(t)在任何时刻的微数字信号处理-信号时频分析讲义数字信号处理-信号时频分析讲义PAGEPAGE23小变化都会牵动整个频谱，而任何有限频段上的信息都不足确定任意小时间范围内的过程x(tFourierˆ)x(t)中各频率分量的振幅和相位，而无法表现信号各频率分量随时间变换的关系。t/s t/sx1(t)

图2.1 信号x1(t)和x2(t)

x2(t)2.1中的两个信号x1(t)、x2(t)可很好地说明Fourier变换的局限性，它们的时域表示如下：1x(t)sin(6t)0≤t≤4s (1-3)12sin(6t)sin(12t) 0t2sx2(t)

(1-4)sin(12 )2sin(18t) 2t4s这两个信号都是由三种频率分量组成，但它们的持续过程是不一样的在x1(t)中，三种分量一直存在；而在 x2(t)中，只有一个分量一直存在，另两个只是分别占信号整个过程的前一半和后一半。f/Hz f/Hz|1

)|2 (b)|2图2.2 信号x1(t)和x2(t)的频谱

()|22.2|ˆ1)|2|ˆ2)|2，显然这两个不同的信号有相同的频谱，这说明Fourier分析不能将这两个信号区分开。短时Fourier分析2.1基本定义为了克服Fourier变换不能同时进行时间——频率局域性分析的缺点，因发明全息照相技术而获诺贝尔奖的 Gabor于1946年提出了短时Fourier变换(STFT)。短时Fourier 变换的思想是把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时间域加窗来实现，所以也称为加窗Fourier变换，定义如下：STFT

,)x

x(t)g(t)edt (2-6)式中g(t)是分析窗函数，它在时域是紧支的，一般选用能量集中在低频处的实偶函数。随着g所确定的窗口在时间轴上移动，使分析x(tx(t在时刻为为的分量的相对含量。Gabor采用Gauss函数g (t)(式2-7)作为分析窗函数，因此用Gauss函a数作为窗函数的短时Fourier变换也称GaborGx

(,。Gauss函数是紧支的，它的Fourier变换也是GaussaGabor变换在时域和频域都具有局域化功能。

()(式2.2-8)，从而保证了g(t)a

12a

et4a (2-7)a()ea2a

(2-8)t/s rad/sga

(t) (b)a

()图2.3 Gauss函数ga

(t)及其Fourier变换gˆa

()可以证明，对于Gabor变换，式2-9是成立的G

,)dˆ) (2-9)这说明信号x(t的Gabor变换按窗口宽度精确地分解了x(t)的频谱，提取了它的局部频谱信息，当x(t)的完整的Fourier变换，因此没有损失x(t)在频域上的任何信息。Fourier变换是能量守恒变换，对于任何窗函数下式都成立|xt)|2dt 1

|STFT,)|2x

(2-10)在归一化条件下，即换公式如下

|x(t|2dt＝1Fourier变换是可逆的，其逆变x(t) 12

STFT,)g(t)e(2-11)x这里用短时Fourier变换对上节中的信号x1(t)x2(t)2.412H/f612H/f60t/s40H/f200图2.4 信号x1(t)的Gabor变换(窗口长度为40H/f200t/s图2.5 信号x2(t)的Gabor变换(窗口长度为1/8的信号长度)通过图2.4和图2.5可以很容易地辨识出信号x1(t)和x2(t)它们各个率分量的持续时间也可轻易地知道，如对 x1(t)，它的三个频率成份就一直存在，而x2(t)占据了信号整个过程的前一半和后一半。2.2.2Fourier变换的时频分辨率短时Fourier变换是一种时频变换，从上面的例子可以看出，它可以便地分析非平稳信号，现在很自然会产生这么一个问题，是不是窗口越小越好呢？先看两个极端的例子。当窗口函数选择为 )时，这时STFT

,)x)ej (2-12)x信号的STFT变成了信号x(t)，它保持了信号的所有时间特征，有完美的时域分辨率，却无任何频域分辨率。另外，当取无限宽的窗函数时，即g(t)=1时，此时的短时Fourier变换退化成一般的Fourier变换，这时STFT

,)ˆ() (2-13)x信号的STFT变成了信号ˆ)分辨率。为了分析Fourier变换的时频局部化特性，引入相空间的概念。所谓一个相空间是指以“时间”为横坐标，以“频率”为纵坐标的欧氏空间，而相空间中的有限区域被称为窗口。相空间的作用是用来刻画一定的物理状态，因此它具有很强的工程背景。从数学上来说，如果函数g(t(R，且tg(tL2(Rg(t被称为窗口函数，相空间的点(t, )0 0 t

1

t|g(t)|2dt0 g(t)2 0 1

(2-14)

ˆ)

|ˆ)|2被称为窗函数gt)ˆ)为窗函数gt)Fourier变换(下同)。定义： g

1

(t

1/2)2g(t)2dt g(t)2 0 1 1/

(2-15)ˆ )2|ˆ)|2 ˆ)2 0 数字信号处理-信号时频分析讲义数字信号处理-信号时频分析讲义PAGEPAGE25为窗函数g(t)的时宽和频宽。相空间中以(t, )为中心，以长为2g，宽0 0为的平行于坐标轴的矩形称为由g(t)所确定的时频窗口。若g越小则说明g(t)在时域上的局部化程度越高，当用这么一个窗进行短时 Fourier变换时，将取得较好的时域分辨率；同样，若 越小，则说明g(t)在频域上的局部化程度越高，用于短时 Fourier 变换时，将取得较好的频域分辨率。可以证明≥1/2 (2-16)这就是Heisenberg测不准原理在时频变换中的表现，它表明g和存在一定的制约关系，两者不可能同时都任意小。当且仅当g(t)取Gauss(2.2-16)中等号才成立。从物理的直观意义上讲，信号的频率必须至少在一个周期内t1/)进行测量，精确测量并认定某一时刻的频0率是多少是没有意义的。图2.6 短时Fourier变换的相空间表示2.6给出了短时Fourier变换的相空间表示。很明显窗口函数g(t)g和也随之确定。因此，对于任意给定的t0和0Fouriertog)0ˆ)]来表示，也就是说，短时Fourier变换在相空间中任何一点x0,0)给出的关于信号x(t)的信息，都是由g和这两个不确定量限定的。由于短时Fourier大小形状是固定不变的，它在时域和频域的分辨率是固定不变的，即在高频段和低频段有同样的分辨率，这在图 2.4和图2.5上有很好的表现，看出信号中的三个不同的频率成份在图上表现出了同样的带宽。为了更好g和x1和信号x2进行了分析，如图2.7所示。1240H/6H1240H/6H20f/f00图2.7 信号x1(t)和x2(t)的Gabor变换(窗口长度为1/4的信号长度)和图2.4和图2.5相比，那里的窗口宽度为1/8的信号长度，而现在的窗口用的是1/4的信号长度。可明显看出，图2.7中的频率分辨率提高了每个频率分量都在上面表现为比图 2.4和图2.5中更窄的带。而它在时域的分辨精度下降了，这通过信号 x2(t)的分析可看出。在图2.5中，两个各占信号过程一半的分量基本上以 2s点为分界，而在图2.7中，这两个分量在时间轴上却出现了交叠。通过上面的分析可知，当用短时 Fourier变换分析信号时，如果想对频分量分析取得很好的时域分辨率，就必须选择宽带的短时窗；如果想对g窄，而同时容许频域窗窗口具有自适应性，它可按上面的情形自动改变 g和的大小，高频频窗宽，时窗窄；低频时则频窗窄，时窗宽。这么一个自适应窗口的相空间特性可用图2.8表示。数字信号处理-信号时频分析讲义数字信号处理-信号时频分析讲义PAGEPAGE27频率时间时间图2.8 自适应窗的相空间表示短时Fourier变换还有一个缺点就是它的离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这也大大限制了其应用范围。连续小波变换从Fourier变换到短时Fourier变换再到对自适应窗口的需求反映了信号分析处理过程中一个共同的基本要求，这就是具有自适应窗口特性和平移功能，为了实现高效算法，要求对信号 x(t)进行变换处理的积分核应有正交基。归结起来，变窗口、平移和正交性是作为信号分析最有效的数学工具的主要条件。小波变换(WaveletTransform) 正是为了满足这个需而发展起来的。基本定义设x(t)是一有限能量函数，即x(t)L2(R)，则该函数的小波变换定义以函数族 (t)为积分核的积分变换，如下式所示a,bW(a,)x

x(t)

a

(t)dt a>0 (3-17)

a

(t)由基本小波函数(t)通过伸缩和平移产生，如下所示tb (t)a/(a,b a

) (3-18)式中a是尺度参数，b是定位参数，a1/2因子是归一化常数，用来保证变换的能量守恒，即

||

a,b

t)||2|

a,b

(t)|2

dt

|(t)|2dt (3-19)小波函数的频域表示如下

ˆ ) aeˆ() (3-20)a,ba

a

的窗口中心向||增大方向移动；当a增大时，小波函数的频宽减小，时宽增大，且 (t||减小方向移动。这说明连续小波变换的局部化是变a,b频域分辨率高，即具有“变焦”的性质，这也正是我们追求的自适应窗的性质。下面以常用的Morlet小波函数来说明。rad/srad/srad/sa=0.5图2.9 不同尺度下的a=1Morleta=2小波函数及其频谱(05)Morlet小波是最常用的复值小波，由下式给出0t)1/4(e0te2/2)et2/2 (3-21)0Fourier

0ˆ)1/4e0

0)2/2e2/2e2/2] (3-22)00当 ≥5时，e00

0，则Morlet小波函数可简化如下0(t)1/4ejtet2/2 (3-22)0数字信号处理-信号时频分析讲义数字信号处理-信号时频分析讲义PAGEPAGE29Fourier

0ˆ)1/4e)2/20

(3-23)图2.9给出了不同尺度参数a下的Morlet小波函数及其频谱，可以出，当a增大时，小波函数被延展，对应的 Fourier变换缩小，频域窗口中心减小，反之亦然。另外，可以看出 Morlet小波函数的频谱具有带通的特征，事实上，所有满足下面条件的小波函数的频谱都具有这样的性质。小波(t)的选择不是唯一的，很多函数可用来作为小波基函数，但也不是任意的，它的选择应该满足以下条件：函数的速降特性，以便获得时域局域化。t)dt0，甚至t)的高阶矩也应该为零，即tt)dt0 k=0,1,…N-1 (3-24)我们称满足这项要求的小波函数具有k阶消失矩，它可以消除信号x(t)的多项式展开中tk(k<N)各项在小波变换中的贡献，以便突出信号的高阶起伏和高阶导数中可能存在的奇点，因此小波变换能突出信号的高阶变化。均值为零的条件也称小波容许条件，即C

|ˆ)|2d

(3-25) || 式ˆ)t)ejtdt，这个条件使函数t)的波形必定具有振荡性，并且随着k的增大，(t)的振荡性会越来越强。从小波变换的定义可看出，小波变换是一线性变换，它的物理图案就是用一族频率不同的振荡函数作为窗口函数 a,b(t)对信号x(t)进行扫描和平移，其中a为改变振荡频率的伸缩参数，b为平移参数。这时小波变在某种意义上类似于短时 Fourier 变换，但不同的是，小波变换的时域和频域分辨率与频率有关。在高频段，小波变换能达到高时域分辨率，而频域分辨率比较差，对低频段则刚好相反。而短时 Fourier 变换在所有频的时域和频域分辨率都是不变的。对于所有的x(t)(tL2(R，x(t)的连续小波变换的逆变换可由下式给出x(t)

1a

(a,

(t)dadb (3-26)C x

a,b利用Parseval公式和Fourier变换的相似性，很容易证明上述逆变换公式。这说明信号x(t)的小波变换并没有损失任何信息，变换是守恒的，因而下式成立|xt)|2dt

1

a2da|W(a,)|

db (3-27)2.3

C

x我们同样可以通过相空间来分析小波变换的分辨率，定义相 空间的点(t0

a

,

a

a

(t)的中心。 t0 a,b

t| t)|2dt a,b| (t)|2dta,b

(3-28)

| 0

a,b

()|2da,b定义

|0

a,b

()|2

1/2

(tt

)2|

(t)

dt a,b

a,b

a,b

(3-29)ˆ

)2

()|2

d1/2 a,b

a,b

a,b

a

(t)的时宽和频宽。不难证明下面各式成立t0 at0 1a,b 1,01

b (3-30)0a,b

a

1,

(3-31)a,b

a

1,0

(3-32)由(3-32)和(3-33)还可推出

ˆ

a,b

1a

1,0

(3-33)a,bˆa,b,0ˆ,0常数 (3-34)数字信号处理-信号时频分析讲义数字信号处理-信号时频分析讲义PAGEPAGE31

a

(t

a,b

(ˆ

a

就是它BW2

a

。由上述公式可看出，随着a的增大，0 减小，这表明带通的中心向低频分量偏移，这时小波变换分析的是信ˆa,b号的低频分量，而此时ˆ

a

相应减小，

a,b

相应增大，因此在低频段，小波变换可达到较高的频率分辨率和较低的时域分辨率，反之亦然。这正是我们所需要的图2.8所示的自适应窗的特点。另外，由式(3-34)可知，在小波函数的相空间中，即使每个分辨基元的宽度 (确定了时域分辨率)和度(确定了频域分辨率)在各处不一样，但它的面积是一常数，这也正是Heisenberg 测不准原理在小波变换中的体现。再看看反映小波函数滤波特性的品质因子Q，由(2.3-31)和(2.3-33)还可推出中心频率Q ＝

0a,b

01,0

常数 (3-35)带宽

a,b

1,0Q为常数说明小波变换相当于一个恒Q的带通滤波器，可用图2.10来表示Fourier变换的滤波特性可用来表示。ω0ω2 ω4 ω8 ω图2.10 小波变换的滤波特性ω0ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω图2.11 短时Fourier变换的滤波特性2.12则给出了小波变换的相空间表示。图2.12 小波变换的相空间表示这里用小波变换对上节中的信号 x1(t)和x2(t)进行了分析，如图2.13所示的变换结果。t/s t/s图2.13 信号x1(t)和x2(t)的小波变换(Morlet小波06)为了对比，这里进行了尺度和中心频率之间的转换(以后的所有有关小波变换的图如未经标注，都默认经过此转换)，对于任一小波，它的频谱都具有带通性质，因此这样的变换是可行的，变换公式为0a,b

01,0

/a (3-35)可以看出，小波变换和短时Fourier小波变换对高频分量的频域分辨率没有在低频的高，很明显频率越高的分量在小波变换图上对应着越宽的频带。另外，从信号 x2(t)的小波变换也看出，小波变换对低频分量的时域分辨率没有对高频分量的高，很明显，本应只是占据0～2s的那个分量在小波变换图上直到近 3s处还出现，而据2～4s的分量在小波变换图上只是延伸到了将近 1.8s处。值得注意的是小波变换存在边界扭曲现象，上面的小波变换虽然采取数字信号处理-信号时频分析讲义数字信号处理-信号时频分析讲义PAGEPAGE35了一些措施（对信号两端进行了对称拓展），矩形窗进行截断，所以在卷积时矩形窗外的部分没有值 (一般取零值卷积这与实际情况不符合，因此就带来了误差。为了解决边界扭曲问题，在进行小波变换之前，需要将信号扩展。对于不同的信号，可能会用到不同的方法来解决边界问题。2.3.3确定最大和最小尺度参数用连续小波变换分析信号x(t)时取小的尺度参数时分析的是高频率成份，但为了分析更高的频率，尺度参数 a的取值是否要取得非常小呢？应地，是否可用非常大的尺度参数来分析信号中的超低频率成份呢？事实上尺度参数的选择范围不是任意的，为了节约计算量，也为了消除小波变换结果中的无用信息，尺度参数的选择应该遵守一些原则。以Morlet小波为例，它的频谱具有带通特性，当尺度参数为 a时，它的中心频率为a0

/a，通过公式(2.3-23)不难得出它的半功率带宽为2ln2BWaa

(3-36)因此，在尺度a下，小波函数频带的上下截止频率分别为 H

/a

ln2 (3-37)a L

/aln2 (3-38)a如果信号的采样间隔是Ts，则它的采用频率为fs=1/Ts，根据Shannon采样定理，采样频率fs必须高于信号x(t)的最高频率的两倍，因此2fs即

Ts

≥H

2(0

/a

ln2) (3-39)alna≥ 0 s

( 3-40)这就确定了尺度参数的最小取值 amin计算比amin还小的尺度参数下的小波变换将没有任何意义。在实际计算中也可以根据信号的截止频率 fc

(2f≤cfs)来确定最小尺度参数a

min

，这时

ln2amin

0 2f

( 3-41)最大的尺度参数可以通过小波函数

a

c(t)的时宽来确定，为了保证小波变换具有一定的时域分辨率，考虑到 身的99.9%，因此一般要求

a

(t|的幅值在3

a

之处将降到本对Morlet小波来说，就是

3 ≤/2a,ba≤信号长度/6 (3-42)这就确定了尺度参数的最大取值 a 。max从上面的分析可知，信号的采样频率或截止频率决定了最小尺度参数a ，即最大分析频率；而信