信号与线性系统总温习公式定理

公式定理信号与线性系统总温习信号分析一、信号的时域分析1、常见信号①单位冲激函数：(t

f(t)f(k)概念：

(t)dt(t)0

t0抽样性：f(t)(t)f(0)(t)fdfdfdf)

②单位阶跃函数：

t0概念：

(t)

1 t00阶跃与冲激的关系：(t)

d(t) dt(t)t )(t)③斜变函数：斜变与阶跃的关系：(t)R(t)

dR(tdtt )d

(t)④指数函数：e t⑤门函数：G

(t)0cost00⑦正弦函数：sin t0(t)T⑧冲激序列：2、信号的运算：

(tnT)nf(t)f1

(t)f(t)f1

(t)3、信号的变换：移位反折:展缩:倍乘:4、卷积：

f(tt)0f(t)f(at)af(t)f(t)f1

(t)

f()f1

(t)df(k)f1

(k)

i

f(i)f1

(ki)1 1 2 2 1 f(ttf(tt)f(ttt1 1 2 2 1 微积分特性：f(t)f1

(t[t

f)d]f1

(t)df1(t)

f)ddt 2二、信号的频域分析（傅立叶变换分析法）、概念： F(j)

f(t)edtf(t) 12

F()etd2、性质：设f

(t)F111

() f；2；

F2

(j)；f(t)F(j)af(t)af①线性：11 22 11 22Fjt)()0③延时：0

f(tt)F()e000④移频：

f(t)ej

F()0⑤尺度变换：

f(at)

1 aF(j )aa；

f(atb)

ejbF(j)aaaaaf(t为实偶函数，那么Fjf(tFj也为实偶函数；df(t)

(j)F(j) (j)nF(j)dnf(t⑦时域微分：dnf(tt⑧时域积分：

f)d(0)() 1 F(j)jdF(j)(jt)f(t) ( jt)n

f(t)

dnF(j)⑨频域微分：

d ；

dn⑩频域积分：

(0)(t)1jt

f(t)

F()d⑾卷积定理：

f(t)f1

F1

(j)F2

(j)f(t)f(t) 1F(j)

(j)1 2 1 21、常见信号的傅立叶变换(t)1(t)() 1jcos0

t[(0

)()]0sin0

tj[(0

)()]0e(t) 1jG(t)

)

sin2 2 2sgn(t) 2jtt

2sinf(t)

t

Sa()

20 t0

2

2 (t)T

tn)

)

(

2Tn2、周期信号的频谱

n①性质：离散性，谐波性，收敛性②级数展开：f(t)

a (a00n1

cosntbn

sin)a0 a0

Acos(nt)n n2n T

1t1

f(t)cosn

A An

ejn2n T

t1Tt1

f(t)sinntdt

1cAcn 2 nA

f(t)ejntdt2 tTnT tn1

A a2a2b2 b1n T

1t1

f(t)edt

arctg nn an(n (n ③频谱：n与 之间的关系图称频谱图；nA与(n之间的关系图称为振幅频谱图；nn与(n)之间的关系图称为相位频谱图；时域频域周期离散离散周期时域有限频域无穷时域无穷频域有限1、帕色伐尔定理f(t)2dt 1F(j)2d 2、抽样定理①频带有限信号f 2f②知足关系：s m二、信号的复频域分析（拉普拉斯变换分析法）1、概念：F(s)01

f(t)estdtjf(t)

2j

F(s)estds3、性质：①线性:

f(t)a11 1

f(t)aF2 1

aF2 2

(s)0②时移:0

f(tt)(tt)F(s)est00 00③频移:

f(t)est

F(ss)0④尺度变换:

f(at)

1 sF( )a adnf(t)⑤时域微分: dtn

snF(s)sn1f(0)sn2f(0) f(n1)(0)⑥时域积分:

t f)d1F(s) stf(t)dF(s) 1f(t)F(s)ds⑦复频域微积分:⑧初、终值定理：f()limsF(s)s0

ds ；tf(0)limsF(s)s

F(s)

s为真分式）⑨卷积定理：f

f121

(t)F1

(s)F2

(s)f(t)f(t) 1 F(s)

(s)1 2 j 1 24、常见信号的拉氏变换、收敛区(t)1，(t)1s，

(t)，

1satn，

sintsn1 ，

s22cost

ss225、反变换部份分式展开法k k kF(s) 1 2 nss1

ss2

ssnnnf(t)(k1

estk121

estk2n2

est)(t)留数法f(t)ni1

Resis

Res[F(s)est(ss)]①单根i处的留数

i1 d

i ssiRes [ F(s)est(ss)p]ipi

处的留数

i (p1)!sp1

i ssi（离散）Z域分析F(Z)

F(K)zk

K①线性线性：af(k)af(k)aF(z)aF(z)11 22②移序：单边z变换

11 22n1f(kn)znF(z)n1k0

f(k)zkf(k(kn)znF(z)双边z变换f(kn)znF(z)f(kn)znF(z)③尺度变换：

akf(k)F( )zazkf(k)zdF(z)④z域微分特性： dz⑤卷积定理：f

(k)f121

(k)F1

F2

(z)f(t)f(t) 1

F(s)1 2 j 1

2f(0)limF(z)⑥初、终值定理：f()lim(z1)F(z)z13、常见序列的Z变换

z(k)1 ，

(k) zz1k z k zz， (z1)21、反Z变换长除法部份分式法F(z) B B B B 0z z

z1

z2

znBz Bz BzF(z)B 1 2 n0 z1

z2

znf(k)B(k)(BkBkBk)(k)0 11 2 2 n n留数法f(k)i1

Resiz

Res[F(z)zk(zz)]①单根i处的留数

i1 d

i zzip

处的留数

Resi

[(p1)!zp1

F(z)zk(zzi

)p

zzi系统分析卷积+三大变换（Z域1、描述：持续系统微分方程ee(t)r(t)h(t)离散系统差分方程e(k)、模拟框图

y(k)h(k)持续：离散：

r(t)rziy(k)yzi

)rzs)

(t)(k)zszi零输入响应zi

(t) y、zi、

(k)特点方程：nc

n1

n1a1

a 00(1

)(2

)(n

)0nc n1aa 0n1 1 0()()()01 2 n特点根：,1

,,n

,1

,,2 n零输入响应：r(t)czi 1

etc121

etc t2enn2eny (k)zi

kc1 2 2

ckn n代定常数C由初始条件决定：r(0),r(0)r(n1)(0) y(0),y(1)y(n1)zi zi ziccc 1 2 n(0)c 1

c22

cnnr(nc1c1c1 11 22 nnr(0)11r(0)111cr(0)1c

1 2 n 2 r(n1)(0) n1 n1 n1c1 2 n n2

1r(0) c c1111c2 n

c n1 n1 n1 r(n1)(0)n 1 2 n1AA1 (A)Aij nnzs零状态响应zs

(tyzs(k)H(p)

b pmbm 1

pb0pna

n1

pn1a1

pa0h(t)

H(S)

zsb Smbm

Sb0Sna

n1

Sn1a1

Sa0h(k)y (k)h(k)e(k)zs4、解的分解零输入响应自然响应受迫响应暂态响应稳态响应二、系统的频域分析1、频域系统函数

R (j)H(j)

zsE(j )2、系统特性

H(j)H(j)ej()幅频特性： H(j)相频特性：

()3、信号通过线性系统不产生失真的条件时域：

r(t)Ke(tt)0频域： H(j)Ke三、系统的复频域分析法1、微分方程的拉氏变换分析法利用拉氏变换的微分特性：dnf(t)dtn

f(0)ff把微分方程：变成代数方程，其进程为：dkr(t)))))))P)①kP(s)sk1r(0)sk2r(0)r(k1)(0)k

的k次多项式dle(t)②dtl

sl))e(l1)(0)slQ(s)lQ(s)sl1e(0)sl2e(0)e(l1)(0)0l因为e(t)e(0)e(0)el1(0)0dle(t)因此：dtl

slE(s)③把以上结果代入微分方程得：)P)

)a

P(s)asR(s)aP(s)aR(s)n

n1

1 11 0bsmE(s)bm 1

sE(s)b0

E(s)a sa(b

sb1 0

m 1 0D(s)R(s)M(s)N(s)E(s)其中：

D(s)sn

a sn1n1

a1

sa0N(s)bm

smb1

sb0M(s)Pn

(s)a

n1

Pn1

aP1 1

(s)R(s)N(s)

E(s)

M(s)R

(s)D(s) D(s) zs zi可求得全响应： r(t)rzi

)rzs

(t)2、电路S域模型等效法……3、系统函数与系统的稳固性H(s)

bsmbm 1

sb0

smbb m b

sb0sn

n1

sn1

a1

sa0

(s1

)(s2

)(s)n,假设极点1

s平面的左半平面，那么