基本不等式优质课课件

1.熟练掌握基本不等式并会证明.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.问题导学题型探究归纳总结学习目标第1页/共29页1.熟练掌握基本不等式并会证明.问题导学题型探究归纳总结学习

该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？问题导学1：第2页/共29页该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标2ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和

S’

=＿＿３、S与S’有怎样的不等关系？S>S′那么它们有相等的情况吗？>(a≠b)第3页/共29页ab1、正方形ABCD的面积２、四个直角三角形的３、S与S’3ADBCEFGHba猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝第4页/共29页ADBCEFGHba猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们4思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）第5页/共29页思考：你能给出不等式的证明吗？证5重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立适用范围：a,b∈R第6页/共29页重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有适用范围：a,b6替换后得到：即：即：问题一第7页/共29页替换后得到：即：即：问题一第7页/共29页7证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二第8页/共29页证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,8若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式定义适用范围：a>0,b>0第9页/共29页若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取9

观察下图，你能得到不等式的几何解释吗？问题导学2：第10页/共29页观察下图，你能得到不等式的几何解释吗？问题导学2：第1010当且仅当a=b时取等号.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.第11页/共29页当且仅当a=b时取等号.基本不等式在数学中，我们把11适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0比较重要不等式和基本不等式：第12页/共29页适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均12题型一基本不等式与最值二、题型探究

一正二定三相等第13页/共29页题型一基本不等式与最值二、题型探究 二定凑项：使和成定值一正三相等第14页/共29页二定一正三相等第14页/共29页解∵x>2，∴x－2>0，二定凑项：使积成定值一正三相等第15页/共29页解∵x>2，∴x－2>0，二定一正三相等第15页/共29页即x＝4，y＝12时，上式取等号.故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.“1”的代换第16页/共29页即x＝4，y＝12时，上式取等号.“1”的代换第16页/共2反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.口诀：一正、二定、三相等第17页/共29页反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正∴f(x)的最小值为12.第18页/共29页∴f(x)的最小值为12.第18页/共29页解∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)的最大值为－1.第19页/共29页解∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)的最大值为－1.第19题型二基本不等式在实际问题中的应用例2

(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y)m.等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.第20页/共29页题型二基本不等式在实际问题中的应用等号当且仅当x＝y时成立(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.第21页/共29页(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.反思与感悟第22页/共29页利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关练习2

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为xm，又设水池总造价为y元，根据题意，答水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低，最低总造价为297600元.第23页/共29页练习2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800归纳总结基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是

；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为

；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为

；(3)等号成立的条件是否满足.正数定值定值即：已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14第24页/共29页归纳总结基本不等式求最值的条件：正数定值定值即：已知x,大家来找茬：错在哪里？.2原式有最小值\12×xxx,21:解=³+x;,0)1(的最值求已知<1+xxx不满足“一正”第25页/共29页大家来找茬：错在哪里？.2原式有最小值\12×xxx,21:25不满足“二定”第26页/共29页不满足“二定”第26页/共29页26不满足“三相等”第27页/共29页不满足“三相等”第27页/共29页27三、归纳总结：已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个不等式口诀：一正、二定、三相等第28页/共29页三、归纳总结：已知x,y都是正数,P,S是常数.28感谢您的欣赏！第29页/共29页感谢您的欣赏！第29页/共29页291.熟练掌握基本不等式并会证明.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.问题导学题型探究归纳总结学习目标第1页/共29页1.熟练掌握基本不等式并会证明.问题导学题型探究归纳总结学习

该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？问题导学1：第2页/共29页该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标31ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和

S’

=＿＿３、S与S’有怎样的不等关系？S>S′那么它们有相等的情况吗？>(a≠b)第3页/共29页ab1、正方形ABCD的面积２、四个直角三角形的３、S与S’32ADBCEFGHba猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝第4页/共29页ADBCEFGHba猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们33思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）第5页/共29页思考：你能给出不等式的证明吗？证34重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立适用范围：a,b∈R第6页/共29页重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有适用范围：a,b35替换后得到：即：即：问题一第7页/共29页替换后得到：即：即：问题一第7页/共29页36证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二第8页/共29页证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,37若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式定义适用范围：a>0,b>0第9页/共29页若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取38

观察下图，你能得到不等式的几何解释吗？问题导学2：第10页/共29页观察下图，你能得到不等式的几何解释吗？问题导学2：第1039当且仅当a=b时取等号.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.第11页/共29页当且仅当a=b时取等号.基本不等式在数学中，我们把40适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0比较重要不等式和基本不等式：第12页/共29页适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均41题型一基本不等式与最值二、题型探究

一正二定三相等第13页/共29页题型一基本不等式与最值二、题型探究 二定凑项：使和成定值一正三相等第14页/共29页二定一正三相等第14页/共29页解∵x>2，∴x－2>0，二定凑项：使积成定值一正三相等第15页/共29页解∵x>2，∴x－2>0，二定一正三相等第15页/共29页即x＝4，y＝12时，上式取等号.故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.“1”的代换第16页/共29页即x＝4，y＝12时，上式取等号.“1”的代换第16页/共2反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.口诀：一正、二定、三相等第17页/共29页反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正∴f(x)的最小值为12.第18页/共29页∴f(x)的最小值为12.第18页/共29页解∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)的最大值为－1.第19页/共29页解∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)的最大值为－1.第19题型二基本不等式在实际问题中的应用例2

(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y)m.等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.第20页/共29页题型二基本不等式在实际问题中的应用等号当且仅当x＝y时成立(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.第21页/共29页(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.反思与感悟第22页/共29页利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关练习2

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为xm，又设水池总造价为y元，根据题意，答水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低，最低总造价为297600元.第23页/共29页练习2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800归纳总结基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是

；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为

；求和x＋y的最小值时，应看积