数学建模分析方法过程

数学建模基本分析方法和过程第1页，共34页。引言

在实践中，象“航海问题”应用题那样能够直接用数学方法解决实际问题的情形很少，实际问题很少直接用数学语言出现在我们面前，并且如何用数学语言描述实际问题也是很难的。故应用数学知识解决实际问题的第一步必须要面对实际问题中看起来杂乱无章的现象，并从中抽象出恰当的数学关系，也就是组建这个问题的数学模型，这个过程就是数学建模。第2页，共34页。

数学建模的组建过程不仅要进行演绎推理而且还要对复杂的现实进行总结、归纳和提炼的工作，即是一个归纳总结和演绎推理相结合的过程。因此建模过程是一个对现实问题进行去粗取进精、去伪存真的归纳加工过程。但究竟保留什么因素，忽略什么因素并没有一定的范式。这要根据建模者对实际问题的理解、研究的目的及数学背景来完成，是一个创造性的过程。而且不同的建模者针对同一个问题完全可以得到不同的数学模型。第3页，共34页。机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律.将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以后我们建模主要指机理分析.二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.数学建模的基本方法第4页，共34页。数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用第5页，共34页。模型准备想知道什么是要探究的问题？通常是非常困难的，因为在现实中，没有人会只是简单地给你一个有待解决的数学问题。需要你从大量的数据或描述性语言中搜索以及识别所研究问题的某些特定的信息。所以在建模开始，查阅相关的资料，了解有关问题的背景知识是非常有必要的，另外明确所识别问题（把需要解决的问题转化为数学上可操作的问题）是什么，以及和所识别出的问题有关的所有因素有哪些，哪些是因变的，哪些是自变的，哪些是常量，尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的数学问题。

数学建模过程详论第6页，共34页。要做的事情了解问题的实际背景，明确建模目标，识别问题；

必要时要收集足够的数据，并且要保证数据的准确性，和全面性。目的是一通过数据分析为假设提供依据；二为模型的参数进行估计，三检验模型的实际可行性或和实际相符程度。

把问题中的各层关系条理化，理清关系层间的顺序和嵌套，必要时每一个子层有可能构造一个子模型；弄清对象特征和所有涉及到的变量及其性质（确定型，随机型），根据变量的类型恰当选择数学工具；确定建模的方法，是建模（建模方法），还是计算机模拟。

第7页，共34页。模型假设一般来说，不能指望在一个合用的数学模型中涵盖抓住影响问题识别的所有因素。所以我们这时的任务是：首先根据对象特征和建模目的，通过减少所考虑因素的数目来进行简化，即：抓住主要因素，舍弃次要因素。其次尽可能地使余下的因素常量化，因素之间满足相对简单的关系，达到降低问题的复杂性的目的，使问题更容易数学化，方便后面模型的建立。总之，用精确的语言对问题和变量进行必要的、合理的假设，可以说是建模的关键一步，因为假设是建立模型的基础和依据。不同的简化假设会得到不同的模型。假设不能过简，也不能过繁。

第8页，共34页。依据：来自对问题内在规律的认识。善于运用与问题相关的物理、化学、生物或经济等方面的知识；

来自对数据和现象的分析。

类型：使问题简化，尽量将因素常量化，使问题线性化、均匀化，善于辨别问题的主次，果断抓住主要因素，舍弃次要因素；

使之满足建模所用数学方法必需的前提条件。假设一定要有合理的解释，或有根据。第9页，共34页。模型建立基于前期工作，已经理清了问题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系。建立模型就是首先明确模型中需要考虑的因素，以变量、参数形式表示；其次根据所作的假设，分析对象的因果关系，利用对象的内在规律，运用适当的数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中的各个量（变量和常量）之间的关系，构造相应的数学结构，最后再把这些形式合理整合成一个统一的数学形式。１对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理表达该方面的因素间的关系。２有利于模型的整合及模型的求解。原则3尽量采用简单的数学工具。

如果得到的模型是一个不会求解或不会解释的难于处理的模型，需要回到假设步骤，重新考虑假设，甚至重新分析问题。第10页，共34页。模型设计与数学方法的选择优化模型：数学竞赛中有很多题目需要建立此类模型。其主要特点是根据已知信息对某一目标进行优化，需要进行决策。首先要明确优化目标并数学化，其次弄清与优化目标有关的所有因素，并用数学方式进行描述，然后选择合适的方法如线性规划、动态规划或网络图、层次分析法等建立模型。第11页，共34页。方程模型：当所研究对象的某些特性与时间的变化有关并且存在着确定的函数关系，通常需要建立动态模型，最常见的是利用平衡理论根据问题本身的机理或类比其它对象的规律建立微分(时间连续)或差分(离散时间点)方程。此类模型通常需要求其解来说明问题，例如：分析特征随时间变化的规律、预测其未来性态和对其控制等。主要利用所给数据确定参数求其解析解，如果解析解无法得到，则研究其稳定性和数值解法。第12页，共34页。插值与拟合模型：根据已有数据进行插值(经过数据点)或拟合(不必经过数据点)以获取关于某一事物的一般描述。例如飞机机翼的设计、国土面积的测量、海底形状的描述等需要建立插值模型。多使用样条插值等数学方法借助Matlab工具进行建模；需要建立具有因果关系的变量之间的函数关系时要建立拟合模型。首先根据机理或凭经验（直方图等）确定函数形式，再用最小二乘法进行参数估计；若给出的是经验模型，还需进行残差分析等统计分析的方法比较模型的优劣，以期得到拟合好的模型。第13页，共34页。统计分析模型：当研究对象的各因素之间的关系是相关关系，即：变量之间有一定的联系，但很难使用一种精确的方法表示出来。此时统计学中的回归分析、相关分析和判断分析等方法是建立此类数学模型的重要数学工具。例如在AMCM93A题中可通过对各种因素（如温度、原料、组分等）与堆肥速度的关系作相关分析，进而选取那些显著相关性的因素建立模型。建立此类模型的关键是大量数据的收集和处理、分析，必要时要使用Matlab统计工具箱。第14页，共34页。模型求解模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过程。哥尼斯堡七桥问题椅子放稳问题第15页，共34页。2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是，不借助于计算机，求解工作一般无法完成，建模中较好的软件包有：Mathematica;Matlab;SAS。结合模型实例，我们将介绍利用软件解决下列问题求解的方法：最小二乘拟合的参数估计方法；代数方程（组）求解的方法；微分方程求解析、数值解方法；规划求解方法。第16页，共34页。3）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太多且不确定性太大，数学模型自身就是一个计算机模拟过程。(例如水房、超市收银台前的排队模型的建立)第17页，共34页。4）有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过程，并不能明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而是采用一系列数学处理得出了问题的结果。对这类问题，自然不需要单独列出模型求解这一步。（名额分配、公正选举模型）第18页，共34页。5）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。有些问题的数学模型，如图论中的NPC问题、多目标非线性规划模型，现有数学理论并没有给出完善的求解方法，这时需要我们根据实际问题的属性和要求，适当地简化模型，例如非线性规划简化为线性等，得到适应于问题要求的参考解。第19页，共34页。模型的数学上的分析1、稳定性分析：模型主要是依据已有的数据和其它信息建立，它的价值在于能够从已知信息预测未知的东西。因此一个好的数学模型的结果对所依赖的数据有较好的稳定性，这也是其广泛适用性的保证。（钻井布局问题；诸多的物理定律。）

模型分析第20页，共34页。2、灵敏度分析：在建模过程中，需要考虑各种与所研究对象有关的因素。有些因素是以变量参数的形式出现的，模型对这些参数的敏感性反映了各种因素影响模型的显著程度；有些因素在进行假设时认为是常量，但不能保证其完全符合实际，模型对这些参数进行灵敏度分析有助于模型的改进和应用。对模型进行灵敏度分析对于一个模型，特别是优化模型，是否真的有用，用的效果如何是很重要的。（我们将在“生猪出售的时机”和“奶制品的生产和销售”两个模型实例中着重介绍。）第21页，共34页。3、统计检验：作为对实际问题的一个近似刻画，数学模型所预测的结果和实际数据总存在或多或少的偏差，这种偏差是由于模型的不完善造成的？还是由于试验观测？这就需要对偏差的分布进行统计分析。若误差服从均值为0，方差很小的正态分布，表明模型很好地反映了实际情况，否则，需进一步修正模型。第22页，共34页。4：误差分析：数据在测量中不可避免地存在由于仪器或人为因素而产生的误差。由于误差的传递，依赖于原始数据的模型的结果必然有一定的不准确度。因此，估计误差的范围是必要的。一般采用的计算公式是：结果的标准差是每个观测值的标准差的平方和的算术平方根。第23页，共34页。5、数值模拟检验：在实际问题中可利用的数据很难收集得到时，可利用数值检验的方法进行参数设定，进而分析模型的合理性，和有效性。（加油站价格竞争）第24页，共34页。模型检验到此，从数学角度模型建好了。但我们建模的目的是在实际中使用，所以在使用之前我们还需对模型进行检验。首先要回答下面的提问：

1：该模型是否解释了第一步识别的问题？2：是否偏离了建模的关键问题？3：在实际意义下是否有用（可操作）？4：是否具有普遍意义？第25页，共34页。例如可进行预测性检验.即借用所建模型,用历史预测现实,以验证模型的准确度.例如：人口模型、传染病传播模型，作战模型等可用历史数据去验证模型是否和实际吻合；而排队系统的设计问题应该用实际数据或计算机模拟的办法验证，一：实际可行性检验：模型检验把数学上分析的结果回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，或运行模型，检验模型的合理性和适应性，即进行实际可行性检验。第26页，共34页。二：新旧模型的对比：

如果模型的检验结果不符合或部分不符合实际，问题往往出在所识别的问题或假设上，应该重新分析各因素之间的关系，修改补充假设，重新建立模型。经过不断反复、完善，直到检验结果获得某种程度上的满意。第27页，共34页。1、模型应用的现实条件2、模型应用的理论条件一、模型分析和应用二、模型评价和推广

1、模型假设对模型的影响分析2、模型改进的方向和强度预测3、模型改进的允许环境模型应用与评价模型不是呆在档案柜里的，要用决策者或用户都能懂的语言和术语来解释，并让他们都能够认可，并能够在实际中真正使用，这样我们建立的模型才有价值。这是模型建立的最终目的。我们的模型是根据第1步识别的问题和第2步做的假设得到的。需要问：原先的识别的问题是否有变化？先前忽略的因素是否变得重要？如果变化，就需对模型进行改进，使其能更广泛的使用。第28页，共34页。整体上说经过简化和改进两个相反的过程，我们建立了模型。整个过程构建了建模的艺术：模型简化模型改进限制问题的识别扩展问题忽略一些变量考虑额外的变量若干变量合并的效果仔细考虑每一个变量令某些变量为常数允许变量中的变化假设简单的（线性）关系考虑非线性关系融入更多的假设减少假设的数量建模艺术：根据需要简化或改进模型第29页，共34页。一个完整的建模过程基本构成要素用适当的数学方法对实际问题进行描述；2.采用各种数学和计算机手段求解模型；3.从实际的角度分析模型的结果。第30页，共34页。建立一个好的数学模型应注意的事项（1）对所给问题有较全面的考虑在一个实际问题中往往有很多因素同时对所研究的对象发生作用。我们进行数学描述之前应该全面地对这些因素加以考虑：首先列举各种因素；其次选取主因素计入模型；最后考虑其它因素的影响，对模型进行修正。（2）创造性地改造已有模型或自创新的模型在建模时可以自创新的模型，更实际的方法是改进现有的模型或利用成熟的数学方法。但评价一个数学模型的优劣往往要看模型的创造性，主要体现在对细节上，如数据不规则性的处理、NPC问题的简化后是否可找到可行的合理的计算方法等方面。第31页，共34页。（3）善于在简单与复杂、精确与普适等相反特征之间取得调和数学模型应当是对实际问题的本质刻画。如果过于简单就不能抓住本质，尽管此时模型简单易懂；相反，如果不分主次因素一概计入模型，则不仅显得庞杂，而且掩盖问题本质。例如对于规划模型可设计可调参数使模型具有较广的适应度，但另一面参数过多，会增加计算的难度和模型的精确度。相反的极端之间的调和和权衡依赖于对问题本质的深刻理解。（4）注重结果分析，考虑其在实际中的合理性（5）善于对模型进行检验（6）尽量使用简单的数学工具建模通常不是一次成功，往往需要反复改进假设条件或建模方法。可以先建立简单、基本模型，再做改进和修正。

第32页，共34页。研究课题1：一对夫妇应该抵押贷款买房子还是租房子？直观上说似乎存在一个抵押费用的价位问题，高于这个价格