空间向量与立体几

立体几何的向量方法一、两个重要的向量1、直线的方向向量：向量a//直线1,则a为直线的方向向量。—F—F在解析几何中，常用的直线方向向量为：a=(1,k),a=(cosa,sina)(a为直线的倾斜角)2、平面的法向量：—fc-—*■定义：直线Z］平面8，取直线/的方向向量a，则向量a为平面8的法向量。(如果ala,那么向量泛叫做平面a的法向量)平面a的法向量共有两大类(从方向上分)，不唯一。求平面法向量的方法：L—八In•n=0ni，n2是平面a内不共线的两个向量，设n=(x,y,z)，由］j./=q列出等式，恰当地选取满足条I2件的x,y,z中的一组值，即可得到平面a的一个法向量。例1：已知平面a经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)，求平面a的一个法向量。例2：已知棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，如图建立空间直角坐标系，求平面AD4］的一个法向量；求平面BDD］B］的一个法向量;求平面ABC】q的一个法向量;求平面A】Dq的一个法向量；求二面角£-BD】-C的大小。a仁aaa仁aa〃p°u〃v=u=kv.二、平面法向量在证明线面位置关系的应用TOC\o"1-5"\h\z1、证明线面平行：在图2-9中，m向是平面a的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（m・a=0）。1〃a=a1u°a-"=0；♦.—h-h-tom•a=0Qm-1a,-rna//a—a—a2、证明面面平行：m向是平面a的法向量，铃是平面p的法向量，证明两平面的法向量共线（m=*n）。m两平面的法向量垂直（mm两平面的法向量垂直（mn=0）1〃m°a〃b°a=kb；1〃a°a1u°a-u=0；a〃p。卫〃du=kv.3、证明线面垂直：m向是平面a的法向量，a是直线a的方向向量，证明平而的法向量与直线所在向量a共线（m=a）。aj_p°u_Lv°u-v=0.4、证明面面垂直：m是平面a的法向量，n是平面P的法向量，证明总结：1、平行设直线I,m的方向向量分别为a0,平面a,p的法向量分别为u,v，则线线平行线面平行面面平行2、垂直设直线I,m的方向向量分别为a,b，平面a,p的法向量分别为u,v，则线线垂直1_jm°a_jb=a-b=0；线面垂直1_ja°a〃uda=ku；./-\AB^n面面垂直aj_p°-u_jv°~u^v=0.sinO=cos・;AB，n：=；—=r一、.i1AB-n三、立体几何中的向量方法一一求空间角--1、线线角设直线I,m的方向向量分别为a,b2、线面角（0<0<y）A」角为：J":n是平面a的法向量，AB是平面a的一条斜线，Aea，则AB与平面a所成的则直线1,m所成的角为0（0湘2、线面角（0<0<y）A」角为：J":n是平面a的法向量，AB是平面a的一条斜线，Aea，则AB与平面a所成的3、面面角（0<o<k）:设向量m,o=<m,另〉,cos0=亦nImI•I彳Iifmln；0=k-<m,n〉，coS9=cos"—<m,n>)=—imi•i11四、立体几何中的向量方法一一求空间距离1、点到平面的距离:点B为平面a外一点，点A为平面a内任一点，:I加11平面的法向量为n，则点P到平面a的距离公式为d=n’1112、直线与平面间的距离、平面与平面间的距离可以转化为点到平面距离五、用空间向量解决立体几何的“三步曲”（1）建立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件相关几何知识的综合运用），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题（向量运算）。（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）2、立体几何中，处理空间的角和距离的问题主要掌握两种方法：传统方法和向量方法.传统方法需要较高的空间想象能力，需要深刻理解角和距离的定义，灵活运用空间的平行和垂直的定理和性质；向量方法必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出如下几点：怎样建立直角坐标系及坐标系建立技巧；法向量的应用对处理角和距离的重要性；怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型；准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺点。总而言之，两种方法各有千秋，同学们在解题过程中需灵活选用。六、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在xOy面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。途径二、过该点和z轴作xOy面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。1、如图，正三棱柱ABC-A1B1C］的底边长为a,侧棱长为龙a建立适当的坐标系，⑴写出1A，B，A1B/勺坐标；⑵求AR与侧面ABBA所成的角一Zi解：（1）建系如图，则A（0，0，0）B(0，a,0)A1(0，0，二、./-3a

v2a)，C1(—项a，^xCBC1A1MA（2）解法一：在所建的坐标系中，取A1B］的中点M，于是M（0，?,j2a)，连结AM，MC21则有MC1=(—-—。,0,0)AB=(0,a,0)，AA1=(0,0⑵)，・・・MC1•AB=0，MC1•AA1=0，所以，MF面ABB1A1因此，AC卢AM所成的角就是AR与侧面ABBA所成的角・.・AC=（-—6z,-,V2^）,AM=（0,-,V2€i）,:.AC-AM，而\\AC1=^,1AM\=-a】2221412工八mAC退由cos<AC,AJ\d〉=1—,1IACIIAMI21<AC,AM>=30°1——'——*JTQ————>解法二：AC=(二碍,JIq),平面ABBA的一个法向量〃二(—1，°，°)

]ZZ1・・・AC卢侧面ABBA所成的角。的正弦为：‘in。=cos<AC「〃>-AC-n1二1=—IACIIMl21AAC与侧面ABBA所成的角为30°—>iii—2、已知斜三棱柱ABC—ABC,ABCA=90,AC=BC=2,111o点。，又知晚1AC。ii求证：ACJ_平面ABC；11求J到平面AAB的距离；1i求二面角A-AB-C的余弦值。i(I)证明如图，取A8的中点E,则DE//BC,因为BCLAC,所以DELAC,又ADI平面ABC,1q在底面上的射影恰为如的中以DE,DC,DA为轴建立空间坐标系,1则A（0,-l,0）,C（0,l,0）,B（2,l,0）,A（0,0/）,C（0,2j）,AC=（0,3,0,BA=（-2,-l,0,1111CB=（2,0,0）,由ACCB=0,知AC1CBf又BAAC,从SAC1平面CBC：

111111XXI)解由ACBA三二3+龙=0,得「=扼。1i设平面A&B的法向量为〃=(兀v,z),AA11所以L=（）,1擂），AB=（2,2,0）,1〃•必广y+屈=Q,设a,咛（^,_屈）一n-AB—2x+2y-Q\acM2J21