教育论文：分数概念对分数运算的影响

教育论文：分数概念对分数运算的影响摘要为探讨分数概念知识与运算知识对分数运算的影响，以小学六年级儿童为被试，采用数字线估计、比较大小任务考查其分数概念知识，采用整数运算任务考查其运算知识，采用包括真分数、假分数和带分数的题目考查其分数运算。结果显示：(1)比较大小的正确率与分数运算的正确率显著正相关，数字线估计偏差与分数运算正确率显著负相关，分析显示，比较大小的正确率预测分数运算的正确率。结论：分数概念理解影响分数运算。关键词分数概念知识；运算知识；分数运算分数(fraction)是我国儿童在小学阶段需掌握的知识之一。《义务教育数学课程标准(2011年版)》对分数教学内容作出了清晰的界定。儿童的分数知识不仅影响儿童数概念的发展(倪玉菁，1999),也会影响其在中学阶段数学知算十分重要。错误类型有基础知识错误、运算法则错误、结果未化简错误、李仙苹，2012)。国外研究表明，儿童常见的运算错误有独立整数错误、错误的运算操作错误、执行错误(Siegler&立整数错误、错误的运算操作错误以及执行错误等。独立整数错误指儿童将分子、分母看做分别独立的整数 (Siegler&Pyke,2013),如：计算时，犯独立整数错误的运算过程为。此错误产生的原因为儿童分数概念知识不足。分数概念知识是指“儿童对分数性质的理解，如理解分数数值的大小、理解表达同一数值的分数有无数个等” (Baileyetal.,2015)。Kieren(1980)提出分数概念具有五个含义。儿童学习整数先于分数。分数有许多性质与整分数概念知识理解不足便会产生“整数偏差”(Gabrielet导致儿童产生独立整数错误。分数概念的研究范式主要有大小比较任务为给予被试两个分数，被试对其大小关系进行判表被试分数概念水平越高。数字线估计任务包括0—1、0—0,右端为1或5,无其他标注。给予被试数值范围在0—1或0—5之内的分数，被试对其数值大小进行估计，并标在数字线上。指标为被试的绝对误差百分比(简称PAE),计算方法为标注位置数值大小-分数实际数值大小/数轴范围×100%,PAE值越小代表被试掌握的分数概念水平越高。错误的运算操作错误是指将某一种运算类型的正确的程序性知识运用到另一种运算类型中(Siegler&Pyke,2013),例如，计算时使用加法程序性知识，计算过程为。执行错误是指儿童提取正确的程序性知识后，未能正确执行它 (Siegler&Pyke,2013),其中包括整数计算错误，如计算的结果为。错误的运算操作错误产生的原因为运算符号知识不足。对运算符号的正确理解能够帮助儿童理解分数运算的含义。以为例，理解“+”含义，便理解此式子表示某一个整体的二分之一与该整体的三分之一的和为该整体的六分之五。儿童也需根据运算符号提取与运算操作相关的程序性知识。执行错误中的整数运算错误产生的原因为整数运算中占比较大，且儿童学习整数运算较早，其为分数运算的先郑伟，万莹，2014;Sun,Xin,&Huang,2019)。因此，整数运算程序性知识不足将影响分数运算。本研究将运算符号知识与整数运算程序性知识统称为要解决的常规分数运算题目的操作数，分子、分母的数值大小皆小于81。而且，低难度整数运算任务结果能够直接说明儿童是否理解运算符号代表的运算含义。因此，本研究操作数大小为10以内的整数运算任务，考察运算知识。现有研究表明，分数运算错误的原因主要为分数概念不足与运算程序错误，分数概念与分数运算显著相关 (Siegler,Thompson,&Schneider,2011;王欢，2013)。分数概念帮助儿童理解分数运算程序知识(Tian&Siegler,2016),帮助儿童对分数运算结果进行估算，从而选择正确的运算程序(Siegler,Thompson,&Schneider,2011;Baileyetal.,2015)。程序性知识可以提高儿童分与程序性知识具有相互促进的作用(Baileyetal.,2015)。通过对运算错误产生原因的分析发现，良好解决分数运算问题不仅需要分数概念知识与程序性知识，还需要运算符究通过比较大小任务、数字线估计任务、整数运算任务、分数运算任务，初步验证分数概念知识、运算符号概念知识与整数运算程序性知识对分数运算的影响。2研究方法2.1被试采用方便取样方法对天津市区某小学六年级学生进行施测，共416名被试，有效被试330名(男165名，女165名，平均年龄为11.32±0.47岁)。2.2实验材料2.2.1分数概念知识比较大小任务：测查材料选自Bailey等(2015)的比较大小任务，在原材料的基础上，增加分数、分别与的比较题目。本材料共20道题目，其中包括分数位于比较符号左边的题目与其位于比较符号右边的题目各10道。采用两点计分法，比较正确计为1分，比较错误计为0分。总分越高，分数概念水平越高。正确率越高，分数概念水平越高。测查材料选自Bailey等(2015)的0—1数字线估计任务，在原材料的基础上，删去对分数的估计题目，增加对分数的估计题目。本材料共10道题目，指标为各题目的绝对误差百分比(percentabsoluteerror),计算方法为(答案-正确答案)/数轴范围×100%,PAE越小，分数概念理解水平越高。2.2.2运算知识自编测查材料，材料中各题的操作数均为小于10的整数，包括加、减、乘、除四种运算类型题目各6道，共24道。采用两点计分法，计算正确计为1分，计算错误计为0分，总分越高，运算知识(包括运算符号概念知识与整数运算程序性知识)水平越高。正确率越高，运算知识水平越高。2.2.3分数运算自编分数运算评估材料。材料包括两个操作数均为真分数的题目10道，两个操作数均为假分数的题目6道，一个操作数为真分数、另一个操作数为整数的题目5道，一个操作数为带分数、另一个操作数为假分数的题目2道，一个操作数为带分数、另一个操作数为真分数的题目3道，共26道题目(加、减、乘、除四种运算类型题目分别为6道、7道、6道、7道)。采用两点计分法，计算正确计为1分，计算错误计为0分，总分越高，分数运算水平越高。正确率越高，分数运算水平越高。2.3实验程序给被试，作答时间为25分钟，作答时禁止使用演算稿纸和直尺等测量工具(分数运算任务部分可以使用演算稿纸)。施测时间为六年级儿童在上学期完成分数乘法与除法知识模块学习之后。3研究结果分数运算任务结果的描述性统计。结果表明被试的分数概念知识(M=19.21,SD=1.49;M=5.05%,SD=4.05%)、运算知识(M=23.84,SD=0.41)、分数运算水平(M=22.13,SD=2.80)整体较好。3.2分数概念知识、运算知识、分数运算水平结果相关分数运算任务结果的相关分析。结果为比较大小的正确率与分数运算的正确率呈显著正相关(p<0.01),数字线估计偏差与分数运算正确率呈显著负相关(p<0.05),整数运算正确率与分数运算正确率呈显著正相关(p<0.05)。表2分数概念知识、程序性知识、分数运算水平的相关注：*表示p<0.05,**表示p<0.01。3.3分数概念知识、运算知识、分数运算水平结果回归对分数概念知识、运算知识、分数运算水平进行线性回运算知识为自变量(比较大小的正确率为X1,数字线估计偏差为X2,整数运算的正确率为X3),VIF1=1.038,VIF2=1.026,VIF3=1.014,均小于10,且自变量间的相关系数均小于0.15,所以自变量间无共线性，可进行回归分析。进行回归时自变量为逐步进入。结果为，R2=0.066,调整后的R2为0.063,排除变量为数字线估计偏差(X2)与整数运算的正确率(X3),自变量为比较大小的正确率(X1),标准化系数为β1=0.257,t=4.860,p<0.01,由标准化回归系数得到的回归方程为Y=0.257X1。结果表明，与运算知识相比，分数概念知识更影响分数运算。本研究表明儿童的分数概念知识水平较高。该结果与以往研究相一致，与西方国家相比，我国儿童的分数数量表征的运算知识水平较高，说明儿童的运算符号概念知识与整数运算程序性知识较好。分数概念知识、运算知识、分数运算三者相关表明，分数概念知识水平越高，分数运算水平越高，运算知识水平越高，分数运算水平越高。儿童分数概念知识水平会影响其分知识为提高分数运算的有效方法之一(Braithwaite,Leib,2016)。关注分数数值大小有利于分数的学习(Siegler,Thompson,&Schneider,2011)。Hallett,Nunes和Bryant(2010)研究发现依赖概念知识的儿童优于依赖程序性知识的儿童。儿童运算知识水平影响其分数运算水平。原因有三方面，第一，运算符号知识可以帮助儿童更好理解分数运算步骤的意义。已有研究表明，运算符号知识影响分数加法的估算(Braithwaite,Tian,&Siegler,2018)。第二，儿童根据运算符号概念知识提取相应运算步骤知识。第三，儿童先前所学的整数知识会对分数知识产生影响2016),儿童整数的数量表征影响其对分数的数量表征(张丽，卢彩芳，杨欣荣，2014;孙玉，司继伟，黄碧娟，2016)。在分数运算过程中，儿童因为“整数偏差”产生独立整数错误序性知识对分数运算产生影响，体现在执行分数运算程序知识这一阶段，它有助于儿童对分子分母进行准确运算。分数概念知识、运算知识、分数运算的回归分析表明，与运算知识相比，分数概念知识更加影响分数运算。该产生的原因为分数概念影响儿童学习阶段后期对分数运算过程的理解。分数有很多性质，儿童若不能理解分数是分子与分母共同组成的整体便会犯独立整数错误。儿童能够通过整数运算的意义理解分数运算的意义(于正军，2016),但整数与分数的运算性质不同(Siegler&Lortie-Forgues,2015;Sun,2019),儿童若不能理解不同分母分数的计数单位是不同的，便不能理解在异分母分数加法与减法运算中，需要对各操作数进行通分之后再进行计算(王岚，2018)。而运算知识在运算过程中起到的作用是帮助儿童理解式子的运算意义，提取程序性知识，在计算过数计算错误，其并未影响运算过程对操作数变换的理解，因此，分数概念知识是更重要的。依据本研究提出的教育建议为，教师在进行分数知识点的教学时，需加强分数概念知识的教学，通过多种方法提高概念对分数运算具有预测作用。已有研究表明，分数概念知识对四种不同的分数运算类型题目(加法、减法、乘法、除法)与两种不同难度题目(一步运算、两步运算)均有预测作用(王欢，2