数值分析第3章插值法与最小二乘法

——第3最小二乘§0函 近问设yf(x)①其值是通过实验或观测得到，不知其解析表达②解析表达式很复杂，不便分析问题：能否构造一个较为简单的函数P(x)近似地表示f(x)。这就是函数近问题上述函数f(x)称为被近函数，P(x)称为近函数。§1插值1.1插值问设通过实验或测xxyf( 假设f在[a，b]上连续，{xi}[a，b]互不相同。欲求p(xi)

(i

记 y

f(x)

xa,xyfxyf( 插值问假设f在[a，b]上连续，{xi}[a，b]互不相同。欲求p(xi)

(i

记 y

f(x)

xa,注：①上述问题称为插值(1.1)称为插值条件，p(x)称为f(x)的插值函xi(i=0,1,…,n)称为插值节点，[a，b]xyfxyf( 插值问假设f在[a，b]上连续，{xi}[a，b]互不相同。欲求p(xi)

(i

记 y

f(x)

xa,注yp(x)和yf(x)值函数有各种类型，如代数多项式，三角函数，④当p(x)为多项式时，称为（代数）插值§1插值插值多项式的存在唯一设

x

xn

满足条件(1.1)，nn

(i

其系数行列式为阶范德蒙行列 V

xx xxxx xx xx xx

由克莱姆法则知方程组有唯一解，即满足(1.1)的插值多项式存在且唯一。§1插值插值多项式的存在唯一

x

xn

满足条件(1.1)，nn

(i

由克莱姆法则知方程组有唯一解，即满足(1.1)的插值多项式存在且唯一。注：①n+1个插值节点可构造n次插值多项②上述方法计算量太大且舍入误差§1插值插值基函数与Lagrange插简单情1n=1时设yif(xi)i1作直线方程y

y0

y1y0x1

(x

x010x10

y(x1

x0)

y1(x

x0)

y0(x

x01100x01100

y(x1

x)

y1(x

x令

x

x

yx y0x101 0x101

x10称L1为两点式插值或线性插0§1插值插值基函数与Lagrange插

x

x

yx x0 x0

x11称L1为两点式插值或线性插1例1

f(x)

的函数表x求f(175)的近似值解：x0169，x1225，y013，y1151L 1

§1插值1.3插值基函数与Lagrange插n=2时.设yi=f(xi)i= 令Lx

(x

x1)(x

x2

y(x

x0)(x

x2

y (x

x0)(x

x1 (

x)(xx

(xx)(xx

(xx)(xx

称L2为三点式插值或抛物插例2

x0=144,x1=169,x2=225，y0=12,y1=13,y2=

(175 (144

)(175169))(225§1插值1.3插值基函数与Lagrange插推n1时

l0(x)

xx1x0x1

,

(x)

x x1则

x

l0(x)

(x)n=2时

(xx)(xx

(xx)(xx1l(x)1

,l

(x)

,0 (x0

x1)(x0

x2

(x1

x0)(x1

x2l(x)

(x

x0)(x

2 (x2

x0)(x2

x

l0(x)

(x)§1插值1.3插值基函数与Lagrange插一般地(x

x0)(x

xj1)(x

xj1)(x

xn

(xxl(x)

j (j

)(x

xj

)(x

xj

)(x

xn

i1i

(x

xi

(j= xxLn(x)

j0

yj

j(x)

j0

yjji1ij

称lj(x)(j=0，1，2，…，n)为n次多项式Lagrange插l(x)l(x)i1in (xxj(xxji1.3插值基函数与Lagrange插注

lj(xi

11

ii

(i,

j

②一般地，称线性无关的代数多项式0(x),1(x),,n(x)为插值基函数

pn(x)

a00(x)a11(x)ann(x)满足插值条件(1.)，则称pn(x)为基于基函数()}的插值多项式。§1插值1.3插值基函数与Lagrange插注：③不同基函数可得不同的插值多项式，如Larange，n，Hrmite等。但由插值多项式的唯一性知本质上是相同的。§2插值多项式的因 的精确值故L2(175)=13.230158L1(175)=13.214285更精确一般地定理1.1设f在[a，b]上n+1次可微，pn(x)为f的nfn1(Rn(x)n

f(x)

pn(x)

(n

n1(其中n1

(xj0

xj

(a,

依赖于证明：由(1.1)知，x0，x1，…，xn均为Rn(x)的零点。所以可

Rn(x)

K(x)(x

x0)(x

x1)(x

xn)

K(

(x)§2插值多项式的定理1.1设f在[a，b]上n+1次可微，pn(x)为f的nfn1(Rn(x)n

f(x)

pn(x)

(n

n1(其中n1(

(xj0

xj

(a,

依赖于证明：由(1.1)知，x0，x1，…，xn均为Rn(x)的零点。所以可

Rn(x)

K(x)(x

x0)(x

x1)(x

xn)

K(x)n(x)作辅助函

F(t)

f(t)

pn(t)

K(x)n1(t则F(t)有n2个零点§2插值多项式的定理1.1设f在[a，b]上n+1次可微，pn(x)为f的nfn1(Rn(x)n

f(x)

pn(x)

(n

n1(其中n1(

(xj0

xj

(a,

依赖于证明：作辅助函

F(t)

f(t)

pn(t)

K(x)n1(t则F(t)有n2个零点在[a，b]上应用罗尔定理n+1次，得F(n+1)(t)在(a，b)上(

(

f(n1)( ()0

()

K(x)(n1)!0

K(x)

(n1)!.□§2插值多项式的定理1.1设f在[a，b]上n+1次可微，pn(x)为f的nfn1(Rn(x)n

f(x)

pn(x)

(n

n1(其中n1(

(xj0

xj

(a,

依赖于f(n+1)(x)有界

f(n1)(

Mn1

，则Rn(x)

Mn1(n

n1

(x)②对于指定x，当节点数m大于插值点数时，应选取靠近x的节点构造插值多项式，以n1(x)较小，从|Rn|较小。

中诸因§4牛顿插改写L1，L2

缺点：每增加一个节Lx

x

yx

部重新计算 x x x

f(x2)

f(x0)

f(x1)

f(x0Lx

f(x)

f(x1)

f(x2)(xx)

x2

x1

x

xx 记

x1

,[,]yz

x2

则两点公式：N1x三点公式

f(x0)

f[x0

x1](x

x0N2(x)

f(x0)

f[x0

x1](x

x0)

f[x0

x1

x2](x

x0)(x

x1§4牛顿插记f

y]

f(y)y

f(x)x

f[

y,z]

f[x,z]z

f[x,y]

N1(x)

f(x0)

f[x0

x1](x

x0N2(x)

f(x0)

f[x0

x1](x

x0)

f[x0

x1

x2](x

x0)(x

x1系数称为均差（差商）

1,(x

x0),(x

x0)(x

x1§4牛顿插4.1均定义：设fif(xi)，ifxi

xk]

fkfixk

为f

xi,

的一阶均差(差商称fxxx

f[xi

xk]f[xi

xj]为fxx

xkx

的二阶均差一般地

i,j,

互异）f[x,x,..., ,x]

f[x0,x1,...,xk2,xk]f[x0,x1,...,xk1 k

xkxk为f

x0

x1,...,xk1,

的k阶均

(k

§4牛顿插均定义：设fif(xi)，i称f[

,x,..., ,x]

f[x0,x1,...,xk2,xk]f[x0,x1,...,xk1 k

xkxk为f

x0

x1,...,xk1,

的k阶均

(k注别称f[xf(x)为f的0阶均差§4牛顿插均注

f[

,xk]

fkxkxi

fi xif[

,x

,xk]

(

)(

xj

fk

(x

)(x

xk

fj

(

x

)(

xk

fi可以证明

f(

,x,...,

)

.

j

jii

xjxi即均差与节点的排列顺序无关，从§4牛顿插均注

f[x0

x1,...,xk1

xk]

f[xk1

x1,...,xk2

x0

xkf[xk1

x1,...,xk2

xk]f[xk1

x1,...,xk2

x0xkf[x1,...,xk1xk]

f[x0

x1,...,xk2

xk1]

由此得均差

xk§4牛顿插均注f[

,x,...,x]

f[x1,...,xk1xk]f[x0

x1,...,xk2

xk1]

xk

由此得均差均差f[xkf[xk,xk1f[xk,xk1,xk2f[xk,xk1,xk2,xk3f[xk,xk1,xk2,xk3,xk4f2f3f[x0,x1f[x1,x2f[x2,x3f[x3,x4f[x0,x1,x2f[x1,x2,x3f[x2,x3,x4f[x0,x1,x2,x3f[x1,x2,x3,x4f[x0,x1,x2,x3,x4§4牛顿插均注均差f[xkff2f3i阶均k=0,1,2,…,n–i阶均差最多有n–i 个§4牛顿插输入n输入n，x(k)，A(k,0)，k=0,For(i=1,i<=n,For(k=0,k<=n-i,A(k,i)=(A(k+1,i-1)–A(k,i-1))/(x(k+i)-输出A(k,i)(k=0,1,2,…,n-ii=1,2,：均0均k=i：均0均流程方式：x(k)存放节A(k,i)

存放i阶均k=0，1，…，n–i，i=§4牛顿插牛顿插值公式及其余显然

(x)

f(x0)

f[

x0](x

x0

(x

x0

一般地fx

,..., ,x]

f[x,x0,...,xk1]f[x0,x1,...,xk k

xf[x,x0,...,xk1]

f[x0,x1,...,xk]

f[x,x0,...,xk1,xk](x

xk01利用(4.7)展开01

(k

f(x)

f(

)f[x

x1]

f[

x0

x1](x

x0f(x0)…

f[x0

x1](x

x0)

f[

x0

x1](x

x0)(x

x1§4牛顿插牛顿插值公式及其余f[x,x0,...,xk1]

f[x0,x1,...,xk]

f[x,x0,...,xk1,xk](x

xk11f(x)

f(

)f[x

x1]

f[

x0

x1](x

x00f(x0)0

f[x0

x1](x

x0)

f[

x0

x1](x

x0)(x

x1…f(x0)f[x0,x1](xx0)n

f[x0,x1,,xn (xj

xjf[x,x0,,xn](xj

xj§4牛顿插牛顿插值公式及其余f(x)

f(

)f[x

x1]

f[

x0

x1](x

x001…01f(x0)f[x0,x1](xx0)n

f[x0,x1,,xn (xj

xjf[x,x0,,xn](xjn

xjk f(x)

f(x0)k

f[x0,x1,,xk](xj

xj)

f[x,x0,,xn](xj

xjNn(x)Rn(x)§4牛顿插牛顿插值公式及其余f(x)

nnf(x0)k

kf[x0,x1,,xk (xj

xj)

nnf[x,x0,,xn](xj

xjNn(x)Rn(x)注：①Nnx

nnf(x0)

f[x0,

kxk (x

xj)满插值条件

k

jn(xi)=称Nn(x)为f的n次牛顿插值多项式。Rn(x)Rn(x)

f[x,x0,,xn]n1(

§4牛顿插牛顿插值公式及其余f(x)

nnf(x0)k

kf[x0,x1,,xk (xj

xj)

nnf[x,x0,,xn](xj

xjNn(x)Rn(x)注

Nk1(x)

Nk(x)

f[

x0

xn]n1(

k§4牛顿插牛顿插值公式及其余注唯一性知：Nn(x故余项f(n1)(f[x,x0,,xn]n1(x)

(n

n1(x) f(k)(

a,

一般地

f[

x0

xn]

(n

f[

xk]

f(n1)(

，介于

,,

xk之 §4牛顿插例1设f(x)=sh(x)如下表，用三次牛顿插值计算f(0.596)§4牛顿插一二三四五 解+0.197333(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)≈3.10258×10- §4牛顿插一二三四五值的值或:N3(0.596)=0.57815+1.186(x–0.55)+0.358933(x-0.55)(x-0.65)+0.212952(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80)≈0.631922R3(0.596)=0.031429(x–0.55)(x–0.65)(x–0.80)(x–≈4.8415×10-§4牛顿插注：当x位于表末时(xn-1<x<xn)，为提高计算精度，Nn(x)

f(xn)

f[xn

xn1](x

xn)f[xn

xn1n

x0](x

xn)(

xn1)(xk

x1f(xn)

k

f[xn

xn1

xnk](xj

xj

由对称性f[xn

xn1

xnk]

f[xnk

xnk1

xn也在均差表中，故(4.14)和(4.9)可使用同一张均差§4牛顿插例2计算一二三四五解：N3(x)=1.25382+1.515222(x-1.05)+0.524933(x-1.05)

§4牛顿插P132§4牛顿插差当节点等距时，称为等距设有n+1个等距插值节点xk

hxnn

为步长4.2设fkf(xk)fk

fk1

为f在x=xk处的一阶向前差分，为向前差分算fk

fk

fk

为f在x=xk处的一阶向后差分，为向前差分算§4牛顿插差定义4.2设fkf(xk)，fk

fk1

为f在x=xk处的一阶向前差分，为向前差分算fk

fk

fk

为f在x=xk处的一阶向后差分，为向前差分算kk称mkk

fk

m1

为f在x=xk处的m阶向前差kk称mkk

m1

fk为f在

k处的m§4牛顿插差定义4.2设fkf(xk)，k称mk

fk

m1

为f在x=xk处的mkk称mkk

m1

fk为f在

k处的mkk注：①由归纳法kk

fkm2fk2

fk

(fk2

fk1)

fk1

fkfk

fk

2

fkm§4牛顿插m

fk

m1m差m

m1

fkk②均差与差分有如下关系kk kf[

,

,,xk]

k!hk

f[

,xk

,,x0]

k!hk

事实上：f

,x1]

f1f0x1k

k1成立f

,

,,xk]

k!hk

（k时成立），则当k1f[

,x,...,x,

]f[x1,...,xkxk1]f[x0,x1,...,xk

k

xk1k k 1

kfk

k1k!hk

k(kk

§4牛顿插差②均差与差分有如下关系k kf[

,

,,xk]

k!hk

f[

,xk

,,x0]

k!hk

由归纳法原理，(4.21)对所有自然数k成立而 k k f[xk

xk

,,x0]

f[x0

x1

xk]

k!hk

k!hk §4牛顿插差0分与导数的关系：k0事实上

f(k)(f(k)(

x

0kx0k0k0

f[x0

x1,,xk]

k!hk hk

f(k)(§4牛顿插差差分fifif0f2f0 f2 f4344i§4牛顿插x0xxx0xx 21.前插公式——当x位于x0附

插值

x

th,

(h

xnx0

,t

xx0

0).则x

k)h,(k

牛顿插值公式中的一般项化为k

k

k

k

kf[

,x,,

](x

)

(t

j)hk

(tj)

j

k!hk

j

j从而(4.9)表示

f0 Nn(x)

Nn(

f0nkk nk

j

(t j)§4牛顿插等距节点的牛顿插值公前插公式——当x位于x0附

x xx 2

k从而(4.9)表示为Nn

(x)

Nn(

th)

f0

(tj)称(4.23)为牛顿前插公式

k

j

f(n1)( n1 Rn(

th)

(n

(xj0

xj)

(n

(tj)j0——以差分近似表示导数§4牛顿插等距节点的牛顿插值公后插公式——当x位于xn附设

0,1,2,...,n).

x

th,

(h

xnx0

,t

xxn

0)x

k

(k

N( th)

knkn(tnkn

j).

k j0称(4.26)为牛顿后插公式§4牛顿插等距节点的牛顿插值公2.后插公式——当x位于xn附 k k Nn(

th)

fn

(t

j).

k j0称(4.26)为牛顿后插公式f(n1)()hn1 n1

th)

(n

(tj0

j)

(n

(tj0

j).§4牛顿插等距节点的牛顿插值公2.后插公式——当x位于xn附 k k Nn(

th)

fn

(t

j).

k j称(4.26)为牛顿后插公式f(n1)()hn1 n1 注

th)

(n

(tj0

j)

(n

(tj0

j).前插公式首先要求出h，t然后可确x后插公式首先要求出h，t然后可确x

x0xn

§4牛顿插等距节点的牛顿插值公kk1-------------作解作1h=1值值1-------------例3设f(x)分解：作分h=x

0.048t

x h

N4(

th)

f0

t(t

t(t

2)

t(t

t

1)

2)

3)

值值1-------------4.4等距节例3设f(x)分解：作分h0.1x0.048N4(

th)

f0

t(t

t(t

2)

t(t

t

1)

2)

3)

N4(x0th)1.00000.480.005

6

0.99884

§4牛顿插4.4等距节点的牛顿插值公例3设f(x)=cosx如下表。求cos0.048，cos0.566，并估解：h0.1x0.048

0.00012N4(

th)1.00000.480.0052

6

0.99884

M5R4(0.048)M5

t(t

4)

1.5845107

maxcos

sin

值值1-------------点4.4等距节例3设f(x)=点=解=x6

0.6,t

xx6

N4(

th)

f6

2ft

3ft(t1)

4ft(t1)(t2)

t(t1)(t2)(t

tf6

(t1)

(t2)

4(t3)

§4牛顿插4.4等距节点的牛顿插值公例3设f(x)=cosx如下表。求cos0.048，cos0.566，并估解：②当x=0.566时，（利用后插公式N4(

th)

M5R4(0.566)M5

t(t

4)

1.7064107.

0

(cosx)'

§4牛顿插4.4等距节点的牛顿插值公例3设f(x)=cosx如下表。求cos0.048，cos0.566，并估解：注

107

0.158450.17064106

0.5106.

小数点后6故N4(0.048)与N4(0.566)均有6位有效数字§4牛顿插4.4等距节点的牛顿插值公P132.习题8.计算f(0.385).已x00.250.用二次前x20.500.用二次后插§4牛顿插4.4等距节点的牛顿x00.250.用二次前x20.500.用二次后插

2N2(x0t1h)f0

t1

2N2(其

t2h)

f2f2t2

t2

x0

t1h

x2

t2h

0.385

(t1

t2)h

x2

2

N(xN(xth)fft 0t(t220100 N2(x2t2h)f2f2t2 2t2(t22牛4.4等距节点牛其x0

t1h

x2

t2h

0.385

(t1

t2)h

x2

2

fkmm2mN2(

t2h)

f2

2t2

2

t2

2f2

2) 2

f2

2)

f0

12

f0t1

f2

2)

12

f0t1

22 2 2t2f22 N(x th)2f0t1 0t1(t1N2(x0t1h)f04.4等距节点的N2(

t2h)

f2

2) 2

f2

2)

f0

1)

12

f0t1

f2

2)

1)

12

f0t1

f2

(t1

12

f0

(t1

f2

(f2

f1)(f1

f0)

f0t1

12

f0t1

(t1

f0

0t1

12

f0t1

(t1

1)

N2(

§3分段插龙格现象高次插值多项式的问插值多项式的次数越高，误差不一反例：Runge对于函

f(x)

(5

x1x取等距的插值节

xk

5

kh,(h

10,

0,1,,n210--05n210--05§3分段插分段线性Lagrange插取相邻节点，构成插值子[xk

xk1],

xk1

xk

(k

0,1,...,nxk在子区间上应用两点公式xkL(k)x

xxk

x

(k

0,1,...,nn令

xk

xk1

kLx

L(0)(nL(1)(x)n

x[x0x[x

x1x nL(n1)(

x[

,x §3分段插3.2分段线性Lagrange插在子区间上应用两点

(k

0,1,...,nL(k)x

xxk

x xk xk令

k

xk1

kn n

x

xLx

x

x nLn1()

x x 注①

i

②图形为折线§3分段插3.2分段线性Lagrange插xx在子区间上应用两点xx

(k

L(k)x

xxk

x k令

xk1

kLx

L(0)(nL(1)(x)n

x[x0x[x

x1x nL(n1)(

x[

,xn n余项

x

f(x)

Ln(x)

f(x)

(k)f()(x2

xk)(x

xk1§3分段插3.2分段线性Lagrange插xx在子区间上应用两点xx

(k

L(k)x

xxk

x k

xk1

kRn余项Rn1

x

f(x)

Ln(x)

f(x)

(k)f()(x2

xk)(x

xk1其中xxkxk1]

依赖于§3分段插3.2分段线性Lagrange插

(k

余项

x

f(x)

Ln(x)

f(x)

(k)f()(x2

xk)(x

nxk1n其中,x[xk,xk M

依赖于

x

R(

maxx

x

k

,xk1

M2

0

k n x[xk,xk1

R1(x)

M2 0k

M2h h

h2其中.h

max

x0k

k §3分段插分段线性Lagrange插可以证明

fC[a,则Ln(x)于[ab]上一致收敛到f(x)（h§3分段插分段二次插子区间上的三点公分段插注：不能保证连续§4牛顿插4.5流程图<等距节点给定函数表yk=f(xk)xk

0,1,2,...,n).h

xnx0用分段m次牛顿插值多项式求x=u[x0，xn]处的似值。其

n. 2.作业：P132.§5厄米特插问题：分段低次插值无法保证插值函数在节点处的光滑性，希望得到光滑的插值函数，这就是厄米特插值问题。

yi

f(xi

i=yf(x 求插值多项式H(x)H(xi)

i= iH(x)i

(与原函数在节点处相切)§5厄米特插②一般地：已

yiy (ky

f(xiif(k)(xi(k=1,2,mi=0,1,n)，求插值多项式H(x) H(xi)iH(k)(x)i

(kyiy（k=1，2，…，m，i=注：①上述问题称为厄米②H(x)与f(x)的图形在n+1个节点处相切§5厄米特插②一般地：已

yiy (ky

f(xiif(k)(xi(k=1,2,mi=0,1,n)，求插值多项式H(x) H(xi)iH(k)(x)i

(kyiy（k=1，2，…，m，i=注：③最简情形(5.1)中插值条件有2(n+1)个。故H(x)特别：n=2时，有3个节点，5次多项④由于高次插值的不稳定性，故采用分段插值§5厄米5.1两点三次插1xfxf(x)f(令Hx

y00(x)

y00(x)

y11(x)

ixi

为三次多项式0i(xj)0

ii

i(xj

i(xi)0i(xj)0

ii

i(xi)

i(xj)xf(x)fxf(x)f(5.1两点三次插结，令Hx

y00(x)

y00(x)

y11(x)

ixi

为三次多项式，0(x0)

1(x0)

0(x0)

1(x0)0(x1)

1(x1)

0(x1)

1(x1)(x)

(x)

(x)

(x)

，

(x1)

0(x1)

则易知H(x)满足厄米特插值§5厄米特插5.1两点三次插基函由

(xj)00

ii

，考虑

i二重零点，∴考虑l2(x)i又∵三次多项式，∴考

x 2i(x)

2(x)，

xj其中ab待定§5厄米特插5.1两点三次插2基函，

x 2考

(x)

2(x)

x

x其中ab待定

x 2

jx 1=i(xi)=

(x)

a

b) xx xx j

xix

xix0i(xi)a

xix

a

xjxxb1xx

1

2

1

2xixix

x§5厄米特插5.1两点三次插2基函，

x 2考

(x)

2(x)

x

x其中ab待定

j0i(xi)a

xix

a

xjxxb1xx

1

2

1

2xii

xxxx

x (x)

2 )

j

xxx xxx

xj§5厄米特插5.1两点三次插基函x

，x xx(x)xx

2

j

i同理可

xix

ji(x)

x

xixi

x 2，2xj

(i

§5厄米特插

5.1两点三次插二点H3(x)

y01

x x0x1

2x 2x0x1

y11

x x1x0

x 2x1x02x 2 x 2011yx011

yx

0注

x01

x1，

x1

x0H3

(yii(x)i0

§5厄米特插两点三次插3.二点，注：②一般地，n+1个节点2n+1次厄米特插值nH2n1(x)

(yii(x)ni0n

(x)

2(xx

l2(x)

i(x)

i(xi

iix)l2(ii

j0j

xix xl(x)

（i=0,1,…,ik ki

xififfif12023

例1

，求解：x0=1,x1=2,y0=2,y1=3y0=0,y1-x

x 20(x)

(2x1)(xx0

x0

x1x

x 21(x)

)

(52x)(xx1 x1

x0x 20(x)

(x

x0

(x1)(xx0

x1x 2(x)

(x

)

(x2)(xxx xx ∴H(x)=20(x)+31(x)-1(x)=-3x3+13x2-§5厄米特插H3(x)的余，定理5.1设f(4)在[x0x1]上连续，则x[x0x1]R3(x)

f(4)((x0202

x)2(x

x1

,证明 (i=0,∴可设R3(x)=K(x)(x-x0)2(x-，(t)=f(t)-H3(tK(x)(t-x0)2(t-x1)2——五个零由罗尔定理，(x0x1)使(4)(f(4)(K(x)4!=0

K(x)

f(4)( §5厄米特插分段两点三次厄米特插设yk=f(xk),yk'=f (k=，概若分段三次多项式Hh(x)①Hh(x)在[xk,xk+1]上为三次多项式Hh(x)在[ab]上连续，③Hh(xk)=yk,Hh' (k=则称Hh(x)为f在[a,b]上的分段三次厄米特插值多项式。§5厄米特插5.3分段两点三次厄米特插设

H(0)(h H(1)(x)h

x[，x[，

,x1,xhHxh

hH(n1)(h

x[

1

2,xnhH(kxh

k(yjk

j(x)

j(ykk(x)

yk1k1(x)

yk1k1(，h(k0,1,2,...,n，hh注Hk1h

中的

k(x)

H(k)(

中的

k(x)不同§5厄米特插5.3分段两点三次厄米特插nH(k)(x)n

ykk

(x)

k

(x)，

yk

k

(x)

k

((k0,1,2,...,nhh

H(k)(

中的k(x)不同hh

x x k k

2 k1

x ,x

k0时，略去22k(x)

xk11k2 k

xk1xkxkxk10

xkxxk

xk1k1xk1

kxx, k其它

k0时，略去§5厄米特插5.3分段两点三次厄米特插nH(k)(x)n

ykk

(x)

k

(x)，

yk

k

(x)

k

((k

0,1,2,...,nk x xk 12 k1

x ,x

k0时，略去若 xkxk1xkxk1 x x (x)

12 k1

xx,

k0时，略去

xk10

xk1

其它

k x x

k1

x

,x

k0时，略去k kk

xk1

k x (x)x

k1

xx,

k

n时，略去

xkxk1

k 其它§5厄米特插nH(k)(x)n

ykk

(x)

k

(x)

yk

k

(x)

k

((k0,1,2,...,n若

x

x 12 k1

x

,x

k0时，略去， xkxk1xkxk1，

k x x (x)

12 k1

xx,

k0时，略去

xk10

xk1

其它

k x x

k1

x

,x

k0时，略去k kk

xk1

k x k kk(k k

x

x

k1

kn时，略去

0nn

xk1

其它n n

Hn(

k0

k(

k(

k0

k(

k(x)§5厄米特插5.3分段两点三次厄米特插例，例20fi 1 用分段三次厄米特插值多项式求f(0.5),f(1.5),，f(3.5),§5厄米特插012012345fi10，用分段三次厄米特插值多项式求f(0.5),f(1.5),f(2.5),f(3.5),f(4.8)解：以f(1.5)为例,x0=1,x1=2,y0=0.5,y1=0.2,y0'=-y10.16 x x x1x0x12x x0xx1x0x10(x)1(x)

12

2120 0

(2x1)(x2)2;(52x)(x§5厄米特插012012345fi10，用分段三次厄米特插值多项式求f(0.5),f(1.5),f(2.5),f(3.5),f(4.8)解：以f(1.5)为例,x0=1,x1=2,y0=0.5,y1=0.2,y0'=-y10.16x 2，0(x)，

x

x

(x1)(x2)2;0x00

x1x 21(x)

x

x

(x2)(x1)21x11

x0§5厄米特插x0=1,x1=2,y0=0.5,y1=0.2,y00.5,y10.16 x

x 2(x)

12

(2x1)(x2)2;0xx 0xx0

1

x，

x1 x

x 21(x)

12

(52x)(x x1

x0

x1

x0x 20(x)

x

x

(x1)(x2)2;0x00

x1x 21(x)

x

x

(x2)(x1)21 x11

x0H3(x)0.50(x)0.21(x)0.50(x)0.161(x)0.5(2x1)(x

0.2(52x)(x

0.5(x1)(x

0.16(x2)(x0.520.250.220.250.50.50.250.160.50.25§5厄米特插例题18求f(x)=sinx在[a,b]上的分段厄米特插值多项式解：当x[xkxk+1]

x

x 2H(k)(x)

sin

12 k1x xk

xk1

xk1 x

x 2

12 k1 k xk1xkxk1xk，x 2，kcosxxk

x k1kxkxk1k x 2kcos k

xk1 .xk1xk§5厄米特插例题18求f(x)=sinx在[a,b]上的分段厄米特插值多项式解：当

(ba)2(ba)2(xa)(xb)42

1(x

x)2(x

xk1k1( x k k

，§6三次样条插样条是指弹性均匀的细木条或钢条，工程师或描图员在制图或下料时强制样条通过一组离散的点，然后沿样条画出所需的模线（光滑连续）。由此发展起来的数学方法就是样条插值。它既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了光滑度。与厄米特插值的区别仅知f在节点上的值不知f'的§6三次样条插三次样条函（欲求具二阶光滑度的插值函数§6三次样条插三次样条函定义6.1若S(x)在[a，b]上满足①S(x)，S'(x)，S"(x)在[a，b]上连续②S(x)在[xkxk+1]上为三次多项式ax0<x1<…<xn则称S(x)S(xif(xiyi，i01,2,则称S(x)为f在[a，b]上的三次样条三次样条插值多项式 ——分段三次插值多项§6三次样条插三次样条插值多项若S为f的三次样条插值函Sx

S0(S1(x)

x[x0,x1x[x1,x2SS

(

x[

,xn其中Sk(x)在[xk，xk+1]上为三次多项式 x[xk,（即待定系数由4n个，需4n个条件，才能确定待定系数由4n4待定系数由4n4n个条件，才能确定三次样条插值多项 x[xk,①Sk(xj)=yj,j=1,2;k=0,1,…,n-

S连续插值条件2nS'连续,n-1②S'k-1(xk-0)=S'k(xk+0),k=1,S'连续,n-1③S"k-1(xk-0)=S"k(xk+0),k=1,2,…,n-共有4n-2个，还缺2

S"连续n-1待定系数由4n4待定系数由4n4n个条件，才能确定6.2三次样条插值多项 x[xk,①S(x0)nS(x)n

特别：f0fn0时（斜率为0）S在端点呈水待定系数由4n4待定系数由4n4n个条件，才能确定6.2三次样条插值多项 x[xk,2.②S(x0)nS(x)n

特别：f0fn0时（两端不受力）。称之为自然样条,自然边界。待定系数由4n4待定系数由4n4n个条件，才能确定6.2三次样条插值多项 x[xk,③S(S(

0)0)

S(xnS(

0)

S(

——f具有周期性，称为第三类边界条注：理论上可通过4n个方程求得4n个待定系数，但计算量太大。§6三次样条插6.2三次样条插值多项∵S在[xk,xk+1]上为三次多项式。∴可设为两点三次厄米特插值多项式。记hk=xk+1-xk,mk=Sk'(x),k=0,1,…,n x

x 2

x

x 2kSk(x)k

12

k1

12

k

yk

x 2 x x

x k1

x

k

mk1kk kk§6三次样条插6.2三次样条插值多项3记hk=xk+1-xkmkSk'(x x

x 2

x

x 2kSk(x)k

12

k1

12

k

ykx

2

x

x

x k1

x

k

mk1

整理得kk kkkS(x)k

hk2(x

xk)(x

)2

2(x

xk1)(x

)2 k

k(x

xk)(x2k

xk1

mk

(x

x)2(xk2kk

xk1

2mk2

§6三次样条插6.2三次样条插值多项3记hk=xk+1-xkmkSk'(xkS(x)k

hk2(x

xk)(x

)2

2(x

xk1)(x

)2 k

k(x

)(x

(x

)2(x k m k m

k

注：若能求出mk即可求出Sk，从而可得为了简化该式，考虑S"，即对上式两次求导，再利用条件③Sk-1(xk-0)Sk(xk0),§6三次样条插6.2三次样条插值多项3记hk=xk+1-xkmkSk'(xkS(x)k

hk2(x

xk)(x

)2

2(x

xk1)(x

)2 k

k(x

)(x

(x

)2(x k m k m

k

6x2

4xkm m

6x4

2xk2

mk6(

xk

2x)(

y

k k§6三次样条插6.2三次样条插值多项3记hk=xk+1-xkmkSk'(x

6x2

4xkm m

6x4

2xk2

mk6(

xk

2x)(

yk 2k2

0)

mkk

mk1

62k2

k1y

k2在(6.9)中取k1k2

(

0) khk

mk1

mk6h6

y

yk1

4k4

k

k§6三次样条插6.2三次样条插值多项3k记hk=xk+1-xkmkSk'(xk

0)

k

mk

2222

yk1y

(

0) khk

mk1

mk6h6

y

yk1

4k4

k

k∵S"k-1(xk-∴mk

11

1 1

mk

yk12

yk

yk12

hk

hk

§6三次样条插6.2三次样条插值多项3记hk=xk+1-xkmkSk'(x1mk

11

1 mk1

mk

yk12

yk

yk12

hk

hk

化简上式得：（两端

乘

k k

m

k

k

yk1

yk

yk1

§6三次样条插6.2三次样条插值多项

mk

2mk

mkk

yk1

k

yk

yk1

yk1

ykyk1kmk

kmk

3k

其中k

,

hk yk1

k

ykyk1gk

3k

§6三次样条插6.2三次样条插值多项

hk=xk+1-xk,mk= yk1

ykyk1kmk

kmk

3k

其中k

,

hk yk1

k

ykyk1

gk即

3k

22

m1

2n1mn gn1§6三次样条插6.2三次样条插值多项22

m1

2n1mn gn1其中k

,

hk yk1

k

ykyk1gk

3k

注：①求S的问题转化为n+1个未知量，n–1个方程的方程组(6.13)称为基本方程组。§6三次样条插6.2三次样条插值多项22

m1

2n1mn gn1其中k

,

hk yk1

k

ykyk1gk

3k

注个方程中都有三个节点的一阶导数值。称为§6三次样条插6.2三次样条插值多项22

m1

2n1mn gn1其中k

,

hk yk1

k

ykyk1gk

3k

注：③还缺二个条件§6三次样条插6.2三次样条插值多项22

m1

4.

2n1mn

gn1①S(x0)

m0,S(xn)

减少两个未(6.13)变减少两个未(6.13)变.

22

mm2 mm2g ng

n2mn2

gn n

n1

fn

样样S(x样样S(x)6x2 4kk 6x4 2kkkhkmkkhk6(xkxk12x)(kyhkk2 2 1mg26.2三

4.

2n1mn

gn1②S(x0)

f0,S(xn)

在(6.9)中取k0，可S(

)4m2m 6(yy)f0012100 0012100

3(y1

y0)2

样样S(x样样S(x)k6x2 4kkh 6x4 2kkkmkkhk6(xkxk12x)(hkykk6.2三4②S(x0)

f0,S(xn)

在(6.9)中取k0，可

3(y1

y0)2

取kn可

3ynh

2

22 2 1mg2 2n1mn gn1值6.2三次样条值4②S(x0)

f0,S(xn)

3(y1h

y0)2

3ynh

2

0(6.13)变

0

y31 31

2

2

2n1

n1

y

3

f2 2

n 22 2 1mg2 2n1mn gn1值6.2三次样条值4③S"(x0+0)=S"(xn-0),S'(x0+0)=S'(xn-0),可得：

0

1

1 1

n1mn1

gn1002m002m

g其中原g

g1注述这三种情况，系数矩阵严格对角占优，故22 2 1mg2 2n1mn gn1值6.2三次样条值4③S"(x0+0)=S"(xn-0),S'(x0+0)=S'(xn-0),可得：

0

1

1 1

n1mn1

gn1002m002m

g其中原g

g1求解公式见 k ,k,kk kk kkyk1ykykyk1kkhk6.2三次样条插值多项例1 ,求满足自然边界条件k01612213解：①计算hk(k0,1,2),k01612213§6三次样条插6.2三次样条插值多项例1 ,求满足自然边界条件的三次样条插值函数S(x)，并计算f(3)的近似值。解：②求0,1,2,3.第二类边界条件。

m0

g02/ 1/

m

g

1

1g 1/ g

2/3m2

g2解方程组得

m3

3 m0

8,m14,

4,m38§6三次样条插6.2三次样条插值多项SS(x)hk2(xk)kh(x)2 k2(xk)kk(xx)2kkhkk(xx)(x(xx)(x2 k mhk k m)kkhk解：③根据(6.8)计算S(x)

x3x3

3x2 3x2

xx

1x2x33 f(3)f(3)S(3)174从

8

x2

4

x

4x§6三次样条插6.4三次样条插值函数的收敛一般地，分段插值不光滑，高次插值发生震故y=P(x)上有使|P"(x)|很大的点,而样条插值函数不会定理6.1设fC2[a,b]S(x)为f的三次样条插值函数，hi=xi+1–

hmaxhi0in1

min0in1当hc

时S(xf(x)，S'(xf 《证明略》§6三次样条插6.4三次样条插值函数的收敛定理6.1设fC2[a,b]S(x)为f的三次样条插值函数hi=xi+1–h

hmaxhi0in1

min0in1c

时S(x)⇉f(x)，S'(x)⇉f系：若fC4[ab]f(4)(x)

S(4)(

h4k

1axb1

f(4)(x)(k

其中

16,

12从而解决了求函数导§6三次样条插作业：P134§7数据拟合的最小二乘最小二乘法的基本概设有实验数据：(x,，),=0,,2,带有测量误差，用插值法得到的表达式保留这些误差，不符合原有规律。§7数据拟合的最小二乘最小二乘法的基本概拟合:寻找函数S(x),使其曲线不必经过已有实验点，偏差称iS(xiyi为S(x)在xi处的偏差(偏离大小注：不要求i=0，i=0,1,2,…m，但希望i尽可能小<max|i|，|i|，|i|2mm22i0imi

mmi0

S(xi)

y

尽可能小（易处理2iii02

尽可能小，其中§7数据拟合的最小二乘最小二乘法的基本概最小二乘<考虑S的结构可以是多项式，三角函数或其他在函数类=Span{0(x),0(x),…,n(x)}中求函njS*(x)a*( (nm)jiijiim使miiii0

S*x

j02yi2

m i0

Sx

y

§7数据拟合的最小二乘最小二乘法的基本概在函数类=Span{0(x),0(x),…,n(x)}中求函njS*(x)a*( (nm)jj使mmiii

S*x

j02yi2

m i

Sx

iyi

iii按条件(7.3)求函数S*(x)的方法称为数据拟合的最小二乘法，简称最小二乘法，并称S*(x)为最小二乘解。iii§7数据拟合的最小二乘最小二乘法的基本概两个问题①如何确定S*的构（即求=Span{0(x0(xn(x——通过观察数据点的分布情况如何求——解方程组§7数据拟合的最小二乘法方程组——先求n问题：记

S(x)m

ajj(x).j02

2(a0,a1,,an)

iS(xi)y

iajj(xi)yiii0i

i0 j 求最小二乘解，即求(a0a1an)的极小值(a0*,a1*,…,§7数据拟合的最小二乘法方程组——先求问题：m

2(a0,a1,,an)2

iS(xi)y

iajj(xi)yiii0i

i0 j 求(a0a1an)的极小值点(a0*a1*方法：取极值的必要条

0,(k

iajj(xi)yik(xi)

(k=0,1,…,i0 j ij(xi)k(xi)aji

yik(xij0

i0

i0

(k=0,1,…,§7数据拟合的最小二乘法方程组——先求)n问题：求极小值点(a0*a1*a)n方法：取极值的必要条

0,(k

ij(xi)k(xi)aji

yik(xij0记

i0nn(j,k)aj

(

,k

i

(k=0,1,…,(k=0,1,…, 称(7.7)为函数系{

在离散点

,x,…,

上的法 j0程

§7数据拟合的最小二乘法方程组——先求n问题：求极小值点(a0*a1*ann方法n(j,k)ajj0

(

,k

(k=0,1,…,

}j}

在离散点

,

,…,

上的法(0,0 (0,1 1(, (, 1

(n,0

(n,1

(n,n)§7数据拟合的最小二乘法方程组——先求n问题：求极小值点(a0*a1*an

}j}

在离散点

,

,…,

n上的(0,0 (0,1 1(, (, 1

(n,0 (n,1m

(n,n)(j,k

ij(xi)k(xii0m(f,k)

ii0

yik(xi)

(k,f求极小值点(a0*a1*求极小值点(a0*a1*7.2法方程组——先求 2.方法：解法

(j,k)

ij(xi)k(xii0( ((, (,( ((0,0 (0,1

(f,k)

i

yik(xi)

(k,f

i0

(n,0

(n,1

(n,n)注

}j}

是

0(x),

0(x),…,

(x)}的函数，故线性无关∴可证法方程组存在a*aj a*

(j

aaj此时，S*(x) j

j(

必为最小二乘解jS(x)*jS(x)*jna(x) 7.2法方程组——先求2.方法：解法(0,0 (0,1 1(, (, 1

m m

ii(n,0ii

(n,1

(n,n)注mS(x)y*2ii0im

22i

S*(x)

y2为最小二乘解的平方i