五年级下册数学试题 - 培优精讲：数论综合 全国通用(解析版)

第九讲数论综合1、已知S=12-22+32-42+…+992-1002+1012，则S被103除的余数是（ ）第九讲数论综合=12+（3+2（3-2）+（4+3（4-3）+…+101+100（101-100）==1+5+9+…+201==5151．因为=50…1，S103除的余数是2、n是一个完全平方数=5151．因为=50…1，S103除的余数是（解：n+99和n+200是完全平方数，5051∴n=2500-99=24013、各位数字和等于50且能被4整除的6位数共有多少个？9654504626如果6个数分别为9，9，9，9，8，6，要能被4整除，末两位可以为68或1964以此时共有5如果6个数分别为9，9，9，8，8，7，末两位只能为88，前面的四位有4种排法，所以此时共有4个；6有C26种排法，4所以满足条件的数共有54615个。4、从1，3，5，7，…。97，99，101中最多可以选出n个数，使得选出的这n个数中，每个都不是另一个数的倍数，那么n=，35…10134数的倍数。因为t的形式（其中a03）由于17351-17=343t34n345、101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是解：设这个自然数为a，则101个连续自然数的和为：a+（a+1）+（a+2）+……+（a+100）=（a+a+100）×1012=（a+50）×101101a+503那么a+50=66=2×3×11，66×101=6666。6、2004年6月2日是小红的11岁生日。爸爸在2004的前边和后边各添了一个数字，组成了一个六位数。这个六位数正好能同时被她的年龄数、出生月份数和日期数整除。求这个六位数。解：设这个六位数是a2004b，能被2整除，则b为偶数，能被6整除，则ab能被3整除，能被11整除，则a4b2或a411b2，满足条件的解有：a2b4，a9b0，所以这个六位数是220044或920040。7，最大公约数与最小公倍数的和为个数是多少？4917．148374214，此时1422126371421。8Nx1527yN411x+yN47y4整除，所以y=26当y=2，N－5＝x152725＝x1526711所以（x+5+6）-(1+2+7)=x+1是11的倍数，由于xy=6＝152765＝152711x+5+-(1+2+1)=x+811的位数，因此x+y=3+6=99、老师报出一个四位数，将这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新四位数，9898那么做对的同学是谁？（第七届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）解：设老师提出的四位数是abcd，顺序倒排后是dcba，它们的和(abcd+dcba)＝a×l001+b×110+c×ll0+d×l0011l988811整除，只有9988111010，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数72求这个四位数？abcda+1d=a=8b272可得72bc29bc2，即9(bc2)。可以得到9（b+c+1b+c。bc98，8980，62，26，35，44，98又因88bc28bc2=lOOb+10c+2所以4b+2c+2(96b+8c是8的倍。17，53，897l84×7+2×1+2答：这个四位数是8712。11、已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为a与b，a<b，因为这两个自然数的最大公约数是5，a=5a，b=5b1 1且（a，b）=1，ab1 1 1 1因为a+b=50， 所以有5a+5b=501 1a+b=101 1满足（ab）=1，a<baa=11b=9a=31b=71所以

或 a=5×3=151b=5×9=45 b=5×7=351答：这两个数为5与45或15与35。12910么甲数和乙数分别是多少？13、在1，2，3，…100中，从这100个数中取出两个不同的数相加，使其和为3的倍数，则不同的取法有多少种？14、一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．【分析与解】设这个四位数为abcdm2 ①每位数字均加3，并且没有进位，为(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)n2 ②3333=n2m2=（n－m）(n+m)③

………………3333(1+1)(1+1)(1+1)=84如上表，只有1156，4489满足，即原来这个四位数为1156．15、如图，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长均为整数，若这些线段的长度的积为10500，则线段AB的长度是 。【答案】5解：由A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于点B是线段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是x，AD=2x，因此在乘积中一定有x3。对10500做质因数分解：10500=22×3×53×7，所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.16、老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数2的倍数。”第二个同学说：“这个数3的倍数。”第三个同学说：“这个数4的倍数。”……第十四个同学说：“这个数15的倍数。”最后，老师说：“在所14个陈述中只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的自然数是 。答案60060解的2倍是的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。所以这个数是2，3，4，5，6，7的倍数。由此推知，这个数也是（2×5=10（3×4=12（2×714（3×5=15的倍数。在剩下的8,9,11,138和98和97，10，11，12，13，14，15的最小公倍数是22×3×5×7×11×13=60060。172410些小朋友最多有人答：158。3151[3,5]=15,所以苹果和桔子都拿1015×(10-1)+1=13643×4=12(25×2=10(人)。所以最多有12+136+10=158(人)。18、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这2001~200第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；3的变亮；一般