《概率论与数理统计》(韩旭里)课后习地题目详解

?概率论与数理统计?(韩旭里)课后习地题目详解?概率论与数理统计?(韩旭里)课后习地题目详解?概率论与数理统计?(韩旭里)课后习地题目详解适用标准文档概率论与数理统计习题及答案习题一.赐教材习题参照答案.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C1〕A发生，B，C都不发生；2〕A与B发生，C3〕A，B，C都发生；4〕A，B，C5〕A，B，C都不发生；6〕A，B，C7〕A，B，C至多有2个发生；8〕A，B，C最罕有2个发生.【解】〔1〕ABC〔2〕ABC〔3〕ABC4〕A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC(5)ABC=ABC(6)ABC优异文案适用标准文档ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪CAB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3..4.设，为随机事件，且〔〕=0.7,(，求〔AB〕.ABPAPABP【解】P〔AB〕=1P〔AB〕=1[P(A)P(AB)]=15.设，是两事件，且〔〕=0.6,()=0.7,ABPAPB1〕在什么条件下P〔AB2〕在什么条件下P〔AB【解】〔1〕当AB=A时，P〔AB〕取到最大值为0.6.〔2〕当A∪B=Ω时，P〔AB〕取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P〔A〕=P〔B〕=1/4，P〔C〕=1/3且P〔AB〕=P〔BC〕=0P〔AC〕=1/12，求A，B，C最罕有一事件发生的概率.【解】P〔A∪B∪C〕=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=1+1+11=344312452张扑克牌中任意拿出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=C135C133C133C132/C13528.〔1〕求五个人的诞辰都在礼拜日的概率；〔2〕求五个人的诞辰都不在礼拜日的概率；优异文案适用标准文档〔3〕求五个人的诞辰不都在礼拜日的概率.【解】〔1〕设A1={五个人的诞辰都在礼拜日}，根本事件总数为75，有益事件仅1个，故P〔A〕=11〕5〔亦可用独立性求解，下同〕1〔2〕设A2={五个人诞辰都不在礼拜日}，有益事件数为65，故P〔A〕=656)52(3)设3={五个人的诞辰不都在礼拜日}AP〔A3〕=1P(A1)=1(1)579..赐教材习题参照答案.10.一批产品共N件，此中M件正品.从中随机地拿出n件〔n<N〕.试求此中恰有m件〔m≤M〕正品〔记为A〕的概率.1〕n件是同时拿出的；2〕n3〕n件是有放回逐件拿出的.【解】〔1〕P〔A〕=CmMCnNmM/CnN(2)因为是无放回逐件拿出，可用摆列法计算.样本点总数有PNn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cnm种.对于固定的一种正品与次品的抽取序次，从件正品中取件的摆列数有m种，从件次品中取件的摆列数为nm种，故MmPMNMnmPNMmmnmP〔A〕=CnPMPNMPNn因为无放回渐渐抽取也可以看作一次拿出，故上述概率也可写成优异文案适用标准文档P〔A〕=CmMCnNmMCnN可以看出，用第二种方法简单得多.〔3〕因为是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cnm种，对于固定的一种正、次品的抽取序次，m次获得正品，都有mm次获得次品，每次都有NM种取法，共有〔NnmM种取法，共有M种取法，nM〕种取法，故P(A)CnmMm(NM)nm/Nn本题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次获得正品的概率为M，那么获得m件正品的概率为NmnmP(A)CnmM1MNN11..赐教材习题参照答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个零件上，此中有3个铆钉强度太弱.每个零件用3只铆钉.假定将3只强度太弱的铆钉都装在一个零件上，那么这个零件强度就太弱.求发生一个零件强度太弱的概率是多少？【解】设A={发生一个零件强度太弱}P(A)C101C33/C5031196013.7个球，此中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算最罕有两个是白球的概率.【解】设Ai={恰有i个白球}〔i=2,3〕，明显A2与A3互斥.P(A)C42C1318,P(A)C4342C37353C7335优异文案适用标准文档P(A222故A3)P(A2)P(A3)3514.和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：1〕两粒都萌芽的概率；2〕最罕有一粒萌芽的概率；3〕恰有一粒萌芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒萌芽}，〔i=1,2〕(1)P(A1A2)P(A1)P(A2)(2)P(A1A2)(3)P(A1AA1A2)215.3次正面才停止.〔1〕问正幸亏第6次停止的概率；〔2〕问正幸亏第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】〔1〕p1C52(1)2(1)3C14(1)(1)3115(2)p22422223225/32516.及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,那么3AiBi3)(0.3)3(0.4)3C130.7(0.3)2C130.6(0.4)2P(i0C32(0.7)232(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3优异文案适用标准文档175双不一样样的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中最罕有两只鞋子配成一双的概率.【解】p1C54C12C12C12C1213C4211018.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：〔1〕在下雨条件下下雪的概率；〔2〕这日下雨或下雪的概率.【解】设A={下雨}，B={下雪}.P(AB)〔1〕p(BA)P(A)〔2〕p(AB)P(A)P(B)P(AB)19.3个少儿，且此中一个为女孩，求最罕有一个男孩的概率〔少儿为男为女是等可能的〕.【解】设={此中一个为女孩}，={最罕有一个男孩}，样本点总数为23=8，故ABP(BA)P(AB)6/86P(A)7/87或在减少样本空间中求，此时样本点总数为7.6P(BA)720.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地精选一人，这人恰为色盲，问这人是男人的概率〔假定男人和女人各占人数的一半〕.【解】设A={这人是男人}，B={这人是色盲}，那么由贝叶斯公式P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(B)优异文案适用标准文档202121.9∶00~10∶00在公园见面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人抵达时辰为x,y,那么0≤,≤60.事件“一人要等另一人半小时以上〞等价于|x|>30.如图暗影局部所示.xyy3021P0，1〕中随机地取两个数，求：

6024优异文案适用标准文档〔1〕两个数之和小于6的概率；5〔2〕两个数之积小于1的概率.4【解】设两数为x,y，那么0<x,y<1.1〕x+y<6.514417p1125525(2)xy=<1.14p11111ln21dx1dy24244xP〔A〕=0.3,P(B)=0.4,P(AB，求P〔B｜A∪B〕【解】P(AB)P(A)P(AB)P(BAB)B)P(A)P(B)P(AB)P(A1424.15个乒乓球，此中有9个新球，在第一次竞赛中任意拿出3个球，竞赛后放回原盒中；第二次竞赛相同任意拿出3个球，求第二次拿出的3个球均为新球的概率.【解】设Ai={第一次拿出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次拿出的3球均为新球}由全概率公式，有优异文案适用标准文档3P(B)P(BAi)P(Ai)i0C63C93C91C62C83C92C16C73C93C63C153C153C153C153C153C153C153C15325.按过去概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据检查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：1〕考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？2〕考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设={被检查学生是努力学习的}，那么A={被检查学生是不努力学习的}.由题意知〔〕，〔A〕=0.2，又设={被检查学生考试及格}.由APAPB题意知P〔B|A〕，P〔B|A〕，故由贝叶斯公式知P(AB)P(A)P(BA)〔1〕P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(B)137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%P(AB)P(A)P(BA)(2)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(B)413即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.优异文案适用标准文档26.将两信息分别编码为A和B传达出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传达的屡次程度为2∶假定接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】设A={原发信息是A}，那么={原发信息是B}={收到信息是}，那么={收到信息是}CAB由贝叶斯公式，得P(A)P(CA)P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(CA)2/327.【解】设A={箱中原有i个白球}〔i=0,1,2〕，由题设条件知P〔A〕=1又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知ii3P(A1P(A1B)P(BA1)P(A1)B)2P(B)P(BAi)P(Ai)i02/31/311/31/32/31/311/3328.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误以为是次品的概率为0.02，一个次品被误以为是合格品的概率为0.05，求在被检查后以为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被以为是合格品}由贝叶斯公式得优异文案适用标准文档P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)29..统计资料说明，上述三种人在一年内发惹祸故的概率挨次为和0.30；假如“慎重的〞被保险人占20%，“一般的〞占50%，“莽撞的〞占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，那么他是“慎重的〞的概率是多少？【解】设A={该客户是“慎重的〞}，B={该客户是“一般的〞}，={该客户是“莽撞的〞}，={该客户在一年内出了事故}CD那么由贝叶斯公式得P(A|D)P(AD)P(A)P(D|A)P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)30.，假定各道工序是互相独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai={第i道工序出次品}〔i=1,2,3,4〕.4P(Ai)1P(A1A2A3A4)i11P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)131.0.2，问最少必然进行多少次独立射击才能使最少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必然进行n次独立射击.1(0.8)n优异文案适用标准文档即为(0.8)n故n≥11最少必然进行11次独立射击.32.P〔A｜B〕=P(A｜B)，那么A，B互相独立.【证】P(A|B)P(A|B)即P(AB)P(AB)P(B)P(B)亦即P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)[1P(B)][P(A)P(AB)]P(B)所以P(AB)P(A)P(B)故A与B互相独立.33.1，1，1，求将此密码破译出的概率.={第i人能破译}〔=1,2,3534【解】设i〕，那么Ai3P(Ai)1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)i1423134534.0.4,0.5,0.7，假定只有一人击中，那么飞机被击落的概率为0.2；假定有两人击中，那么飞机被击落的概率为0.6；假定三人都击中，那么飞机必然被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设={飞机被击落}，i={恰有i人击中飞机}，=0,1,2,3ABi优异文案适用标准文档由全概率公式，得3P(A)P(A|Bi)P(Bi)i0=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5××0.5×0.7)0.2+×0.5×0.3+0.4×0.5××0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×35.25%，为试验一种新药能否有效，把它给10个病人服用，且规定假定10个病人中最罕有四人治好那么以为这类药有效，反之那么以为无效，求：〔1〕固然新药有效，且把治愈率提升到35%，但经过试验被否定的概率.〔2〕新药完满无效，但经过试验被以为有效的概率.3【解】〔1〕p1C10k(0.35)k(0.65)10kk010(2)p2C10k(0.25)k(0.75)10kk436.6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率：1〕A=“某指定的一层有两位乘客走开〞；2〕B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层走开〞；3〕C=“恰有两位乘客在同一层走开〞；4〕D=“最罕有两位乘客在同一层走开〞.【解】因为每位乘客均可在10层楼中的任一层走开，故所有可能结果为106种.〔1〕C6294P(A)6，也可由6重贝努里模型：10优异文案适用标准文档21294P(A)C6()()〔2〕6个人在十层中任意六层走开，故6P10P(B)610〔3〕因为没有规定在哪一层走开，故可在十层中的任一层走开，有C101种可能结果，再从六人中选二人在该层走开，有C62种走开方式.其余4人中不可以再有两人同时走开的情况，所以可包括以下三种走开方式：①4人中有3个人在同一层走开，另一人在其余8层中任一层走开，共有C19C43C18种可能结果；②4人同时走开，有C19种可能结果；③4个人都不在同一层走开，有P94种可能结果，故P(C)C101C62(C91C34C18C91P94)/106〔4〕D=B.故6Pn个朋友随机地环绕圆桌而坐，求以下事件的概率：1〕甲、乙两人坐在一同，且乙坐在甲的左侧的概率；2〕甲、乙、丙三人坐在一同的概率；〔3〕假如n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】〔1〕p1

1n1优异文案适用标准文档(2)3!(n3)!,n3p21)!(n(3)(n1)!13!(n2)!p1;p2,n3n!nn!38.[0，a]【解】三段分x,y,axy.根本事件集由0<x<a,0<y<a,0<axy<a所组成的形，有益事件集由xyaxyx(axy)yy(axy)x组成的形，即0ax20ay2axya2如暗影局部所示，故所求概率1p.439.某人有n把匙，此中只有一把能开他的.他逐一将它去开〔抽是无放回的〕.明开k次〔k=1,2,⋯,n〕才能把打开的概率与k没关.【】Pnk111,np,k1,2,Pnkn优异文案适用标准文档40.把一个表面涂有颜色的立方体均分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地拿出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P〔Ai〕〔i=0,1,2,3〕.【解】设A={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.i在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上〔除掉八个角外〕的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上〔除掉棱〕的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000〔8+96+384〕=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为P(A0)5120.512,P(A1)38410000.384,1000P(A2)9680.096,P(A4)0.008.A，B，C1000100041.对任意的随机事件〔〕+〔〕〔〕≤().PABPACPBCPA【证】P(A)P[A(BP(AB)P(AB)

C)]P(ABAC)P(AC)P(ABC)P(AC)P(BC)42.3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，所有可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故C433!3P(A1)843而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故优异文案适用标准文档C141P(A3)1643所以P(A2)1P(A1)P(A3)131981616或C14C32C139P(A2)164343.2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.因为硬币是均匀的，故〔〕=〔〕.所以PAPB1P(C)P(A)2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为n1n1nP(C)C2n()()故1n1P(A)2[1C2n22n]n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P〔A〕=P〔B〕〔1〕当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由〔〕+〔〕=1得〔〕=〔〕PAPBPAPB当n为偶数时，由上题知nP(A)1[1Cn2(1)n]2245.+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.n优异文案适用标准文档【解】令甲正=甲出的正面次数，甲反=甲出的反面次数.乙正=乙出的正面次数，乙反=乙出的反面次数.然有〔甲乙〕=〔甲≤乙〕=〔n+1甲≤n乙〕正正反反=〔甲反≥1+乙反〕=〔甲反>乙反〕由称性知P〔甲正>乙正〕=P〔甲反>乙反〕所以P(甲正>乙正)=1246.Surething〕：假定P〔A|C〕≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，P〔A〕≥P(B).【】由P〔A|C〕≥P(B|C),得P(AC)P(BC),P(C)P(C)即有P(AC)P(BC)同原由P(A|C)P(B|C),得P(AC)P(BC),故P(A)P(AC)P(AC)P(BC)P(BC)P(B)47.一列火共有n，有k(k≥n)个游客上火并任意地.求每一内最罕有一个游客的概率.【解】Ai={第i是空的}，〔i=1,⋯,n〕,优异文案适用标准文档P(Ai)(n1)k(11)knknP(AiAj)(12)knP(AiAi2Ai)(1n1)k1n1n此中i1,i2,⋯,in1是1，2，⋯，n中的任n1个.然n全空的概率是零，于是n1)kC1n(11)kS1P(Ai)n(1i1nnS2P(AiAj)Cn2(12)k1ijnnSP(AAA)Cn1(1n1)kn1i1iinn1i1i2in1nSn0n(1)n1SnP(Ai)S1S2S3i1C1n(11)kCn2(12)k(1)nCnn1(1n1)knnn故所求概率优异文案适用标准文档n1)kCn2(12)i(1)n1Cnn1(1n1)k1P(Ai)1C1n(1i1nnn48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0怎样小，只需不停地独立地重复做此试验，那么A早晚会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A最少出现一次的概率为1(1)n1(n)49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币〔次品硬币的两面均印有国徽〕.在袋中任取一只，将它扔掷r次，每次都获得国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A={扔掷硬币r次都获得国徽}B={这只硬币为正品}由题知P(B)m,P(B)nnmnm1r,P(A|B)1P(A|B)2那么由贝叶斯公式知P(AB)P(B)P(A|B)P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(A)m1mmn2rm1n1m2rnmn2rmn50.巴拿赫〔Banach〕火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他初次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时〔不是发现空〕而另一盒恰有r优异文案适用标准文档【解】以1、2记火柴取自不一样样两盒的事件，那么有P(B1)P(B2)1r根，说明已取了2n1BB.〔1〕发现一盒已空，另一盒恰剩r次，设n次取自B盒〔已空〕，nr次取自B盒，第2n22nr次火柴视作2nr重贝努里试验，那么所求概率为r+1次拿起B，发现已空。把取21n1n1nr1n1p12C2nr(2)(2)2Cnr22rr式中2反应B1与B2盒的对称性〔即也可以是B2盒先取空〕.〔2〕前2nr1次取火柴，有n1次取自B盒，nr次取自B盒，第2nr次取自B盒，故概率为121p22C2nn1r1(1)n1(1)nr1C2nn1r1(1)2nr12222n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.那么由(qp)nCn0p0qnC1npqn1Cn2p2qn2Cnnpnq01(qp)nCn0p0qnC1npqn1Cn2p2qn2(1)nCnnpnq0以上两式相减得所求概率为p1C1npqn1Cn3p3qn31[1(qp)n]21[1(12p)n]2假定要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，那么只需将两式相加，即得p21[1(12p)n].252.设，是任意两个随机事件，求{〔A+〕〔+〕〔A+B〕〔+B〕}的值.ABPBABA优异文案适用标准文档【解】因为〔A∪B〕∩〔A∪B〕=AB∪AB〔A∪B〕∩〔A∪B〕=AB∪AB所求(AB)(AB)(AB)(AB)[(ABAB)(ABAB)]故所求值为0.设两两互相独立的三事件，A，B和CABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P〔A∪B∪C〕=9/16，求P〔A〕.【解】由P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)3P(A)3[P(A)]2916故P(A)1或3,按题设P〔A〕<1,故P〔A〕=1.44AB24ABBA54.设两个互相独立的事件和都不发生的概率为1/9，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，求〔〕.PA【解】P(AB)P(AB)1P(AB)1①9P(AB)P(AB)②故P(A)P(AB)P(B)P(AB)故P(A)P(B)③优异文案适用标准文档由A,B的独立性，及①、③式有11P(A)P(B)P(A)P(B)912P(A)[P(A)]2[1P(A)]2故11P(A)3故P(A)24或P(A)〔舍去〕33即P〔A〕=2.355.随机地向半圆0<<2axx2(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何地域的概率与地域的面积成正比，那么原点和该点的连线与x轴的夹角小于y/4【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为1πa2.暗影局部面积为21πa2a242故所求概率为πa21a21p421122π2πa56.10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.优异文案适用标准文档【解】设A={两件中最罕有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}C42P(B|A)P(AB)C1021P(A)-C6251C10257.设有来自三个地域的各10名、15名和25名考生的报名表，此中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地域的报名表，从中先后抽出两份.〔1〕求先抽到的一份是女生表的概率p〔2〕后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.B={第j次拿出的是女生表}，j=1,2.j那么P(Ai)1,i1,2,333,P(B1|A2)7,P(B15P(B1|A1)|A3)10152531(375)29(1)pP(B1)P(B1|Ai)i1310152590(2)qP(B1|B2)P(B1B2)P(B2)3而P(B2)P(B2|Ai)P(Ai)i1优异文案适用标准文档1(7820)613101525903P(B1B2)P(B1B2|Ai)P(Ai)i11(3778520)23109151425249P(B1B)220故q29P(B2)61619058.设A，B为随机事件，且P〔B〕>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小.(2006研考)解：因为P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(B)所以P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A).优异文案适用标准文档习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在此中同时取3只，以X表示拿出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的散布律.【解】X3,4,5P(X3)1C53P(X4)3C53P(X5)C42C53故所求散布律为X345P优异文案适用标准文档2.设在15只同种类零件中有2只为次品，在此中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示拿出的次品个数，求：1〕X的散布律；2〕X的散布函数并作图；(3)P{X1},P{1X3},P{1X3},P{1X2}.222【解】X0,1,2.P(X0)C13322C153.35P(X1)C12C13212.C15335P(X2)C1311.C33515故X的散布律为X012P22121353535〔2〕当x<0时，F〔x〕=P〔X≤x〕=0当0≤x<1时，F〔x〕=P〔X≤x〕=P(X=0)=

2235当1≤x<2时，F〔x〕=P〔X≤x〕=P(X=0)+P(X=1)=3435优异文案适用标准文档当x≥2时，F〔x〕=P〔X≤x〕=1故X的散布函数0,x022,0x1F(x)3534,1x2351,x2(3)1122P(X)F(),2235P(1X3)F(3)22P(1X3)P(X2P(1X2)F(2)

F(1)3434035351)P(1X3)12235F(1)P(X2)13410.35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的散布律及散布函数，并求3次射击中最少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.那么X=0，1，2，3.优异文案适用标准文档P(X0)(0.2)3P(X1)C130.8(0.2)2P(X2)C32(0.8)2P(X3)(0.8)3故X的散布律X0123P散布函数0,x00.008,0x1F(x)0.104,1x20.488,2x31,x3P(X2)P(X2)P(X4.〔1〕随机量X的散布律kP{X=k}=a，k!此中k=0，1，2，⋯，λ＞0常数，确立常数a.〔2〕随机量X的散布律P{X=k}=a/N，k=1，2，⋯，N，确立常数a.【解】〔1〕由散布律的性知优异文案适用标准文档k1P(Xk)aaek0k0k!故ae由散布律的性质知NN1P(Xk)k1k1

aN

a即a1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：1〕两人投中次数相等的概率;2〕甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，那么X~b〔3，〕,Y~b(3,0.7)(1)P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)P(X3,Y3)(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)2C310.7(0.3)2+C32(0.6)232(0.7)2(0.6)3(0.7)3(2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)优异文案适用标准文档P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)C130.6(0.4)2(0.3)3C32(0.6)20.4(0.3)3(0.6)3(0.3)3C32(0.6)2130.7(0.3)2(0.6)3C310.7(0.3)2(0.6)3C32(0.7)26.设某机场每日有200架飞机在此下降，任一飞机在某一时辰下降的概率设为0.02，且设各飞机下降是互相独立的.试问该机场需装备多少条跑道，才能保证某一时辰飞机需立刻下降而没有安闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只好赞成一架飞机下降)？【解】设X为某一时辰需立刻下降的飞机数，那么X~b(200,0.02)，设机场需装备N条跑道，那么有P(XN)200C200k(0.02)k(0.98)200k即kN1利用泊松近似np2000.024.e44kP(XN)kN1k!查表得N≥9.故机场最少应装备9条跑道.7.有一忙碌的汽车站，每日有大批汽车经过，设每辆车在一天的某时段失事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车经过，问失事故的次数不小于2的概率是多少〔利用泊松定理〕？优异文案适用标准文档【解】设X表示失事故的次数，那么X~b〔1000，〕P(X2)1P(X0)P(X1)e0.1e在五重贝努里试验中成功的次数X知足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p，那么C15p(1p)4C25p2(1p)3故1p3所以P(X4)C54(1)4210.33243设事件A在每一次试验中发生的概率为，当A发生好多于3次时，指示灯发出信号，〔1〕进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；〔2〕进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】〔1〕设X表示5次独立试验中A发生的次数，那么X~6〔5，〕5P(X3)C5k(0.3)k(0.7)5kk3(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，那么〔7，0.3〕Y~b7P(Y3)C7k(0.3)k(0.7)7kk310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧迫呼救的次数X遵照参数为〔1/2〕t的泊松散布，而与时间间隔起点没关〔时间以小时计〕.〔1〕求某一天正午12时至下午3时充公到呼救的概率；优异文案适用标准文档〔2〕求某一天正午12时至下午5时最少收到1次呼救的概率.35【解】〔1〕P(X0)e2(2)P(X1)1P(X0)1e211.设{=}=kk(1p)2kPXkC2p,k=0,1,2P{Y=m}=mpm(1p)4m,=0,1,2,3,44m分别为随机变量X，Y的概率散布，假如P{X≥1}=5，试求P{Y≥1}.9【解】因为P(X1)54，故P(X1).99而P(X1)P(X0)(1p)2故得(1p)24,9即p1.365进而P(Y1)1P(Y0)1(1p)48112.某教科书第一版了2000册，因装订等原由造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，那么(2000,0.001).利用泊松近似计算,X~bnp20002得P(X5)e2255!优异文案适用标准文档13.进行某种试验，成功的概率为3，失败的概率为1.以X表示试验初次成功所需试验的次数，试写出X的散布律，并计算X取偶数的概率.44【解】X1,2,,k,P(Xk)(1)k1344P(X2)P(X4)P(X2k)13(1)33(1)2k13444444311441(1)25414.有2500名同一年纪和同社会阶层的人参加了保险企业的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家眷可从保险企业领取2000元补偿金.求：〔1〕保险企业赔本的概率;〔2〕保险企业盈余分别好多于10000元、20000元的概率.【解】以“年〞为单位来考虑.〔1〕在1月1日，保险企业总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为，那么(2500,0.002)，那么所求概率为XX~bP(2000X30000)P(X15)1P(X14)因为n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有P(X14e55k15)1k0k!优异文案适用标准文档P(保险企业盈余好多于10000)P(300002000X10000)P(X10)e55kk0k!即保险企业盈余好多于10000元的概率在98%〔保险企业盈余好多于20000〕P(300002000X20000)P(X5)P5e55kk!k0即保险企业盈余好多于20000元的概率约为62%15.随机变量X的密度函数为f(x)=Ae|x|,∞<x<+∞,求：〔1〕A值；〔2〕{0<<1};(3)().PXFx【解】〔1〕由f(x)dx1得1Ae|x|dx2Aexdx2A0故1A.2(2)p(0X1)11xdx1e1)2e(10121(3)当x<0时，F(x)xxexedx22优异文案适用标准文档x1|x|01xx1exdx当x≥0时，F(x)edxedx222011ex21ex,x0故F(x)21ex1x0216.设某种仪器内装有三只相同的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为100f(x)=x2,x100,0,x100.求：〔1〕在开始150小时内没有电子管破坏的概率；2〕在这段时间内有一只电子管破坏的概率；3〕F〔x〕.【解】〔1〕P(X150)1501001x2dx.1003p1[P(X150)]3(2)381124327(2)2p2C33(3)9当x<100时F〔x〕=0当x≥100时()x()dxfttF优异文案适用标准文档100xf(t)dtf(t)dt100x100dt1100100t2xF(x)1100,x100故x0,x017.在区间［0，］上任意扔掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比率，试求X的分aa布函数.【解】由题意知~∪[0,]，密度函数为Xa1,0xaf(x)a0,其余故当x<0时〔〕=0Fxxf(t)dtxx1x当0≤x≤a时F(x)f(t)dtdt00aa当x>a时，F〔x〕=1即散布函数0,x0F(x)x,0xaa1,xa18.设随机变量X在[2，5]上遵照均匀散布.现对X进行三次独立察看，求最罕有两次的察看值大于3的概率.优异文案适用标准文档【解】X~U[2,5]，即f(x)1,2x530,其余P(X3)51dx2333故所求概率为pC32(2)21C33(2)3203332719.设顾客在某银行的窗口等候效力的时间〔以分钟计〕遵照指数散布1假定超出10分钟他就走开.他一个月要到银行5次，5以Y表示一个月内他未等到效力而走开窗口的次数，试写出Y的散布律，并求P{Y≥1}.【解】依题意知X~E(1)，即其密度函数为5x1e5,x0f(x)5x00,该顾客未等到效力而走开的概率为1xP(X10)e5dxe25Y~b(5,e2),即其散布律为优异文案适用标准文档P(Yk)C5k(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1P(Y0)1(1e2)520.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条行程较短但交通拥堵，所需时间X遵照〔40，102〕；第二条行程较长，但拥堵少，所需时间X服N从N〔50，42〕.1〕假定出发时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的掌握大些？2〕又假定离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路追上火车掌握大些？【解】〔1〕假定走第一条路，X~N〔40，102〕，那么406040P(X60)P1010假定走第二条路，X~N〔50，42〕，那么P(X60)PX506050(2.5)0.9938++44故走第二条路乘上火车的掌握大些.2〔2〕假定X~N〔40，10〕，那么P(X45)PX4045401010假定X~N〔50，42〕，那么P(X45)PX504550(1.25)441(1.25)优异文案适用标准文档故走第一条路乘上火车的掌握大些.设X~N〔3，22〕，1〕求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};2〕确立c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】〔1〕P(2X5)P

23X353222(1)1(1)11221P(4X10)P43X31032227722P(|X|2)P(X2)P(X2)PX323PX323222211511522221优异文案适用标准文档P(X3)P(X33-322(2)c=322.由某机器生产的螺栓长度〔cm〕~〔2〕,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.XN【解】P(|X10.05|0.12)P1(2)(2)2[1(2)]23.一工厂生产的电子管寿命〔小时〕遵照正态散布〔160，2〕，假定要求{120＜≤200}≥0.8，赞成σ最大不超出多少？XNσPX【解】P(120X200)P120160X1602001604040402140故设随机变量X散布函数为〔x〕=ABext,x0,0,x0.1〕求常数A，B；2〕求P{X≤2}，P{X＞3}；3〕求散布密度f〔x〕.优异文案适用标准文档limF(x)1A1【解】〔1〕由x得limF(x)limF(x)B1x0x0〔2〕P(X2)F(2)1e2P(X3)1F(3)1(1e3)e3(3)f(x)F(x)ex,x00,x0设随机变量X的概率密度为x,0x1,f〔x〕=2x,1x2,0,其余.求X的散布函数F〔x〕，并画出f〔x〕及F〔x〕.【解】当x<0时F〔x〕=0当0≤x<1时F(x)x0xf(t)dtf(t)dtf(t)dt0x2tdt2()x)d(t当1≤x<2时优异文案适用标准文档01xf(t)dtf(t)dtf(t)dt011xt)dttdt(21x232x22x22x12当x≥2时F(x)xf(t)dt10,x0x2,0x1故F(x)2x21,1x22x1,2x2设随机变量X的密度函数为〔1〕f(x)=ae|x|,λ>0;bx,0x1,(2)f(x)=12,1x2,x0,其余.试确立常数a,b，并求其散布函数F〔x〕.【解】〔1〕由f(x)dx1知1ae|x|dx2aexdx2a0优异文案适用标准文档故即密度函数为当x≤0时F(x)xf(x)dx当x>0时F(x)xf(x)dx11ex2故其散布函数

a2ex,x0f(x)2exx02x1exexdx220xexdxexdx202F(x)

11ex,x021ex,x02(2)由1121b1f(x)dxbxdx2dx201x2得b=1即X的密度函数为优异文案适用标准文档f(x)当x≤0时F〔x〕=0当0<x<1时F(x)x0xf(x)dxf(x)dxf(x)dx0x2xdx2当1≤x<2时F(x)x01x1dxf(x)dx0dxxdxx23101x当x≥2时F〔x〕=1故其散布函数为

x,0x11,1x20,其余0,x0x2,0x1F(x)231,1x22x1,x227.求标准正态散布的上分位点，〔1〕=0.01，求z;优异文案适用标准文档2〕=0.003，求z，z/2.【解】〔1〕P(Xz)即1即故z〔2〕由P(X得1(z)即(z)查表得z由P(Xz/2)0.0015得1(z/2)即(z/2查表得z/2优异文案适用标准文档随机量X的散布律X21013k1/51/61/51/1511/30P求Y=X2的散布律.【解】Y可取的0，1，4，9P(Y0)P(X10)5P(Y1)P(X1171)P(X1)15306P(Y4)P(X12)5P(Y9)P(X113)30故Y的散布律Y0149k1/57/301/511/30P29.P{X=k}=(1)k,k=1,2,⋯,令21,当X取偶数时Y1,当X取奇数时.求随机量X的函数Y的散布律.【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)优异文案适用标准文档(1)2(1)4(1)2k222(1)/(11)1443P(Y21)1P(Y1)3设X~N〔0，1〕.1〕求Y=eX的概率密度；2〕求Y=2X2+1的概率密度；3〕求Y=｜X｜的概率密度.【解】〔1〕当y≤0时，()()0yPYyFY>0FY(y)()P(exy)(Xlny)当y时，lnyfX(x)dx故fY(y)dFY(y)1fx(lny)11eln2y/2,y0dyyy2π(2)P(Y2X211)1当y≤1时()()0FYyPYy当y>1时F(y)P(Yy)P(2X21y)Y优异文案适用标准文档PX2y1Py1Xy1222(y1)/2fX(x)dx(y1)/2dFY(y)12fXy1fXy1故fY(y)4y22dy1121e(y1)/4,y12y12π(3)P(Y0)1当y≤0时FY(y)P(Yy)0当y>0时FY(y)P(|X|y)P(yXy)yfX(x)dxy故fY(y)dFY(y)fX(y)fX(y)dy2ey2/2,y02π31.设随机变量~〔0,1〕，试求：XU优异文案适用标准文档X〔1〕Y=e的散布函数及密度函数；〔2〕Z=2lnX的散布函数及密度函数.【解】〔1〕P(0X1)1故P(1YeX当y1时FY(y)当1<y<e时FY(y)当y≥e时FY(y)即散布函数

e)1P(Yy)0P(eXy)P(Xlny)lnydxlny0P(eXy)10,y1FY(y)lny,1ye1,ye故Y的密度函数为11yefY(y)y,0,其余〔2〕由P〔0<X<1〕=1知P(Z0)1优异文案适用标准文档当z≤0时，FZ(z)P(Zz)0当z>0时，FZ()(Z)(2lnX)zPzPzP(lnXz)P(Xez/2)21dx1ez/2ez/2即散布函数FZ0,z0(z)z01-e-z/2,故Z的密度函数为fZ(z)1ez/2,z0200,z设随机变量X的密度函数为2x0xπ,f(x)=2,π0,其余.试求Y=sinX的密度函数.【解】P(0Y1)1当y≤0时，()()0yPYyFY优异文案适用标准文档()()(sin)当0<y<1时，PYyPXyFYyP(0Xarcsiny)P(πarcsinyXπ)arcsiny2xdxπ2xdx02πarcsiny2ππ1212〔arcsiny〕1-〔π-arcsiny〕22ππ2arcsinyπ当y≥1时，FY(y)1故Y的密度函数为21,0y1fY(y)π1y20,其余设随机变量X的散布函数以下：1,x(1),F(x)1x2(2),x(3).试填上(1),(2),(3)项.【解】由limF(x)1知②填1。x优异文案适用标准文档由右连续性lim+F(x)F(x0)1知x00，故①为0。xx0进而③亦为0。即1F(x)1x2,x01,x034.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求扔掷次数X的散布律.【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。〔i=1,2〕,P(Ai)=1.且A1与A2互相独立。再设C={每次扔掷出现6点}。那么6P(C)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)111111666636故扔掷次数X遵照参数为11的几何散布。3635.随机数字序列要多长才能使数字0最少出现一次的概率不小于0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包括n个数字，那么(,0.1)X~bnP(X1)1P(X0)1C0n(0.1)0(0.9)n即(0.9)n得n≥22即随机数字序列最少要有22个数字。36.优异文案适用标准文档0,x0,〔〕=x10x1221,x1.2那么F〔x〕是〔〕随机变量的散布函数.〔A〕连续型；〔B〕失散型；〔C〕非连续亦非失散型.【解】因为F〔x〕在〔∞,+∞〕上单一不减右连续，且limF(x)0xlimF(x)1,所以F〔x〕是一个散布函数。x可是F〔x〕在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F〔x〕是非连续亦非失散型随机变量的散布函数。选〔C〕37.设在区间[,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[,]外，f(x)=0，那么区间[,]等于〔〕aabab(A)[0,π/2];(B)[0,π];()[π/2,0];(D)[0,3π].C【解】在[0,π上]2在[0,π]上

2sinx≥0，且π/2sinxdx1.故f(x)是密度函数。0πsinxdx21.故f(x)不是密度函数。0在[π,0]上sinx0，故f(x)不是密度函数。2优异文案适用标准文档在[0,3π]上，当πx3π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。22应选〔A〕。设随机变量X~N〔0，σ2〕，问：当σ取何值时，X落入区间〔1，3〕的概率最大？【解】因为X~N(0,2),P(1X3)P(1X3)(3)(1)令g()利用微积分中求极值的方法，有2得0又故0故当

g()(3)3112()2()31e9/22111/22222e21令2e1/22[13e8/22]0242,那么0ln3ln3g(0)02为极大值点且唯一。ln32时X落入区间〔1，3〕的概率最大。ln3优异文案适用标准文档39.设在一段时间内进入某一商铺的顾客人数X遵照泊松散布P〔λ〕，每个顾客购买某种物件的概率为p，而且各个顾客能否购买该种物件互相独立，求进入商铺的顾客购买这类物件的人数Y的散布律.em【解】P(X,m0,1,2,m)m!设购买某种物件的人数为Y，在进入商铺的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即P(Yk|Xm)Cmkpk(1p)mk,k0,1,,m由全概率公式有P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)mkemCmkpk(1p)mkmkm!mpk(1p)mkemkk!(mk)!e(p)k[(1p)]mkk!(mk)!mk(p)kee(1p)k!(p)kep,k0,1,2,k!本题说明：进入商铺的人数遵照参数为λ的泊松散布，购买这类物件的人数仍遵照泊松散布，但参数改变成λp.40.设随机变量X遵照参数为2的指数散布.证明：=1e2X在区间〔0，1〕上遵照均匀散布.Y优异文案适用标准文档【证】X的密度函数为2e2x,x0fX(x)x00,因为P〔X>0〕=1，故0<1e2X<1，即P〔0<Y<1〕=1当y≤0时，FY〔y〕=0当y≥1时，FY〔y〕=1当0<y<1时，F(y)P(Yy)P(e2x1y)YP(X1ln(1y))12y)ln(12x22edxy0即Y的密度函数为1,0y1fY(y)0,其余即Y~U〔0，1〕设随机变量X的密度函数为1,0x1,32f(x)=,3x6,0,其余.假定k使得{≥}=2/3，求k的取值范围.(2000研考)PXk优异文案适用标准文档【解】由P〔X≥k〕=2知P〔X<k〕=133假定k<0,P(X<k)=0k1k1假定0≤k≤1,P(X<k)=dx3303当k=1时〔<〕=1PXk3111k0dx假定1≤k≤3时P〔X<k〕=dx303111k2211假定3<k≤6，那么P〔X<k〕=dxdx9k303393假定k>6,那么P〔X<k〕=12故只有当1≤k≤3时知足P〔X≥k〕=.设随机变量X的散布函数为0,x1,0.4,1x1,F(x)=1x3,0.8,1,x3.求X的概率散布.〔1991研考〕【解】由失散型随机变量X散布律与散布函数之间的关系，可知X的概率散布为X113P43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.假定A最少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.优异文案适用标准文档【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，假定设P〔A〕=p,那么X~b(3,p)由P〔X≥1〕=19知P〔X=0〕=〔1p〕3=82727故p=13y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？44.假定随机变量X在〔1，6〕上遵照均匀散布，那么方程【解】11x6f(x),50,其余P(X240)P(X2)P(X2)P(X2)45假定随机变量X~N〔2，σ2〕，且P{2<X，那么{<0}=.PX【解】0.3P(2X4)P(22X242)2)(0)(2()故(2)所以P(X0)P(X202)(2)1(2)优异文案适用标准文档46.假定一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步伐试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不可以出厂.现该厂重生产了n(n≥2)台仪器〔假定各台仪器的生产过程互相独立〕.求1〕所有能出厂的概率α；2〕此中恰巧有两台不可以出厂的概率β；3〕此中最罕有两台不可以出厂的概率θ.【解】设A={需进一步伐试}，B={仪器能出厂}，那么A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}由题意知B=A∪AB，且P(A)P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A)P(AB)令X为重生产的n台仪器中能出厂的台数，那么X~6〔n，〕,故P(Xn)(0.94)nP(Xn2)Cn2(0.94)n2(0.06)2P(Xn2)1P(Xn1)P(Xn)1n(0.94)n1(0.94)n47.某地抽样检查结果说明，考生的外语成绩〔百分制〕近似遵照正态散布，均匀成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，那么X~N〔72，σ2〕优异文案适用标准文档X729672240.023P(X96)P1()故24查表知242,即σ=12进而X~N〔72，122〕故P(60X84)P

6072X728472121212(1)2(1)148.在电源电压不超出200V、200V~240V和超出240V三种情况下，某种电子元件破坏的概率分别为0.1，0.001和0.2〔假定电源电压X遵照正态散布N220，252〕〕.试求：1〕该电子元件破坏的概率α;(2)该电子元件破坏时，电源电压在200~240V的概率β【解】设1={电压不超出200V}，2={电压在200~240V}，AAA={电压超出240V}，B={元件破坏}。3由~〔220，225〕知XNP(A1)P(X200)优异文案适用标准文档PX2202002202525(0.8)1(0.8)P(A2)P(200X240)P200220X220240220252525(0.8)(0.8)P(A3)P(X240)1由全概率公式有3P(B)P(Ai)P(B|Ai)i1由贝叶斯公式有P(A2|B)P(A2)P(B|A2)P(B)49.设随机变量X在区间〔1，2〕上遵照均匀散布，试求随机变量2Xf(y).=e的概率密度Y【解】fX(x)1,1x20,其余因为P〔1<X<2〕=1,故P〔e2<Y<e4〕=1当y≤e2时FY〔y〕=P(Y≤y)=0.优异文案适用标准文档当e2<y<e4时，FY(y)P(Yy)P(e2Xy)P(1X1lny)21lny12dx11lny2当y≥e4时，FY(y)(Y)1Py0,ye2即FY(y)1lny1,e2ye42e41,yfY(y)1,e2ye4故2y0,其余设随机变量X的密度函数为fX(x)=

ex,x0,0,x0.求随机变量Y=eX的密度函数fY(y).(1995研考)【解】P〔Y≥1〕=1当y≤1时，FY(y)(y)0PY优异文案适用标准文档当y>1时，FY(y)()(eXy)(lny)PYyPPXlnyexdx110yFY(y)11,y>1即y0,y11y>1故fY(y)y2,0,y1设随机变量X的密度函数为f(x)=1,X求Y3x的密度函数fY=1(y).【解】FY(y)P(Yy)P(13Xy)P(X(1y)3)1dx13π(12)arctgx(1y)3(1y)xππarctg(1y)32优异文案适用标准文档fY3(1y)2故(y)π1(1y)652.假定一大型设施在任何长为t的时间内发生故障的次数〔〕遵照参数为λt的泊松散布.Nt〔1〕求接踵两次故障之间时间间隔T的概率散布；〔2〕求在设施已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运转8小时的概率Q.〔1993研考〕【解】〔1〕当t<0时，FT(t)P(Tt)0当t≥0时，事件{>}与{()=0}等价，有TtNtFT(t)P(Tt)1P(Tt)1P(N(t)0)1et即FT(t)1et,t00,t0即间隔时间T遵照参数为λ的指数散布。〔2〕eQP(T16|T8)P(T16)/P(T8)e

16e853.设随机变量X的绝对值不大于1，{=1}=1/8，{=1}=1/4.在事件{1<<1}出现的条件下，X在{1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子PXPXX区间长度成正比，试求X的散布函数F〔x〕=P{X≤x}.(1997研考)【解】明显当x<1时〔〕=0；而x≥1时〔〕=1FxFx由题知P(1X1)1115848x1当1<x<1时，P(Xx|1X1)2此时F(x)P(Xx)优异文案适用标准文档P(X,1X1)P(Xx,X1)P(Xx,X1)P(Xx,1X1)P(Xx,x1)P(Xx|1X1)P(1X1)P(X1)x1515(x1)1288168当x=1时，F(x)P(Xx)P(X1)18故X的散布函数0,x1F(x)51-1x<1(x1),1681,x12听从正态散布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小.54.设随机变量X听从正态分N〔μ1,σ1),Y(2006研考)解：依题意X1N(0,1)，Y2N(0,1)，那么12P{X1P{Y2

1}P{X11}，111}P{Y21}.22优异文案适用标准文档因为P{X11}P{Y21}，即P{X11}P{Y11

1}，22所以有11，即12.12习题三1.将一硬币扔掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的结合散布律.【解】X和Y的结合散布律如表：X0123Y优异文案适用标准文档101111321110C32228C32223/831001111822282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在此中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的结合散布律.【解】X和Y的结合散布律如表：X0123Y000C32C223C33C122C7435C743510C13C12C226C32C12C1212C33C122C7435C7435C74352P(0黑,2红,2白)=C13C22C126C32C2230C22C22/C741C7435C7435353.设二维随机变量〔X，Y〕的结合散布函数为ππF〔x，y〕=sinxsiny,0x2,0y20,其余.优异文案适用标准文档求二维随机变量〔X，Y〕在长方形域πππ内的概率.0x,y346【解】如图P{0Xπππ,Y}公式(3.2)463ππππππF(,)F(,)F(0,)F(0,)434636ππππππsinsinsinsin6sin0sinsin0sin43436(31).4题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。设随机变量〔X，Y〕的散布密度Ae(3x4y),x0,y0,f〔x，y〕=其余.0,求：〔1〕常数A；优异文案适用标准文档2〕随机变量〔X，Y〕的散布函数；3〕P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】〔1〕由f(x,y)dxdyAe-(3x4y)dxdy00得A=12〔2〕由定义，有(,yx(,)ddFxy)fuvuvyy4v)dudv(1e3x)(1012e(3u00,(3)P{0X1,0Y2}

A112e4y)y0,x0,0,其余P{0X1,0Y2}12(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.12e0设随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=1〕确立常数k；2〕求P{X＜1，Y＜3}；3〕求P{X<1.5}；4〕求P{X+Y≤4}.【解】〔1〕由性质有

k(6xy),0x2,2y4,0,其余.优异文案适用标准文档24f(x,y)dxdyk(6xy)dydx8k1,02故1R8〔2〕P{X1,Y3}13f(x,y)dydx1313k(6xy)dydx0288(3)P{X1.5}f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdyD141y)dy27dx(6x.02832(4)P{XY4}f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdyXY4D224xdx02

1(6xy)dy2.83题5图6.设X和Y是两个互相独立的随机变量，X在〔0，〕上遵照均匀散布，Y的密度函数为优异文案适用标准文档fY〔y〕=求：〔1〕X与Y的结合散布密度；〔2〕P{Y≤X}.

5e5y,y0,0,其余.题6图【解】〔1〕因X在〔0，0.2〕上遵照均匀散布，所以X的密度函数为10x0.2,,fX0,其余.而fY(y)所以f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)

5e5y,y0,0,其余.优异文案适用标准文档15e5y25e5y,且0,0x0.2y0,其余.0,(2)P(YX)f(x,y)dxdy如图25e5ydxdyyxDdxx25e-5ydy(5e5x5)dx000=e-10.3679.7.设二维随机变量〔X，Y〕的结合散布函数为〔，〕=(1e4x)(1e2y),x0,y0,Fxy0,其余.求〔，〕的结合散布密度.XY【解】f(x,y)2F(x,y)8e(4x2y),x0,y0,xy0,其余.8.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=4.8y(2x),0x1,0yx,0,其余.求边沿概率密度.【解】()(,)dfXxfxyy优异文案适用标准文档x2(2x),0x1,=4.8y(2x)dy00,其余.0,fY(y)f(x,y)dx14.8y(2x)dx2.4y(34yy2),0y1,=y0,其余.0,题8图题9图9.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为ey,0xy,f〔x，y〕=其余.0,求边沿概率密度.【解】()(,)dfXxfxyy优异文案适用标准文档=eydyex,x0,x0,其余.0,fY(y)f(x,y)dxyydxyex,y0,=e00,其余.0,题10图10.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为cx2y,x2y1,f〔x，y〕=其余.0,1〕试确立常数c；2〕求边沿概率密度.【解】〔1〕f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdyD112ydy4c1.=dxx2cx-121优异文案适用标准文档c21.4fX(x)f(,y)dy(2)1212ydy212(1x4),1x1,2xxx480,0,其余.fY(y)f(x,y)dxy21x2ydx7y52,0y1,0,y420,其余.设随机变量〔X，Y〕的概率密度为1,yx,0x1,f〔x，y〕=其余.0,求条件概率密度fY｜X〔y｜x〕，fX｜Y〔x｜y〕.优异文案适用标准文档题11图【解】fX(x)f(,)dyxyx1dy2x,0x1,x0,其余.11y,1y0,1dxyfY(y)f(x,y)dx11y,0y1,1dxy0,其余.所以f(x,y)1|y|x1,fY|X(y|x),fX(x)2x0,其余.1,yx1,1yfX|Y(x|y)f(x,y)1,yx1,fY(y)1y0,其余.12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.〔1〕求X与Y的结合概率散布；优异文案适用标准文档2〕X与Y能否互相独立？【解】〔1〕X与Y的结合散布律以下表Y345X1112233C5310C5310C5310201122C5310C531030011C5210P{Yyi}136101010(2)因P{X61611,Y3},1}P{Y3}10100P{X1010故X与Y设二维随机变量〔X，Y〕的结合散布律为X258Y〔1〕求对于X和对于Y的边沿散布；

P{Xxi}610310110优异文案适用标准文档2〕X与Y能否互相独立？【解】〔1〕X和YX258{i}PY=yYP{Xxi}(2)因P{X2}P{Y0.4}P(X2,Y0.4),故X与Y不独立.14.设X和Y是两个互相独立的随机变量，X在〔0，1〕上遵照均匀散布，Y的概率密度为fY〔y〕=1ey/2,y0,2其余.0,〔1〕求X和Y的结合概率密度；〔2〕设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.1,0x1,1yy1,fY(y)e2,【解】〔1〕因fX(x)其余;20,0,其余.故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)1ey/20x1,y0,20,其余.优异文案适用标准文档题14图(2)方程a22XaY0有实根的条件是(2X)24Y0故X2≥Y，进而方程有实根的概率为：P{X2Y}f(x,y)dxdyx2y1x21y/2dydxe00212[(1)(0)]0.1445.15.设X和Y分别表示两个不一样样电子器件的寿命〔以小时计〕，并设X和Y互相独立，且遵照同一散布，其概率密度为f〔x〕=10002,x1000,x其余.0,优异文案适用标准文档求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的散布函数FZ(z)P{Zz}P{Xz}Y(1)当z≤0时，FZ(z)02〕当0<z<1时，〔这时当x=1000时,y=1000〕(如图a)zFZ(z)1062dxdy103dyyz106x2y103x2y2dxxzyz=103106z103zy3dyzy22题15图(3)当z≥1时，〔这时当y=103时，x=103z〕〔如图b〕1062dxdy3dyzy106FZ(z)2y3x2y2dxxx1010yz优异文案适用标准文档1031061=103y2zy3dy12z11,z1,2z即fZ(z)z,0z1,20,其余.12,z1,2z故fZ(z)1,0z1,20,其余.16.设某种型号的电子管的寿命〔以小时计〕近似地遵照N〔160，2只，求此中没有一只寿命小于180的概率.20〕散布.随机地采纳4【解】设这四只寿命为i(i=1,2,3,4)，那么i~〔160，202〕，XXN进而P{min(X1,X2,X3,X4)180}Xi之间独立P{X1180}P{X2180}P{X3180}P{X4180}[1P{X1180}][1P{X2180}][1P{X3180}][1P{X4180}]优异文案适用标准文档4[1P{X1180}]4118016020[1(1)]4(0.158)40.00063.X，Y是互相独立的随机量，其散布律分P{X=k}=p〔k〕，k=0，1，2，⋯，P{Y=r}=q〔r〕，r=0，1，2，⋯.明随机量Z=X+Y的散布律i{=}=，，，，⋯p(k)q(ik).i=012k0【明】因X和Y所有可能都是非整数，所以{Zi}{XYi}{X0,Yi}{X1,Yi1}{Xi,Y0}于是iiP{Zi}P{Xk,Yik}X,Y互相独立P{Xk}P{Yik}k0k0ip(k)q(ik)0X，Y是互相独立的随机量，它都遵照参数n，p的二散布.明Z=X+Y遵照参数2n，p的二散布.【明】方法一：X+Y可能取0，1，2，⋯，2n.优异文案适用标准文档kP{XYk}P{Xi,Yki}i0kP(Xi)P{Yki}i0knininkinkipqpqki0iiknnpkq2nkikii02npkq2nkk方法二：μ1,μ2,⋯,μn;μ1′,μ2′,⋯，μn′均遵照两点散布〔参数p〕，X=μ1+μ2+⋯+μn，Y=μ1′+μ2′+⋯+μn′,XYμ1+μ2+⋯+μn+μμ2′+⋯+μn′,+=1′+所以，X+Y遵照参数〔2n,p)的二散布.随机量〔X，Y〕的散布律X012345Y00123求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；2〕求V=max〔X，Y〕的散布律；优异文案适用标准文档3〕求U=min〔X，Y〕的散布律；4〕求W=X+Y的散布律.【解】〔1〕P{X2|YP{X2,Y2}2}P{Y2}P{X2,Y2}15,P{Xi,Y2}2i0P{Y3|XP{Y3,X0}0}P{X0}P{X0,Y3}13;P{X0,Yj}3j0〔2〕P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}i1ii0,1,2,3,4,5P{Xi,Yk}P{Xk,Yi},k0k0所以V的散布律为V=max(X,Y012345)P0优异文案适用标准文档(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}35i0,1,2,3,P{Xi,Yk}P{Xk,Yi}kiki1于是U=min(X,Y)0123P近似上述过程，有W=X+Y012345678P0雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点〔X，Y〕在屏幕上遵照均匀散布.1〕求P{Y＞0｜Y＞X}；〔2〕设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因〔X，Y〕的结合概率密度为优异文案适用标准文档f(x,y)P{Y0,YX}〔1〕P{Y0|YX}P{YX}f(x,y)d0yxf(x,y)dyxπR1d2rdrπRπ/405πR12rdr4dπRπ/403/83;1/24

12,x2y2R2,πR0,其余.(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}1P{X0,Y0}1f(x,y)d113.x044y021.设平面地域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量〔X，Y〕在地域D上遵照均匀散布，求〔X，Y〕对于X的边沿概率密度在x=2处的值为多少？优异文案适用标准文档【解】地域D的面积为S0e221dxlnx1e1x

题21图〔X,Y〕的结合密度函数为f(x,y)1,1xe2,0y1,2x0,其余.〔X，Y〕对于X的边沿密度函数为1/x111x2fX(x)dy,e,022x0,其余.所以fX1(2).XY4XY22.设随机变量和互相独立，下表列出了二维随机变量〔，〕结合散布律及对于和的边沿散布律中的局部数值.试将其余数值填入表中的空白XY处.Yy1y2y3P{X=xi}=piXx11/8x21/8优异文案适用标准文档P{Y=y}=p1/61jj2【解】因P{Yyj}PjP{Xxi,Yyj},i1故P{Yy}P{Xx,Yy}P{Xx,Yy},11121进而P{Xx1,Yy1}11168.24而X与Y独立，故{}{}{,},PXxiPYyjPXxiYyi进而P{Xx1}1P{Xx1,Yy1}1.624即：P{Xx1}1/11.2464又P{Xx}P{Xx,Yy}P{Xx,Yy}P{Xx,Yy},1111213即111P{Xx1,Yy3},42481.进而P{Xx1,Yy3}1,123同理P{Yy2}P{Xx2,Yy2}283P{Yyj}1,故P{Yy3}1111又62