5.4 导数与函数的极值、最值 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版)

导数与函数的极值、最值1极值的概念若在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,则a称为函数y=f(x)的极小值点，若在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b称为函数y=f(x)的极大值点，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．PS：①把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”，如下图；②极值是“函数值y”，极值点是“自变量x值”，如下图有极大值f-1和f(1)，极小值f-2和f(2)，极大值点-1和1，极小值点-2和③对于极值还有特别强调一下Eg设x0是函数y=fxA.必有f'x0=0C.f'x0=0或f'x0解析：函数fxf'但x<0时，f'x>0故根据极值的定义，0不是函数fx=又如函数gx当x<0时，g'x=-1<0；所以gx在x=0处取到极值，但在导数不存在；故选C总结①若fx可导，且x0是②若x0是f'x③定义很重要.2求函数的极值的方法解方程f'(x)=0，当(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧3函数y=f(x(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【题型一】极值的概念【典题1】【多选题】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，A．∀x∈R,f(x)≤f(x0) B．C．-x0是-f(x)的极小值点 D．-x0【典题2】如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则Fx=fx-kx有A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个零点 C．0个零点 D．2个极小值点，无极大值点【典题3】若函数f(x)=12x2-x+alnx有两个不同的极值点，巩固练习1(★)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，函数gx=x-1f'(x)的图象如图所示A．f(x)在(-∞,-2),(1,2)上为减函数B．f(x)在(-2,1),(2,+∞)上为增函数C．f(x)的极小值为f(-2)，极大值为f(2)D．f(x)的极大值为f(-2)，2(★)已知函数f(x)=lnxex的极值点为x=x0，A．(0,12) B．(12,1)3(★★)若函数fx=x2-(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值，则实数a4(★★)若函数f(x)=x3-(a2+3)x2+2ax+3在x=25(★★★)若函数fx=x3-3ax2+12x(a>0)【题型二】求函数极值【典题1】已知函数fx=xlnx+x2,x0是函数A．0<x0<1C．f(x0)+2【典题2】讨论f(x)=x2【典题3】讨论函数f(x)=xlnx-【典题4】若f(x)=ln(x+1)+a(x(1)求a的取值范围；(2)证明f(x)的极小值小于-2ln2+1巩固练习1(★★)函数f(x)=x2(ex+1-1)(e为自然对数的底数A．f(x)在R上只有一个极值点 B．f(x)在R上没有极值点 C．f(x)在x=0处取得极值点 D．f(x)在x=-1处取得极值点2(★★)若x=1是函数f(x)=x2+ax-1ex的极值点，则f(x)的极大值为3(★★)设函数f(x)=ex(sinx－cosx)(0≤x≤2021π)，4(★★★)已知函数f(x)=exx+k(lnx-x)，若x=1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是5(★★★)讨论f(x)=x-126(★★★★)已知函数f(x)=e(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a>0时，设f(x)有两个不同的极值点x1,x2，且x1<【题型三】求函数最值【典题1】下列不等式中恒成立的有()A．lnx+1≥xx+1C．ex≥x+1 D【典题2】若函数fx=23x3-ax2【典题3】已知函数fx(1)当a>0时，求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值．(2)在条件(1)下，当最小值为-2时，求a的取值范围．巩固练习1(★)【多选题】已知函数fx=13x3+x2-2A．－2 B．－1 C．0 D2(★★)【多选题】设f(x)=sinxxa，x∈[πA．当a=-1时，M>32 B．当a=1C．当a=2时，M<3 D．当a=3时3(★★★)已知函数f(x)=1+ln(1+x)x(x>0)，若f(x)>kx+1恒成立，A