课件-高阶偏导数和极值

函数zfx,y)z 2z

z2z xx

fxx(x,

yy

fyy(x,z 2z

z2z

(x,yx

fxy(x,

xy

例设ueaxcosby，求二阶偏导数 uaeax

ubeaxsin2u

a2eax

b2eaxcos2u

2uabe

sin

sin

x3例2设fx,y

x

(x,y)0 (x,y)0求fx,y)在(0,0)的二阶混合偏导数 当(x,y)(0,0)时3x2y(x2y2)2xx3y

3x2 2x4fx(x,y)

(x2y2

x2 (x2y2)2fy(x,y)x2

2x3y2 (x2y2)2当(x,y)(0,0)时 按定义可知f(0,0)limf(x,0)f(0,0)lim0

x0f(0,0)limf(0,y)f lim0

y03x2 2x4fx(x,y)

y2(x2y2)2按定义

fy(x,y)x2

2x3y2 (x2y2)2 (0,0)limfx(0,y)fx(0,0) (0,0)limfy(x,0)fy(0,0) 显 fxy(0,0)fyx10如果函数zfxy)的两个二阶混合偏导数2z及2z在区域D内连续，那么在该区域内 说明二阶混合偏导数在连 的条件下，与求导次 无关同样高阶混合偏导数在偏 数连续的条件下，与求导次 无关例 uf(x,y,z)的三阶混合偏导 (关 x,y,z)共有6个3u3u3u3u3u3uxyxzyxyzzxzy只要它们都连续 则它们都相等 证明：若u1， x2y2z2，2u2u2u

简记为ux y z

x2y2z证 u1x2y2z

x y z 2u

3x

3xx

得2u

3y2

2u

3z2y2

z

2u2ux y z

3

3(x2y2z2

zfy

2 2

xf(u)有二阶导数x2

f

y y

x

x2

f(f 2

yy2f

y2yf

3

xx

xx2z f

y yf

y1

x x3

x x2注利用链式法则求高阶偏导数时，防止漏项．例5已知ufx,xy, fu,v,w有二阶连偏导数，求uxy x解:uxf1x,xy,xyzyf2x,xy,xyzu(ux x33yzfx,xy, 33zuxyf12xf13xzf2yf22xf23zf3yzf32xf33xf12xzf13f2xyf222zf3xyz2例6.已知zfx2y2exyzxy

fu,v有二阶连续解: fx2y2,exy2xf

y2,e

exy 2y exy

2y

xexyexy f2xexyyexy

z(z) 4xyf11

y2

2 2 函数zzx,y由所确定ezxyz0，求zxx解 zx

ez

xyz xzzxx

zxxzxzzxzxxzxz22zz2xzzf(xy实际应用中常常使用等值线来反映函数zhzf(xyzf(x,Czxyf(x,y)C(h):

zChhz=f(xyC(h){(x,y) f(x,y)hugxyz但可用等值面C(h){(x,y,z) g(x,y,z)h例作出曲面z=xy的等值线 hh0h h 用z=hhh0h hxyC(h):

z第七节定义:设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,如果在该邻域内f(x,y) f(x0,y0),(x,y)(x0,y0)则称z=f(x,y)在点x0y0)有极大值fx0y0例1函数z3x24在(0,0)

x2x2在(0,0)

函数z在(0,0)

设z=f(x,y)在点x0y0)具有偏导数且有极值,fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)不妨设zfxy)在点x0y0处有极大值则对于x0y0的某邻域内任xyx0y0都有fx,y)fx0y0,故当yy0xx0时，有fx,y0fx0y0,fxy0在xx0处有极大值必 fx(x0,y0)满足方程组

fx(x,y)

(x,y

f(x,y) 的 (3).驻点不一定是极值点但z(0,0)既不是极大值也不是极小值(2).偏导数不存在的点可能为极值点

x2例如:函数z 在(0,0)点两个偏导x2结论：极值点一定是临界点，定理13 fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0 Af

(

,

),Bf

(

,

),C

yy(

,y0 (1).ACB20时 f(x0,y0)是极值(2).ACB20时,不是极值(3).ACB20时,不一定是极值求函数zfx,y)第一 解方程 fx(x,y) fy(x,y)第二 对于每一个驻点(x0,y0求出二阶偏导数的值A、B、第三 定出ACB2的符号，再判定是否是极值 例求fx,yx3y33x23y29x的极值fxx,y3x26x9

fy(x,y)3y

6y

(1,0),(1,2),(-3,0),(-Afxx6x6,Bfxy0,Cfyy6y在(1,0):AC

0,A

f(1,0)=-5是极小值在(1,2)及(-3,0):ACB20,不是极值在(-3,2):ACB20,A 求函数fx,yy34y29y4xy6xx2

Fx4y62x

得驻点(1,1), 3y28y94x Hf ff f

6yH(1,1)12H(5,1)12 fxx(5,1)2函数fx,y)的极小值为f(5,1)11,

x2y2z22x6z6

zfx,y解：两边对x,y求偏导2x2zzx26zx 2y2zzy6zy z x1z 3y y 3

xy z7,z2x2zzx26zx 2y2zzy6zy

22z2

22z2 2zxzy2zzxy6zxyAz

2z

,Bzxy

0,Cz

2z6当z7时，A10,B0,C1ACB2 当z-1时，A10,B0,C1ACB2

将函数在D内的所有临界点处的函数例 求二元函数zf(x,y)x2y(5x在直xy4xy轴所围成的闭区域xyDoxxyDox 如图,先求函数在D内的驻点xf(x,y)2xy(5x

xy)x

yfy(x,y)x(5xy)2(5,5

x2y 得区域D内唯一驻点2

,且f ) yxyox再求fxyox在边界x0y0上fx,y)在边界xy4上，即y4 (0x于是f(x,y)x2(4x), (0xf'(x)8x3x20,x83

f(0),f(4),f Dxx,xA1[(242x)(242x2xcos)]x2

24xsin2x2sinx2sincos,(0x12,02Ax

可以解得驻点:

,xAA 例6用铁板作一容积为V的无盖长方箱,尺寸怎样时,用料最省解：设长宽高分别为x,y,Sxy2yz2xzx0,y0,z 而V=xySxy2V2V,(x0,y S y2VS x33Sy

x2V

驻 xy

z33条件极值:例如,求zfx,y)在条件x,y)作函数Fx,yfx,yx,Fx(x,y,)fx(x,y)x(x,y)Fy(x,y,)fy(x,y)y(x,y)

F(x,y,)(x,y).Sxy2yz2xz在条件Vxyz解：Fx,yzxy2yz2xzxyzVFx(x,y,z,)y2zyzyF(x,y,z,)x2zxzyF(x,y,z,)2y2xxy F(x,y,z,)xyzV33解出条件驻点:xy332试证明其体积不超过4p3 Vx22(xy)6 令Fx2y（xy3F2xyFx2Fxy3p

Vmax(2p)2p4x2y20要找函数ufx,yzt)在条(x,y,z,t)0，(x,y,z,t)下的极值F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)2(x,y,z,t Fx Fyz Fz Ft(x,y,z,t)x,y,z,t)例.抛物面zx2y2xyz截成一个椭圆解：设(x,y,z)为椭圆上一点,则x,y,z满足zx2y及xyzx2x2y2

令ux2y2Fx2y2z2(zx2y2)(xyz Fx2x2x12 2y2y 解得33 33 Fz2z12 zx2 xyz9 1最短距离9 1

xy9393

12

,z2例在第一卦限作x2y2z2的切平面，使得与三个坐标面解：设切点为(x0,y0,z0 (x00,y00,z0则切平面方程 x0(xx0)y0(yy0)z0(zz0) x0xy0yz0z V1 x0y0222 222设Fx,yz)

(x2y2z

则

2x3 x23

解

y 1

2y

xy2

此时V取得最小值