高数课件复合函数求导法则

第四复合函数先回忆一下一元复合函数的微分法则

(x)可导，则复合函y

x的导数为

dydudu那么为什么还要介绍多元复合函数的微分呢这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函如z

f(x2

y2,

它是

z

(u,v)及u

x2

y2,v

复合而成由于 没有具体给出

在求

z一、多元复合函数求导的链式法定理.zutvtzutvt

z

(u,t可导

dzzduzd d vd证:t取增量△t有增量△u,△v

z

zu

z

o(zt

zut

zvt

o(

( (u)2(u)2

0,

v0,ut

dto(o(

vt dtzuzutvt((△t＜0时,根式前加“–”dzdzzduzd dvd推广

设下面所涉及的函数都可微中间变量多于两个的情形例如

z

(u,v,w)utzvtwutzvtwt

(t),v

(t),

w

dzd

z d

dt

z

dwdtf1

zuxvyzuxvyyz

(u,v)

u

(x,

y),

v

(x,z

z

f

fx u

v

zz

又如,z

f(x,v),

v

(x,当它们都具有可微条件时zxx zxx

fz

zxvxzxvxy

与

x xz表示固定y对x求导 f表示固定v对x求x x: 设z

xsinx,dzd解令zxy解

ysinx,xdzd

zzd yd yxy1

xy

xcosxsinx

x xx例设

sint，而u

et

cost求全导数dz

zdu

z

vet

usin

coset

et

et(cos

sint)

t. 设

sinv

ux2y2

vxx

zuvxzuvxy解z解

u

zv

v2xy2

eucosvex2y2

2xy2

y)

cos(x

y)) 设

sinv

ux2y2

vxx

zuvxzuvxy解z解

u

zv

v2x2y

eucosvex2y2

2x2ysin(x

y)cos(x

y)) 设z解z解

f(x2

y21

exy)

z z (x2

y2 (exy 2x

f2 fyexyf z2yf1xexy 设函数z

f(x,u,v),

y,u)ug(x,

y均可微,

z

zxguvxguvxyzffvxyugxy解

设函数z

f(x,u,v),

y,u)ug(x,

均可微,

z

z解x 解

z

fu

gxv ug

vxy

uy例.设f具有二阶连续偏导数求wx

xw,f1,w,f1, xyzxy

yz,v

xyz,wwx

(u,

yzf2(xyz,xyz)2

f

xy

fxz

22xy

y(x

xy2

二、全微分形式不变设函数z

f(u,v)具有连续偏导数，则有全微dz

zdu

zdv;当

(

y)、

(x,y)时，有dz

zdx

zdy全微分形式不变性的实质无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、的函数，它的全微分形式是一样的dz

zdx

zzu

zv

zu

zvu

x

u

yzudx

udy

zvdx

vdyu

v

z

dv.且作微分运算的结果对自变量

dx,dy, 设

uxy,

vxy应用全微分形式不变性求

解dz解

zdu

zddzdzzdxzdy比较

v(ydxx

y)

cos

xdy)exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]dzexy[ysin(zexy[ysin(xy)cos(x

y)

cos(x

y)]d 设

uxy,

vxy应用全微分形式不变性求

解dz解

zdu

zddzdzzdxzdy比较

v(ydxx

y)

cos

xdy)exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]dzexy[xsin(zexy[xsin(xy)cos(x

y)

cos(x

y)]d总结：关于多元复合函数求求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几运用公式：①用图示法表示出函数的②函数对某个自变量的偏导数的结（项数及项的构成③弄

fu(u,v),

fv(u,v)

的结构是求抽象的数的二阶偏导数的关fu(u,v),

fv(u,v)

仍是复合函且复合结构与原f(u,v完全相即仍是u,v为中间变xy为自变量的因此，求它们关于x, 的偏导数时必须使链式法z

fu(u,v)v

fu(u,v)]fv(u,v)]

fvu

uu

fuvfvv在具体计算中最容易出错的地方是fu(u,v)

再求偏导数这一原因就是不注

fu(u,

是与f(u,v 有相同结构的复合函数，易被误认为仅是