配套课件幂函数与二次函数

幂函数与二次函【知识梳理幂函y=x_(α∈R)

自变幂函数

1x2，y=x-1函1y=xy=x-定义RR值R奇偶奇函偶函奇函非奇非函奇函函1y=xy=x-单调在R单递上单调递减在上单调递在R上上单调递和上单调递图公共(2)定义RR[4acb2,4acb2]单调(,b 上递减[b, 上递(,b 上递增[b, 上递奇偶当b=0对称函数的图象关于x 成轴对 【考点自测1.(思考)给出下列命题1①函数y=2x 是幂函数②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定③当n<0时，幂函数y=xn是定义域上的减④二次函数y=ax2+bx+c，x∈[m，n]的最值一定⑤关于x的不等式ax2+bx+c>0恒成立的充要

4ac其中正确的是

b∉[m，n]时，二次函数的最值，在区间端点达到.4ac.

函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5，-3 A.先减后 B.先增后C.单调递 D.单调递已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方，则a的取值范围是

1 B.(,1 C.(1 D.(1 【解析】选C.由已知

14a

解得a>1【加固训练1.(2015·三明模拟)当α∈2

时，幂函数y=xα的图能经过的象限是 A.第二象 B.第三象C.第四象 D.第二、四象1【解析】选D.y=x-1的图象经过第一、三象限，y=x 1一象限，y=x的图象经过第一、三象限，y=x3限，故选2.(2015·福州模拟)若x≥0，y≥0，且x+2y=1，那么2x+3y2的最值为 B.4

C.3

设t=2x+3y2，把x=1-2y代入，得t=2-)2

在[1 上递减，所以当y=1时，t取到最小值，tmin=3，即2x+3y2的最小 34考点1幂函数及其图象与性

1 1 1a )3，b )3,c )3 (2)已知幂函数

xm2

(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在 +∞)上是减函数，求满足(a+12<(3-2a2的实数a的取值范围

2222所 22a

3 是减

)x21 21所 a

c3 2又 2 3

}.3【易错警示】注意对所求值的检本例第(2)题在求得m的值后要注意检验是否符合题意，否则易导致错解.【规律方法利用幂函数的单调性比较幂值大小的技结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用.幂函数的指数与图象特征的关当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图α取图特殊过过凹凸下上下单调递递递举1y=x1y=x-1，y=x3x2【变式训练】(1)函数 的图象大致是3x2【解析】选

3x2x3x2

，其定义域为x∈R，排除又03

<1，图象在第一象限为上凸的，排除D，故选1(2)(2015·南平模拟)已知f(xx的是 A.fafbf(1)f(1

若0<a<b<1，则下列 ) )fbfa C.fafbf(1)f(1 )faf( )fb 1 1

x

【加固训练如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是 -①y=x3,②y=x,③y=x21①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x-

2,④y=x- -①y=x3,②y=x2,③y=x【解析】选B.根据常见幂函数的图象判断或取特殊值，逐个验知B正确已知0≤α≤5且α∈Z，若幂函数y=x3-α是R上的偶函数，则α的值为)【解析】选A.根据0≤α≤5且α∈Z，得：α=0，1，2，3，4，5.函数y=x3-α为R上的偶函数的α的值为1，则α的取值为已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3在(0

m2m1 答案：-

5m

m=-考点2利用二次函数的图象与性质求解二次函数问 OP(2)如图直角梯形OABC位于平面直角坐标系中，其中OC=1，BC=1，OA=2，动点P从C出发沿折线段CBA运动到A(包括端点)，设点P的横坐标为x，函数f(x)=OP①求函数y=f(x)的解析式②作出函数y=f(x)的草图，并求f(x)的单调递增区间③若函数y=f(x)-c有零点，求c的取值

O=(x,1)，2-y=OP2x)-1=-x2+2x-O=(x,2-2PAx(2-

6xxx120x

2(x

3)2

x ].2③由图象知，f(0)=-1,f( 若函数y=f(x)-c有零点

2【互动探究】若本例(2)条件不变，求函数y=f(x)的最大【解析】由本例(2)的函数图象

fx

f 【规律方法求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法及类二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y=a(x-m)2+n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x=m，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外.顶点固定，区间变动，这时要区间中的参数提醒：的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值.根据二次函数的单调性，结合二次函数图象的开口方向及升、降情况对对称轴进行分析、 ，进而求解.x logx 1222222x logx 1222222

x

2x的

2=2(logx

1)2 2当logx=-122

14答案4【加固训练已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a(x

3)2

fx

f(3) f(x)max=f(3)=15[4

x2a1.2①当2aa≥- a-3a<-时 f(x)max=f(-1)=-2a-综上可知a=-1或-3已知函数f(x)=ax2- 函数f(x)的单调性3

≤a≤1,且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a为N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表在(2)的条件下,求证:g(a12 a所以函数f(x)在(-∞,a

a a所以函数f(x)在(-∞,a

1a(2

fxa(x

1 1≤a≤1得1≤3, 所以Naf1)11 当1≤＜2，即＜a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5，故g(a)=9a+- 当

1M(a)=f(1)=a-1,故g(a)=a+- a12,a[1,1所以ga

3 9a (3)当a∈[1时 3

a213，1] 2

a2,122

2

)=2故g(a)≥2考点3利用二次函数的图象与性质求解一元二次方程、【考情】二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点，常以选择、填空题的形式出现，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题，同时考查函数与方程、数形结合、转化与化归思想.【典例3】(1)(2015·广州模拟)若当x∈(1，2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围为 .(2)已知二次函数①若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，求实数b，c②若f(x)满足f(1)=0，且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3，-2)，(0，1)内，求实数b的取值范围.

1f21m4

42m4(x4xx

x2

x1x2x 即2b

c记g35g21则g01g1b

1＜b＜5 即b的取值范围为(155【通关锦囊高考指重点题策略方法一：先构建相应的二次函求解一元结合二次函数的图象与性质构式(组)求先构建二次函数，再转化为二求解一元图象与x轴的交点落在某区间上的问题分析：①开口方向；②对称轴③判别式；④端点值符【关注题型有关方程的根的个问数的图象与其他函数点个数问题求【特别提醒】当所研究的方程、不等式二次项系数a与0的关系不明确时，要分类.【通关题组1.(2015·龙岩模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0)，已知f(m)<0，

，f(0)=a>0，22.(2015·厦门模拟)已知函数f(x)=

若x

4x，xax-1恒成立，则实数a的取值范围是 A.(-∞，- B.[- C.(-∞，-1]D.[-【解析】选B.在同一直角坐标系出3.(2015·模拟)设函数f(x)=x2-23x+60，g(x)=f(x)+|f(x)|，则g(1)+g(2)++g(20)等于( ) 【解析】选B.由二次函数图象的性质得：当3≤x≤20时4.(2015·宁德模拟)已知不等式

3x2-3x+4≤b4则 ，且a+b的值

3x2-3x+4，则f(x)的最小值为1，因此a≤1(如43

答案 【加固训练 已知函数

3

的最大值不大

1，又当x11时f(x)≥8

2，则