2022年吉林省高中数学竞赛模拟试题及详解答案

2022年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题（2010年5月16日上午9：00—11：30）一、选择题已知O为ABC内一点，若对任意kR，有|OAOBkBCAC|，则ABC一定是（ ）直角三角形B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定2.f1f(mnN*（mnN*）mnN*都有①f(m,n1)f(m,n)2；②f(m1,1)2f(m,1)则f(2010,2008)的值为（ ）A．2007 B．4014 C．220102007 D．2201040143f(x)x24x3Mxy|f(xfy)，集合Nx,y|f(xfy)0}M是 （ ）

N所表示的区域的面积A. B. C. D.4 2一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数m，那么积mn等于（ ）nA．3 B．4 C．6 D．12f(x)R上的奇函数；②对任意的xx1 2

[1,a]（其中常数a1），当x2（ ）

x时，有f(x1

)f(x1

)0.则下列不等式不一定成立的是1aA.f(a)f(0)

f

)f( a)21f(1a

)f(3)

1D．f( )f(a)1a圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占比为（ ）8

4

1

221 21 126 7二、填空题

3x,x2已知函数f(x) ，则f(2logf(xx2 3

2) ．1不等式x a21对一切非零实数x均成立则实数a的1x最大值．已知(ax1)n

axnn

an1

xn1 a1

xa0

（nN*），点列A(i,ai

)(in部分图象如图所示，则实数a的值为 ．BxsinxAx(AB为常数)0x恒成立，则常数BA的最小值为2；对任意锐角ABCsinAsinBsinCMM的最大值为 ．已知圆O的半径为1，半径OA、OB夹角为(0)，为常数，点C为圆上动点，若OCxOAyOB (x,yR)，则xy的最大值为 ．,4对应的线段，（4所对应的点与原点重合4（32那么原闭区间,4上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n1），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标． 0 2 4三、解答题1．（1）设x0，y0求证：x2

3xy；xy 4（2）x0y0z0，求证：x3

y3 z3

xyyzzx.xy yz zx 2已知数列

}满足aa（a0,且a1），前n

S

a (1a)，n 1

n 1a n记ban

lg|an

|（nN），当a737

时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，都有b b？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．n mD如图四边形ABCD的两条对角线相交于点OQ C的平分线CQ交线段OD于Q，连接AQ，作OMBC于 NM ，ON于N 且P 为AB 边的中点， OOA

OBOD M.OCCD A.PMPN.PB在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（点称为整点）问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由．参考答案1．A2．B3．C提示：由已知可得M={（x,y)|f(x)+f(y)≤0}={,)|-22+-222}={)()≥0}={(x,y)|(x-y)(x+y-4)≥0}.(x2)2(y2)22则M N ,(xy)(xy4)0作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，1即为( 2)2

，故应选C.4．C提示：利用等体积法，可以求出5．C6．D

，所以mn6.m n m 4点，共有C410

210个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行554条平行弦中选取，去除矩形，2梯形共有60个，所以，梯形所占的比为7．二、填空题11．6 3 3．

4．1

2 1；2 ．j6.2n2

3 cos2（这里j为[1,2n]中的所有奇数）三、解答题1．（1）xy求证：x2

3xy;xy 4（2）设xyz求证：x3

y3 z3

xyyzzx.xy yz zx 2证明：（1）

x2 3xy

(xy)2

0，∴x2

3xy.xy 4 4(xy) xy 4x3（2）由（1）得

3x2xy.xy 4y3类似的

3y2yz z3 ，

3z2zx，yz 4 zx 4∴x3

y3

z3

3x2xy3y2yz3z2zxxy yz zx 43(x2y2z2)xyyzzx43(xyyzzx)xyyzzx4xyyzzx2已知数列

}满足aa（a0,且a1），前n

S

a (1a)，n 1

n 1a n记b an

lg|an

|（nN），当a737

时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，都有bn

b m的值；如果不存在，说明理由．m解：当n2时，Sn

a1

(1an

)，

n1

a1

(1a )，n1∴a Sn

Sn1

a1a

[(1an

)(1

n1

)]

a1a

(an1

a)，n即a n

n1

，又a1

a0，所以，{a}是首相和公比都是a的等比数列，na an，于是b7n 7

alg|an

|nanlg|a|.∵a

(1,0)，∴lg|a0，3故当n为偶数时，bn

nanlg|a0，当nbn

0.可见，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数.b b2k2

[(2k2)a2k22ka2k]lg|a|2a2k[(k1)a2k]lg|a|a212a2k[k(a21)a2

]lg|a|a21a22a2k(a21)(k )lg|a|(kN).a21a2 a

时，a21 ，2a2k(a21)lg|a|0.723 972a2 7又1a2 2k

7

b ，即bb b ；2 2k2 2；

8 10 12k

7

b ，即bb

b.2 2k2 2

8 6 4 2故存在正整数m8，使得对于任意正整数n，都有b b.n mABCD的两条对角线相交于点O的平分线CQ交线段OD于Q，OBODAQ，作OMBC于M，ONAQ于NPABOAPMPN.

OCCD证明：CQ平分DCO DDQDC，QO CO∴COQODQ

Q CDC ①NOBOD O又OA ，OCCD M∴OA(OCCD)OBOD ② A X将①代入②，得DQ QO DQ QO ∴OA( )CDOBODDQ P∴OADOCDOBDQ∴OA

1 CDOB， BDQ∴OACOQO即OAOCOQOBQCB得QAOCBO分别取OBX,YNXPXMYPY则OXPY∴NX1AOXOPY，2PXNNXOOXP2QAOOXP2CBOOYPMYOOYPMYPPXYO

1OBMY2∴PXN≌∴PMPN.在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（整数的点称为整点）问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由.证明：（1）先证明这样的矩形不超过2025个.任取定100个整点。设O为所取定的100个整点中的一个，我们称以O为一个顶点，另外三个也取自100个整点，且边均与两坐标轴平行或重合的矩形为“好的”。下证：至多有81个“好的”矩形。O作平行于两坐标轴的直线l，l1 2

，并设l1

\{O上有m个点取自所取定的100l2

\{O}上有n100P100l和l1 2

上，则至多有一个“好的”矩形以P为其一个顶点，而这样的点至多有99mn个，且每一个“好的”矩形必有一个顶点为这样的点，于是①若mn18,则“好的”矩形至多有99mn81个；②若m