初三数学中考模型之费马点问题含答案

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则4APP为等边三角形，AP=PP,P'C=PC,所以PA+PB+PC=PP+PB+P'C.点。可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC为定长，所以当B、P、P、C四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.这时/BPA=180°-/APP'=180°-60°=120°,/APC=/APC=180°-/AP'P=180°-60°=120°,/BPC=360°-/BPA-/APC=360°-120°-120°=120°因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°,可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点.费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考.本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考.例1 （2019年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为<2<6，求此正方形的边长.图2 图3分析：连接AC,发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到△ABC三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同.解如图2,连接AC,把aAEC绕点C顺时针旋转60°,得到△G/C,连接EF、BG、A6,可知4EFC.△AGC都是等边三角形，则EF=CE.又FG=AE,/.AE+BE+CE=BE+EF+FG（图4）.•・•点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）.••・线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图3）.GO=4a

2GO=4a

2BO=CO=^y2a,GC=*2a,BG=BO+GO=第3页/共6页•・•点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为<2+*.6.」.——a+——a= +<6，解得a=2.2< 21注 本题旋转^AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试.例2(2009年北京中考题)如图4,在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-6,0),B(6,0),C(0,4<3)，延长AC到点D,使CD=1AC,过点D作DE//AB交BC的延长线于点E.(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；(3)设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.分析和解：(1)D点的坐标(3,6<；3)(过程略).(2)直线BM的解析式为y=-。3x+6v3(过程略).图4(3)如何确定点G的位置是本题的难点也是关健所在.设Q点为y轴上一点，P在y轴上运动的速MQAQ1度为叭则P沿M-QTA运动的时间为—^+―,使P点到达A点所用的时间最短，就是XMQ+AQ2v v 2最小，或MQ+2AQ最小.解法1.「BQ=AQ,「.MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小.至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换.把^MQB绕点B顺时针旋转60°,得到△M'Q'B,连接QQ'、MM(图5),可知4QQ'B、△MM'B都是等边三角形，则QQ'=BQ.又M'Q'=MQ,:MQ+AQ+BQ=M,Q，+QQ，+AQ.•・•点A、M为定点，所以当Q、Q'两点在线段AM上时，MQ+AQ+BQ最小.由条件可证明Q'点第4页/共6页总在AM上，所以AM与OM的交点就是所要的G点（图6）.可证OG=-MG.2图5 图6 图7解法2 考虑1MQ+AQ最小，过Q作BM的垂线交BM于K,由OB=6,OM=6<3,可得/BMO=30°,所以QK=2MQ.要使1MQ+AQ最小，只需使AQ+QK最小，根据“垂线段最短”，可推出当点A、Q、K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM,此时的点Q即为所求的点G（图7）.过A点作AH±BM于H，则AH与y轴的交点为所求的G点.由OB=6,OM=6V;3,可得/OBM=60°, 「./BAH=30°在Rt△OAG中，OG=AO-tan/BAH=2j3・•.G点的坐标为（0,2<3）（G点为线段OC的中点）.例3 （2009年湖州中考题）若点P为^ABC所在平面上一点，且/APB=/BPC=/CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.（1）若P为锐角△ABC的费马点，且/ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为;（2）如图8,在锐角△ABC的外侧作等边^ACB，，连结BB，.求证：BB'过^ABC的费马点P，且BB'=PA+PB+PC.图8解：（1）利用相似三角形可求PB的值为2<3.（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即/APB=/BPC=/CPA=120°如图8,把4ACP绕点C顺时针旋转60°到4BCE，连结PE，则△EPC为正三角形.・•/BEC=/APC=120°,/PEC=60°・•/BEC+/PEC=180°即P、E、B'三点在同一直线上・./BPC=120°,/CPE=60°,・•/BPC+/CPE=180°,即B、P、E三点在同一直线上第5页/共6页・•・B、P、E、B'四点在同一直线上，即BB,过^AB